Exercice 1 (6 pts)
1. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que \(2^{n+3}-2^n\) est divisible par \(7\).
2. Le nombre \(3^{40}+1\) est-il premier ? Justifier.
3. a) Déterminer le chiffre \(a\) pour que le nombre \(\overline{3a52}\) soit divisible par \(9\).
b) Ce nombre est-il divisible par \(36\) ? Justifier.
4. Montrer que si \(n\) est un entier naturel impair, alors \(n^2-1\) est divisible par \(8\).
5. Montrer que \(221\) n'est pas premier et que \(223\) est premier.
2. Le nombre \(3^{40}+1\) est-il premier ? Justifier.
3. a) Déterminer le chiffre \(a\) pour que le nombre \(\overline{3a52}\) soit divisible par \(9\).
b) Ce nombre est-il divisible par \(36\) ? Justifier.
4. Montrer que si \(n\) est un entier naturel impair, alors \(n^2-1\) est divisible par \(8\).
5. Montrer que \(221\) n'est pas premier et que \(223\) est premier.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. 💡 On met la plus petite puissance en facteur : \(2^{n+3}=2^n\times2^3\).
\(2^{n+3}-2^n=2^n\times8-2^n\times1=2^n(8-1)=7\times2^n\) : divisible par \(7\).
2. 💡 Un nombre pair supérieur à \(2\) n'est pas premier.
\(3^{40}\) est impair (produit de nombres impairs), donc \(3^{40}+1\) est pair, et \(3^{40}+1>2\) : il n'est pas premier.
3. a) 💡 Critère : un nombre est divisible par \(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).
\(3+a+5+2=10+a\) doit être un multiple de \(9\), avec \(0\leq a\leq9\) : \(10+a=18\), donc \(a=8\).
b) 💡 Si un nombre est divisible par \(4\) et par \(9\), avec \(4\) et \(9\) premiers entre eux, alors il est divisible par \(4\times9=36\).
\(3852\) est divisible par \(9\) (question a) et par \(4\) (ses deux derniers chiffres \(52=4\times13\)). Donc \(3852\) est divisible par \(36\) : \(3852=36\times107\).
4. \(n\) impair : \(n=2k+1\), donc \(n^2-1=4k^2+4k+1-1=4k(k+1)\).
\(k(k+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair : \(k(k+1)=2m\), et \(n^2-1=8m\).
5. \(221=13\times17\) : il n'est pas premier.
💡 Pour \(223\) : \(14^2=196\leq223\) et \(15^2=225>223\), on teste les premiers \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\).
\(223\) est impair ; \(2+2+3=7\) ; il ne finit ni par \(0\) ni par \(5\) ; \(223=7\times31+6=11\times20+3=13\times17+2\).
[!] \(221\) n'est pas premier ; \(223\) est premier.
\(2^{n+3}-2^n=2^n\times8-2^n\times1=2^n(8-1)=7\times2^n\) : divisible par \(7\).
2. 💡 Un nombre pair supérieur à \(2\) n'est pas premier.
\(3^{40}\) est impair (produit de nombres impairs), donc \(3^{40}+1\) est pair, et \(3^{40}+1>2\) : il n'est pas premier.
3. a) 💡 Critère : un nombre est divisible par \(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).
\(3+a+5+2=10+a\) doit être un multiple de \(9\), avec \(0\leq a\leq9\) : \(10+a=18\), donc \(a=8\).
b) 💡 Si un nombre est divisible par \(4\) et par \(9\), avec \(4\) et \(9\) premiers entre eux, alors il est divisible par \(4\times9=36\).
\(3852\) est divisible par \(9\) (question a) et par \(4\) (ses deux derniers chiffres \(52=4\times13\)). Donc \(3852\) est divisible par \(36\) : \(3852=36\times107\).
4. \(n\) impair : \(n=2k+1\), donc \(n^2-1=4k^2+4k+1-1=4k(k+1)\).
\(k(k+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair : \(k(k+1)=2m\), et \(n^2-1=8m\).
5. \(221=13\times17\) : il n'est pas premier.
💡 Pour \(223\) : \(14^2=196\leq223\) et \(15^2=225>223\), on teste les premiers \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\).
