Exercice 1 (5 pts)
On pose : \(a=252\) et \(b=588\).
1. Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Est-ce que les deux nombres \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ? (justifier votre réponse)
4. Déterminer le plus petit entier naturel \(k\) pour que \(\sqrt{k\times b}\) soit un entier naturel.
5. Écrire le nombre \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible.
1. Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Est-ce que les deux nombres \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ? (justifier votre réponse)
4. Déterminer le plus petit entier naturel \(k\) pour que \(\sqrt{k\times b}\) soit un entier naturel.
5. Écrire le nombre \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers :
~ladder 252
~ladder 588
[] \(a=2^2\times3^2\times7\) et \(b=2^2\times3\times7^2\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=2^2\times3\times7=84\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^2\times3^2\times7^2=1764\)
3. 💡 Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut \(1\).
\(\mathrm{pgcd}(a;b)=84\neq1\) : \(a\) et \(b\) ne sont pas premiers entre eux.
4. 💡 \(\sqrt{k\times b}\) est un entier naturel si \(k\times b\) est un carré parfait (tous les exposants pairs).
Dans \(b=2^2\times3^1\times7^2\), seul l'exposant de \(3\) est impair : \(k=3\), et \(3b=2^2\times3^2\times7^2=(2\times3\times7)^2=42^2\).
[] \(k=3\) et \(\sqrt{3\times588}=42\)
5. On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD \(84\) : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{252\div84}{588\div84}\).
[!] \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{7}\)
~ladder 252
~ladder 588
[] \(a=2^2\times3^2\times7\) et \(b=2^2\times3\times7^2\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=2^2\times3\times7=84\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^2\times3^2\times7^2=1764\)
3. 💡 Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut \(1\).
\(\mathrm{pgcd}(a;b)=84\neq1\) : \(a\) et \(b\) ne sont pas premiers entre eux.
4. 💡 \(\sqrt{k\times b}\) est un entier naturel si \(k\times b\) est un carré parfait (tous les exposants pairs).
Dans \(b=2^2\times3^1\times7^2\), seul l'exposant de \(3\) est impair : \(k=3\), et \(3b=2^2\times3^2\times7^2=(2\times3\times7)^2=42^2\).
[] \(k=3\) et \(\sqrt{3\times588}=42\)
5. On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD \(84\) : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{252\div84}{588\div84}\).
[!] \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{7}\)
Exercice 2 (6.5 pts)
Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose : \(a=8n+3\) ; \(b=3n^2+3n\) et \(c=5^{n+2}-5^n\).
1. Étudier la parité des nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire la parité du nombre \(d=(8n+3)(-1)^b+(3n^2+3n)(-1)^{a+1}\).
3. Montrer que \(c\) est un multiple de \(3\).
4. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(\dfrac{n+22}{n+1}=1+\dfrac{21}{n+1}\).
5. En déduire les valeurs de l'entier naturel \(n\) pour lesquelles \(\dfrac{n+22}{n+1}\in\mathbb{N}\).
6. Déterminer tous les diviseurs de \(8\).
7. Déterminer tous les entiers naturels \((x;y)\) tels que : \(xy+2x+y=6\).
1. Étudier la parité des nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire la parité du nombre \(d=(8n+3)(-1)^b+(3n^2+3n)(-1)^{a+1}\).
3. Montrer que \(c\) est un multiple de \(3\).
4. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(\dfrac{n+22}{n+1}=1+\dfrac{21}{n+1}\).
5. En déduire les valeurs de l'entier naturel \(n\) pour lesquelles \(\dfrac{n+22}{n+1}\in\mathbb{N}\).
6. Déterminer tous les diviseurs de \(8\).
7. Déterminer tous les entiers naturels \((x;y)\) tels que : \(xy+2x+y=6\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(a=8n+3=8n+2+1=2(4n+1)+1\) : \(a\) est impair.
