Exercice 1 (5 pts)
Répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes en justifiant votre choix.
1. Tout nombre premier est impair.
2. Si \(\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}\), alors les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
3. Le projeté du milieu d'un segment est le milieu du projeté de ce segment.
4. Tout entier divisible par \(2\) est divisible par \(4\).
5. \(629\) est un nombre premier.
1. Tout nombre premier est impair.
2. Si \(\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}\), alors les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
3. Le projeté du milieu d'un segment est le milieu du projeté de ce segment.
4. Tout entier divisible par \(2\) est divisible par \(4\).
5. \(629\) est un nombre premier.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour montrer qu'elle est vraie, il faut une justification générale.
1. Faux : \(2\) est premier (ses seuls diviseurs sont \(1\) et \(2\)) et il est pair.
2. Vrai : \(\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}\) signifie que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, donc \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
3. Vrai : c'est une propriété du cours, une projection conserve le milieu.
4. Faux : \(6=2\times3\) est divisible par \(2\), mais \(6=4\times1+2\) n'est pas divisible par \(4\).
5. Faux : on teste les nombres premiers jusqu'à \(\sqrt{629}\approx25\) : \(629=17\times37\).
1. Faux : \(2\) est premier (ses seuls diviseurs sont \(1\) et \(2\)) et il est pair.
2. Vrai : \(\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}\) signifie que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, donc \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
3. Vrai : c'est une propriété du cours, une projection conserve le milieu.
4. Faux : \(6=2\times3\) est divisible par \(2\), mais \(6=4\times1+2\) n'est pas divisible par \(4\).
5. Faux : on teste les nombres premiers jusqu'à \(\sqrt{629}\approx25\) : \(629=17\times37\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(ABC\) un triangle. On considère les points \(E\), \(F\) et \(G\) définis par : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{BG}=2\overrightarrow{BC}\).
1. Construire les points \(E\), \(F\) et \(G\).
2. Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
1. Construire les points \(E\), \(F\) et \(G\).
2. Exprimer \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(E\) au tiers de \([AB]\) à partir de \(A\) ; \(F\) est le milieu de \([AC]\) (car \(\overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}\)) ; \(G\) est tel que \(C\) soit le milieu de \([BG]\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[4,3],"E":[2,0],"F":[2,1.5],"G":[2,6]},"polys":["ABC"],"segs":["BG",{"s":"EG","color":"accent"}],"ticks":[{"s":"AF"},{"s":"FC"}]}
2. 💡 Méthode : on exprime \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis on utilise \(\overrightarrow{EX}=\overrightarrow{AX}-\overrightarrow{AE}\).
\(F\) milieu de \([AC]\) : \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).
3. On compare les coefficients : \(-\dfrac{4}{3}=4\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)\) et \(2=4\times\dfrac{1}{2}\), donc \(\overrightarrow{EG}=4\overrightarrow{EF}\).
[!] \(\overrightarrow{EG}=4\overrightarrow{EF}\) : les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[4,3],"E":[2,0],"F":[2,1.5],"G":[2,6]},"polys":["ABC"],"segs":["BG",{"s":"EG","color":"accent"}],"ticks":[{"s":"AF"},{"s":"FC"}]}
2. 💡 Méthode : on exprime \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis on utilise \(\overrightarrow{EX}=\overrightarrow{AX}-\overrightarrow{AE}\).
\(F\) milieu de \([AC]\) : \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).
3. On compare les coefficients : \(-\dfrac{4}{3}=4\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)\) et \(2=4\times\dfrac{1}{2}\), donc \(\overrightarrow{EG}=4\overrightarrow{EF}\).
[!] \(\overrightarrow{EG}=4\overrightarrow{EF}\) : les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
Exercice 3 (6 pts)
Les trois questions suivantes sont indépendantes.
1. Déterminer le \(\mathrm{PGCD}\) et le \(\mathrm{PPCM}\) de \(a=720\) et \(b=396\).
2. Déterminer les diviseurs de \(51\). En déduire les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(x^2-y^2=51\).
3. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose \(A=4n^2+12n+9\). Montrer que \(A-1\) est divisible par \(8\).
1. Déterminer le \(\mathrm{PGCD}\) et le \(\mathrm{PPCM}\) de \(a=720\) et \(b=396\).
2. Déterminer les diviseurs de \(51\). En déduire les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(x^2-y^2=51\).
3. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose \(A=4n^2+12n+9\). Montrer que \(A-1\) est divisible par \(8\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers :
~ladder 720
~ladder 396
💡 PGCD : facteurs communs (\(2\) et \(3\)) avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{PGCD}(a;b)=2^2\times3^2=36\) et \(\mathrm{PPCM}(a;b)=2^4\times3^2\times5\times11=7920\)
2. \(51=3\times17\), donc les diviseurs de \(51\) sont \(1\), \(3\), \(17\) et \(51\).