\(223\) est impair ; \(2+2+3=7\) ; il ne finit ni par \(0\) ni par \(5\) ; \(223=7\times31+6=11\times20+3=13\times17+2\).
[!] \(221\) n'est pas premier ; \(223\) est premier.
Exercice 2 (5 pts)
On considère les nombres \(a=1960\) et \(b=3150\).
1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs premiers.
2. Calculer \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Écrire \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible et simplifier \(\sqrt{a\times b}\).
4. Une plaque rectangulaire de dimensions \(1960\ \mathrm{mm}\) et \(3150\ \mathrm{mm}\) doit être découpée, sans perte, en carrés identiques les plus grands possibles. Déterminer la longueur du côté d'un carré et le nombre de carrés obtenus.
1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs premiers.
2. Calculer \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Écrire \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible et simplifier \(\sqrt{a\times b}\).
4. Une plaque rectangulaire de dimensions \(1960\ \mathrm{mm}\) et \(3150\ \mathrm{mm}\) doit être découpée, sans perte, en carrés identiques les plus grands possibles. Déterminer la longueur du côté d'un carré et le nombre de carrés obtenus.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers :
~ladder 1960
~ladder 3150
[] \(a=2^3\times5\times7^2\) et \(b=2\times3^2\times5^2\times7\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs (\(2\), \(5\), \(7\)) avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=2\times5\times7=70\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^3\times3^2\times5^2\times7^2=88200\)
3. \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1960\div70}{3150\div70}=\dfrac{28}{45}\).
\(a\times b=2^4\times3^2\times5^3\times7^3=\left(2^2\times3\times5\times7\right)^2\times5\times7\), donc \(\sqrt{a\times b}=420\sqrt{35}\).
4. 💡 Le côté du carré doit diviser les deux dimensions (pas de perte) et être le plus grand possible : c'est le PGCD.
Côté : \(\mathrm{pgcd}(1960;3150)=70\ \mathrm{mm}\). Sur la longueur : \(\dfrac{3150}{70}=45\) carrés ; sur la largeur : \(\dfrac{1960}{70}=28\) carrés.
[!] Côté \(70\ \mathrm{mm}\) ; nombre de carrés : \(28\times45=1260\).
~ladder 1960
~ladder 3150
[] \(a=2^3\times5\times7^2\) et \(b=2\times3^2\times5^2\times7\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs (\(2\), \(5\), \(7\)) avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=2\times5\times7=70\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^3\times3^2\times5^2\times7^2=88200\)
3. \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1960\div70}{3150\div70}=\dfrac{28}{45}\).
\(a\times b=2^4\times3^2\times5^3\times7^3=\left(2^2\times3\times5\times7\right)^2\times5\times7\), donc \(\sqrt{a\times b}=420\sqrt{35}\).
4. 💡 Le côté du carré doit diviser les deux dimensions (pas de perte) et être le plus grand possible : c'est le PGCD.
Côté : \(\mathrm{pgcd}(1960;3150)=70\ \mathrm{mm}\). Sur la longueur : \(\dfrac{3150}{70}=45\) carrés ; sur la largeur : \(\dfrac{1960}{70}=28\) carrés.
[!] Côté \(70\ \mathrm{mm}\) ; nombre de carrés : \(28\times45=1260\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On considère les points \(E\) et \(F\) définis par : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}\).
1. Faire une figure.
2. Exprimer \(\overrightarrow{CE}\) et \(\overrightarrow{CF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
3. En déduire que les points \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
4. Soit \(K\) le milieu de \([EF]\). Exprimer \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
5. Montrer que \(\overrightarrow{CK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}\).
1. Faire une figure.
2. Exprimer \(\overrightarrow{CE}\) et \(\overrightarrow{CF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
3. En déduire que les points \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
4. Soit \(K\) le milieu de \([EF]\). Exprimer \(\overrightarrow{AK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
5. Montrer que \(\overrightarrow{CK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(E\) sur \((AB)\) au-delà de \(B\) avec \(AE=\dfrac{3}{2}AB\) ; \(F\) sur \((AD)\) au-delà de \(D\) avec \(AF=3AD\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[4,0],"C":[5,1.5],"D":[1,1.5],"E":[6,0],"F":[3,4.5],"K":[4.5,2.25]},"polys":["ABCD"],"segs":["AE","AF",{"s":"EF","color":"accent"}]}
2. 💡 On exprime d'abord \(\overrightarrow{AC}\) : dans le parallélogramme, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) (règle du parallélogramme).