\(b=3n^2+3n=3n(n+1)\) ; \(n(n+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair : \(b\) est pair.
2. 💡 Rappel : \((-1)^m=1\) si \(m\) est pair, et \((-1)^m=-1\) si \(m\) est impair.
\(b\) pair donne \((-1)^b=1\) ; \(a\) impair donne \(a+1\) pair, donc \((-1)^{a+1}=1\).
\(d=(8n+3)\times1+(3n^2+3n)\times1=a+b\) = impair + pair.
[] \(d\) est impair.
3. \(c=5^n\times5^2-5^n=5^n(25-1)=24\times5^n=3\times\left(8\times5^n\right)\) : \(c\) est un multiple de \(3\).
4. \(1+\dfrac{21}{n+1}=\dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{21}{n+1}=\dfrac{n+22}{n+1}\).
5. 💡 \(\dfrac{n+22}{n+1}=1+\dfrac{21}{n+1}\) est un entier si et seulement si \(n+1\) divise \(21\).
Les diviseurs de \(21\) sont \(1\), \(3\), \(7\), \(21\) : \(n+1\in\{1;3;7;21\}\).
[] \(n\in\{0;2;6;20\}\)
6. Les diviseurs de \(8\) sont \(1\), \(2\), \(4\) et \(8\).
7. 💡 Astuce : on ajoute \(2\) aux deux membres pour factoriser : \(xy+2x+y+2=x(y+2)+(y+2)=(x+1)(y+2)\).
L'équation devient \((x+1)(y+2)=8\), avec \(x+1\geq1\) et \(y+2\geq2\) : ce sont des diviseurs de \(8\).
\((x+1;y+2)=(1;8)\), \((2;4)\) ou \((4;2)\) (\((8;1)\) est impossible car \(y+2\geq2\)).
[!] \((x;y)\in\{(0;6);(1;2);(3;0)\}\)
\(b=3n^2+3n=3n(n+1)\) ; \(n(n+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair : \(b\) est pair.
2. 💡 Rappel : \((-1)^m=1\) si \(m\) est pair, et \((-1)^m=-1\) si \(m\) est impair.
\(b\) pair donne \((-1)^b=1\) ; \(a\) impair donne \(a+1\) pair, donc \((-1)^{a+1}=1\).
\(d=(8n+3)\times1+(3n^2+3n)\times1=a+b\) = impair + pair.
[] \(d\) est impair.
3. \(c=5^n\times5^2-5^n=5^n(25-1)=24\times5^n=3\times\left(8\times5^n\right)\) : \(c\) est un multiple de \(3\).
4. \(1+\dfrac{21}{n+1}=\dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{21}{n+1}=\dfrac{n+22}{n+1}\).
5. 💡 \(\dfrac{n+22}{n+1}=1+\dfrac{21}{n+1}\) est un entier si et seulement si \(n+1\) divise \(21\).
Les diviseurs de \(21\) sont \(1\), \(3\), \(7\), \(21\) : \(n+1\in\{1;3;7;21\}\).
[] \(n\in\{0;2;6;20\}\)
6. Les diviseurs de \(8\) sont \(1\), \(2\), \(4\) et \(8\).
7. 💡 Astuce : on ajoute \(2\) aux deux membres pour factoriser : \(xy+2x+y+2=x(y+2)+(y+2)=(x+1)(y+2)\).
L'équation devient \((x+1)(y+2)=8\), avec \(x+1\geq1\) et \(y+2\geq2\) : ce sont des diviseurs de \(8\).
\((x+1;y+2)=(1;8)\), \((2;4)\) ou \((4;2)\) (\((8;1)\) est impossible car \(y+2\geq2\)).
[!] \((x;y)\in\{(0;6);(1;2);(3;0)\}\)
Exercice 3 (5.5 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. \(E\) et \(F\) sont les points définis par : \(\overrightarrow{DE}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{DF}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{DC}\).