💡 On factorise : \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Les deux facteurs sont des diviseurs de \(51\), avec \(x-y\leq x+y\).
Cas 1 : \(x-y=1\) et \(x+y=51\) ; en additionnant, \(2x=52\), donc \(x=26\) et \(y=25\).
Cas 2 : \(x-y=3\) et \(x+y=17\) ; en additionnant, \(2x=20\), donc \(x=10\) et \(y=7\).
[] \((x;y)=(26;25)\) ou \((x;y)=(10;7)\)
3. \(A-1=4n^2+12n+8=4(n^2+3n+2)=4(n+1)(n+2)\) (car \((n+1)(n+2)=n^2+3n+2\)).
💡 \((n+1)(n+2)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc il est pair : \((n+1)(n+2)=2k\).
[!] \(A-1=4\times2k=8k\) : \(A-1\) est divisible par \(8\).
~ladder 720
~ladder 396
💡 PGCD : facteurs communs (\(2\) et \(3\)) avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{PGCD}(a;b)=2^2\times3^2=36\) et \(\mathrm{PPCM}(a;b)=2^4\times3^2\times5\times11=7920\)
2. \(51=3\times17\), donc les diviseurs de \(51\) sont \(1\), \(3\), \(17\) et \(51\).
💡 On factorise : \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Les deux facteurs sont des diviseurs de \(51\), avec \(x-y\leq x+y\).
Cas 1 : \(x-y=1\) et \(x+y=51\) ; en additionnant, \(2x=52\), donc \(x=26\) et \(y=25\).
Cas 2 : \(x-y=3\) et \(x+y=17\) ; en additionnant, \(2x=20\), donc \(x=10\) et \(y=7\).
[] \((x;y)=(26;25)\) ou \((x;y)=(10;7)\)
3. \(A-1=4n^2+12n+8=4(n^2+3n+2)=4(n+1)(n+2)\) (car \((n+1)(n+2)=n^2+3n+2\)).
💡 \((n+1)(n+2)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc il est pair : \((n+1)(n+2)=2k\).
[!] \(A-1=4\times2k=8k\) : \(A-1\) est divisible par \(8\).
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) le point de \([BC]\) tel que \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\). On note \(N\) le projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\), et \(P\) le projeté de \(M\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\).
1. Faire une figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).
4. Montrer que \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}\). Quelle est la nature du quadrilatère \(APMN\) ?
1. Faire une figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).
4. Montrer que \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}\). Quelle est la nature du quadrilatère \(APMN\) ?
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(M\) au quart de \([BC]\) à partir de \(B\) ; la parallèle à \((AB)\) passant par \(M\) coupe \((AC)\) en \(N\) ; la parallèle à \((AC)\) passant par \(M\) coupe \((AB)\) en \(P\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"M":[5,1.13],"N":[0.5,1.13],"P":[4.5,0]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"MN","dash":true,"color":"accent"},{"s":"MP","dash":true,"color":"blue"}]}
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
2. Projection sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\) : \(B\mapsto A\) (la parallèle à \((AB)\) par \(B\) est \((AB)\)), \(C\mapsto C\), \(M\mapsto N\).
\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\) donne \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
3. Projection sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\) : \(B\mapsto B\), \(C\mapsto A\), \(M\mapsto P\), donc \(\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\).
\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).
4. \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}\).
💡 Si \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}\), alors \(APMN\) est un parallélogramme (règle du parallélogramme).
[!] \(APMN\) est un parallélogramme.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"M":[5,1.13],"N":[0.5,1.13],"P":[4.5,0]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"MN","dash":true,"color":"accent"},{"s":"MP","dash":true,"color":"blue"}]}
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
2. Projection sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\) : \(B\mapsto A\) (la parallèle à \((AB)\) par \(B\) est \((AB)\)), \(C\mapsto C\), \(M\mapsto N\).
\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\) donne \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
3. Projection sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\) : \(B\mapsto B\), \(C\mapsto A\), \(M\mapsto P\), donc \(\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\).
\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).
4. \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}\).
💡 Si \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}\), alors \(APMN\) est un parallélogramme (règle du parallélogramme).
[!] \(APMN\) est un parallélogramme.