Exercice 1 (4 pts)
1. Soit \(n\in\mathbb{N}\).
a) Vérifier que \(n^2+3n+3=(n+1)(n+2)+1\).
b) En déduire que le nombre \(n^2+3n+3\) est impair.
2. Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels. Montrer que le nombre \(27m+51n\) n'est pas premier.
3. Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. \(E\) et \(F\) sont les points définis par \(3\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}\) et \(3\overrightarrow{AF}=5\overrightarrow{AB}\). Montrer que \(B\) est le milieu du segment \([EF]\).
a) Vérifier que \(n^2+3n+3=(n+1)(n+2)+1\).
b) En déduire que le nombre \(n^2+3n+3\) est impair.
2. Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels. Montrer que le nombre \(27m+51n\) n'est pas premier.
3. Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. \(E\) et \(F\) sont les points définis par \(3\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}\) et \(3\overrightarrow{AF}=5\overrightarrow{AB}\). Montrer que \(B\) est le milieu du segment \([EF]\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) On développe : \((n+1)(n+2)+1=n^2+2n+n+2+1=n^2+3n+3\).
b) 💡 Rappel : le produit de deux entiers consécutifs est pair.
\((n+1)(n+2)\) est le produit des entiers consécutifs \(n+1\) et \(n+2\) : il est pair, donc \((n+1)(n+2)=2k\).
[] \(n^2+3n+3=2k+1\) est impair.
2. 💡 Pour montrer qu'un nombre n'est pas premier, on cherche un diviseur autre que \(1\) et lui-même.
\(27=3\times9\) et \(51=3\times17\), donc \(27m+51n=3(9m+17n)\) : c'est un multiple de \(3\).
Pour qu'il soit premier, il faudrait \(27m+51n=3\), donc \(9m+17n=1\) : impossible avec \(m,n\in\mathbb{N}\) (\(9m+17n\) vaut \(0\) ou au moins \(9\)).
[] \(27m+51n\) n'est pas premier.
3. 💡 \(B\) est le milieu de \([EF]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}\).
\(3\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(3\overrightarrow{AF}=5\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{6}{3}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\).
[!] \(B\) est le milieu de \([EF]\).
b) 💡 Rappel : le produit de deux entiers consécutifs est pair.
\((n+1)(n+2)\) est le produit des entiers consécutifs \(n+1\) et \(n+2\) : il est pair, donc \((n+1)(n+2)=2k\).
[] \(n^2+3n+3=2k+1\) est impair.
2. 💡 Pour montrer qu'un nombre n'est pas premier, on cherche un diviseur autre que \(1\) et lui-même.
\(27=3\times9\) et \(51=3\times17\), donc \(27m+51n=3(9m+17n)\) : c'est un multiple de \(3\).
Pour qu'il soit premier, il faudrait \(27m+51n=3\), donc \(9m+17n=1\) : impossible avec \(m,n\in\mathbb{N}\) (\(9m+17n\) vaut \(0\) ou au moins \(9\)).
[] \(27m+51n\) n'est pas premier.
3. 💡 \(B\) est le milieu de \([EF]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}\).
\(3\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(3\overrightarrow{AF}=5\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{6}{3}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\).
[!] \(B\) est le milieu de \([EF]\).
Exercice 2 (4.5 pts)
Soient deux entiers naturels \(a=600\) et \(b=3780\).
1. Montrer que \(a=2^3\times3\times5^2\) et \(b=2^2\times3^3\times5\times7\).
2. Déterminer \(a\wedge b\) et \(a\vee b\).
3. Simplifier les nombres \(\dfrac{a}{b}\) et \(\sqrt{a\times b}\).
1. Montrer que \(a=2^3\times3\times5^2\) et \(b=2^2\times3^3\times5\times7\).
2. Déterminer \(a\wedge b\) et \(a\vee b\).
3. Simplifier les nombres \(\dfrac{a}{b}\) et \(\sqrt{a\times b}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), … :
~ladder 600
~ladder 3780
[] \(a=2^3\times3\times5^2\) et \(b=2^2\times3^3\times5\times7\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
Facteurs communs : \(2\) (\(2^3\) et \(2^2\), on garde \(2^2\)), \(3\) (\(3\) et \(3^3\), on garde \(3\)), \(5\) (\(5^2\) et \(5\), on garde \(5\)).