1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que \(\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}\).
4. Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
5. Montrer que \(2\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{FB}\).
6. En déduire que les points \(B\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que \(\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}\).
4. Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{BE}\) et \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
5. Montrer que \(2\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{FB}\).
6. En déduire que les points \(B\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(E\) sur \((DA)\) au-delà de \(A\) avec \(DE=\dfrac{5}{2}DA\) ; \(F\) sur \((DC)\) au-delà de \(C\) avec \(DF=\dfrac{5}{3}DC\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6.5,3.5],"D":[1.5,3.5],"E":[-2.25,-5.25],"F":[9.83,3.5]},"polys":["ABCD"],"segs":["DE","DF",{"s":"EF","color":"accent"}]}
2. 💡 Relation de Chasles : on passe par \(A\) puis \(D\) pour utiliser \(\overrightarrow{DE}\).
\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\dfrac{5}{2}\overrightarrow{DA}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}\).
3. \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{DC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}\).
4. 💡 Dans le parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (donc \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\)).
[] \(\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
5. \(2\overrightarrow{BE}=-2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}\) et \(3\overrightarrow{FB}=-3\overrightarrow{BF}=-2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}\) : donc \(2\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{FB}\).
6. \(2\overrightarrow{BE}=-3\overrightarrow{BF}\) donne \(\overrightarrow{BE}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BF}\) : vecteurs colinéaires.
[!] Les points \(B\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6.5,3.5],"D":[1.5,3.5],"E":[-2.25,-5.25],"F":[9.83,3.5]},"polys":["ABCD"],"segs":["DE","DF",{"s":"EF","color":"accent"}]}
2. 💡 Relation de Chasles : on passe par \(A\) puis \(D\) pour utiliser \(\overrightarrow{DE}\).
\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\dfrac{5}{2}\overrightarrow{DA}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}\).
3. \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{DC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}\).
4. 💡 Dans le parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (donc \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\)).
[] \(\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
5. \(2\overrightarrow{BE}=-2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}\) et \(3\overrightarrow{FB}=-3\overrightarrow{BF}=-2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}\) : donc \(2\overrightarrow{BE}=3\overrightarrow{FB}\).
6. \(2\overrightarrow{BE}=-3\overrightarrow{BF}\) donne \(\overrightarrow{BE}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BF}\) : vecteurs colinéaires.
[!] Les points \(B\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
Exercice 4 (3 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(E\) un point du plan tel que : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).
1. Construire le point \(E'\), projeté de \(E\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{AE'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que \(\overrightarrow{EE'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\).
1. Construire le point \(E'\), projeté de \(E\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{AE'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que \(\overrightarrow{EE'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. On place \(E\) sur \([AB]\) avec \(AE=\dfrac{3}{4}AB\), puis on trace la parallèle à \((BC)\) passant par \(E\) : elle coupe \((AC)\) en \(E'\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"E":[4.5,0],"E'":[1.5,3.38]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"EE'","dash":true,"color":"accent"}]}
2. Soit la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) : \(A\mapsto A\) (car \(A\in(AC)\)), \(B\mapsto C\) (la parallèle à \((BC)\) par \(B\) est \((BC)\)), \(E\mapsto E'\).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
[] \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AE'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)
3. \(\overrightarrow{EE'}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AE'}=\overrightarrow{AE'}-\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\).
[!] \(\overrightarrow{EE'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"E":[4.5,0],"E'":[1.5,3.38]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"EE'","dash":true,"color":"accent"}]}
2. Soit la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) : \(A\mapsto A\) (car \(A\in(AC)\)), \(B\mapsto C\) (la parallèle à \((BC)\) par \(B\) est \((BC)\)), \(E\mapsto E'\).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
[] \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AE'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\)
3. \(\overrightarrow{EE'}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AE'}=\overrightarrow{AE'}-\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\).
[!] \(\overrightarrow{EE'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\)