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\).
3. On compare : \(-2\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CF}\).
[] \(\overrightarrow{CF}=-2\overrightarrow{CE}\) : les points \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
4. 💡 \(K\) milieu de \([EF]\) : \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right)\).
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\).
5. \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).
Or \(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).
[!] \(\overrightarrow{CK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}\)
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[4,0],"C":[5,1.5],"D":[1,1.5],"E":[6,0],"F":[3,4.5],"K":[4.5,2.25]},"polys":["ABCD"],"segs":["AE","AF",{"s":"EF","color":"accent"}]}
2. 💡 On exprime d'abord \(\overrightarrow{AC}\) : dans le parallélogramme, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) (règle du parallélogramme).
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\).
3. On compare : \(-2\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CF}\).
[] \(\overrightarrow{CF}=-2\overrightarrow{CE}\) : les points \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
4. 💡 \(K\) milieu de \([EF]\) : \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right)\).
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\).
5. \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).
Or \(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\).
[!] \(\overrightarrow{CK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CE}\)
Exercice 4 (3 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([AB]\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(I\) coupe \((AC)\) en \(J\).
1. En utilisant une projection que l'on précisera, montrer que \(J\) est le milieu de \([AC]\).
2. Soit \(K\) le point de \([BC]\) tel que \(\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(L\) son projeté sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\). Montrer que \(\overrightarrow{BL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\).
1. En utilisant une projection que l'on précisera, montrer que \(J\) est le milieu de \([AC]\).
2. Soit \(K\) le point de \([BC]\) tel que \(\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(L\) son projeté sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\). Montrer que \(\overrightarrow{BL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. On utilise la projection \(p\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) :
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"I":[3,0],"J":[1,2.25],"K":[4.67,1.5],"L":[4,0]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"IJ","dash":true,"color":"accent"},{"s":"KL","dash":true,"color":"blue"}]}
\(p(A)=A\) (car \(A\in(AC)\)) ; \(p(B)=C\) (la parallèle à \((BC)\) par \(B\) est \((BC)\)) ; \(p(I)=J\) (par définition de \(J\)).
💡 Une projection conserve le milieu : le projeté du milieu d'un segment est le milieu du segment projeté.
\(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(J=p(I)\) est le milieu de \([p(A)p(B)]=[AC]\).
2. Projection \(q\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\) : \(q(B)=B\), \(q(C)=A\) (la parallèle à \((AC)\) par \(C\) est \((AC)\)) et \(q(K)=L\).
💡 Une projection conserve le coefficient de colinéarité.
\(\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) avec \(B\mapsto B\), \(K\mapsto L\), \(C\mapsto A\) donne :
[!] \(\overrightarrow{BL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"I":[3,0],"J":[1,2.25],"K":[4.67,1.5],"L":[4,0]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"IJ","dash":true,"color":"accent"},{"s":"KL","dash":true,"color":"blue"}]}
\(p(A)=A\) (car \(A\in(AC)\)) ; \(p(B)=C\) (la parallèle à \((BC)\) par \(B\) est \((BC)\)) ; \(p(I)=J\) (par définition de \(J\)).
💡 Une projection conserve le milieu : le projeté du milieu d'un segment est le milieu du segment projeté.
\(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(J=p(I)\) est le milieu de \([p(A)p(B)]=[AC]\).
2. Projection \(q\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\) : \(q(B)=B\), \(q(C)=A\) (la parallèle à \((AC)\) par \(C\) est \((AC)\)) et \(q(K)=L\).
💡 Une projection conserve le coefficient de colinéarité.
\(\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) avec \(B\mapsto B\), \(K\mapsto L\), \(C\mapsto A\) donne :
[!] \(\overrightarrow{BL}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)