[] \(a\wedge b=2^2\times3\times5=60\) et \(a\vee b=2^3\times3^3\times5^2\times7=37800\)
3. 💡 On simplifie par les facteurs communs (c'est-à-dire par le PGCD).
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^3\times3\times5^2}{2^2\times3^3\times5\times7}=\dfrac{2\times5}{3^2\times7}=\dfrac{10}{63}\).
💡 Pour \(\sqrt{\ }\) : on écrit chaque puissance avec un exposant pair si possible, car \(\sqrt{p^{2k}}=p^k\).
\(a\times b=2^5\times3^4\times5^3\times7=\left(2^2\times3^2\times5\right)^2\times2\times5\times7\), donc \(\sqrt{a\times b}=2^2\times3^2\times5\sqrt{70}\).
[!] \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{10}{63}\) et \(\sqrt{a\times b}=180\sqrt{70}\)
~ladder 600
~ladder 3780
[] \(a=2^3\times3\times5^2\) et \(b=2^2\times3^3\times5\times7\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
Facteurs communs : \(2\) (\(2^3\) et \(2^2\), on garde \(2^2\)), \(3\) (\(3\) et \(3^3\), on garde \(3\)), \(5\) (\(5^2\) et \(5\), on garde \(5\)).
[] \(a\wedge b=2^2\times3\times5=60\) et \(a\vee b=2^3\times3^3\times5^2\times7=37800\)
3. 💡 On simplifie par les facteurs communs (c'est-à-dire par le PGCD).
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^3\times3\times5^2}{2^2\times3^3\times5\times7}=\dfrac{2\times5}{3^2\times7}=\dfrac{10}{63}\).
💡 Pour \(\sqrt{\ }\) : on écrit chaque puissance avec un exposant pair si possible, car \(\sqrt{p^{2k}}=p^k\).
\(a\times b=2^5\times3^4\times5^3\times7=\left(2^2\times3^2\times5\right)^2\times2\times5\times7\), donc \(\sqrt{a\times b}=2^2\times3^2\times5\sqrt{70}\).
[!] \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{10}{63}\) et \(\sqrt{a\times b}=180\sqrt{70}\)
Exercice 3 (5.5 pts)
\(ABCD\) un parallélogramme. \(M\) et \(N\) sont deux points du plan tels que : \(\overrightarrow{DM}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{CN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}\).
1. Construire les points \(M\) et \(N\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}\).
3. Exprimer \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{BN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
4. a) Établir que \(2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{BN}=\vec{0}\).
b) En déduire que les points \(B\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
1. Construire les points \(M\) et \(N\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}\).
3. Exprimer \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{BN}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
4. a) Établir que \(2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{BN}=\vec{0}\).
b) En déduire que les points \(B\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(M\) est sur la demi-droite \([DA)\) avec \(DM=\dfrac{5}{2}DA\) (au-delà de \(A\)) ; \(N\) est sur \((DC)\) au-delà de \(C\) avec \(CN=\dfrac{2}{3}DC\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6.5,3.5],"D":[1.5,3.5],"M":[-2.25,-5.25],"N":[9.83,3.5]},"polys":["ABCD"],"segs":["AM","CN",{"s":"MN","color":"accent"}]}
2. 💡 On utilise la relation de Chasles pour faire apparaître les vecteurs connus.
\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\dfrac{5}{2}\overrightarrow{DA}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}\).
3. 💡 Dans le parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (donc \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\)).
On remplace \(\overrightarrow{DA}\) par \(-\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{DC}\) par \(\overrightarrow{AB}\) :
[] \(\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
4. a) \(2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{BN}=\left(-2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}\right)+\left(2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\vec{0}\).
b) De \(2\overrightarrow{BM}=-3\overrightarrow{BN}\) on tire \(\overrightarrow{BM}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BN}\) : les vecteurs \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{BN}\) sont colinéaires.
[!] Les points \(B\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6.5,3.5],"D":[1.5,3.5],"M":[-2.25,-5.25],"N":[9.83,3.5]},"polys":["ABCD"],"segs":["AM","CN",{"s":"MN","color":"accent"}]}
2. 💡 On utilise la relation de Chasles pour faire apparaître les vecteurs connus.
\(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\dfrac{5}{2}\overrightarrow{DA}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}\).
3. 💡 Dans le parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (donc \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\)).
On remplace \(\overrightarrow{DA}\) par \(-\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{DC}\) par \(\overrightarrow{AB}\) :
[] \(\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)
4. a) \(2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{BN}=\left(-2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}\right)+\left(2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\vec{0}\).
b) De \(2\overrightarrow{BM}=-3\overrightarrow{BN}\) on tire \(\overrightarrow{BM}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BN}\) : les vecteurs \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{BN}\) sont colinéaires.
[!] Les points \(B\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
Exercice 4 (6 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) le point défini par \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \((AC)\) en \(N\).
1. Faire une figure.
2. On note \(p\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
a) Déterminer \(p(A)\), \(p(B)\) et \(p(M)\).
b) En déduire que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\).
4. Soient \(I\) le milieu de \([MN]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Montrer que \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AJ}\), puis en déduire que les points \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
1. Faire une figure.
2. On note \(p\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
a) Déterminer \(p(A)\), \(p(B)\) et \(p(M)\).
b) En déduire que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\).
4. Soient \(I\) le milieu de \([MN]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Montrer que \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AJ}\), puis en déduire que les points \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. On place \(M\) sur \([AB]\) avec \(AM=\dfrac{3}{5}AB\), puis on trace la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) : elle coupe \((AC)\) en \(N\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"M":[3.6,0],"N":[1.2,2.7],"I":[2.4,1.35],"J":[4,2.25]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"MN","dash":true,"color":"accent"},{"s":"AJ","dash":true,"color":"blue"}]}
2. a) 💡 Le projeté de \(X\) : on trace la parallèle à \((BC)\) passant par \(X\) et on prend son intersection avec \((AC)\).
\(A\in(AC)\), donc \(p(A)=A\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\), qui coupe \((AC)\) en \(C\) : \(p(B)=C\). Par construction de \(N\) : \(p(M)=N\).
b) 💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}\) et \(A\mapsto A\), \(M\mapsto N\), \(B\mapsto C\), donc :
[] \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\)
3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\).
4. 💡 Si \(I\) est le milieu de \([MN]\), alors \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)\).
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AJ}\).
[!] \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AJ}\) : les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"M":[3.6,0],"N":[1.2,2.7],"I":[2.4,1.35],"J":[4,2.25]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"MN","dash":true,"color":"accent"},{"s":"AJ","dash":true,"color":"blue"}]}
2. a) 💡 Le projeté de \(X\) : on trace la parallèle à \((BC)\) passant par \(X\) et on prend son intersection avec \((AC)\).
\(A\in(AC)\), donc \(p(A)=A\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\), qui coupe \((AC)\) en \(C\) : \(p(B)=C\). Par construction de \(N\) : \(p(M)=N\).
b) 💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}\) et \(A\mapsto A\), \(M\mapsto N\), \(B\mapsto C\), donc :
[] \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\)
3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\).
4. 💡 Si \(I\) est le milieu de \([MN]\), alors \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)\).
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AJ}\).
[!] \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AJ}\) : les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.