Exercice 1 (6 pts)
1. Le nombre \(7^{2018}-1\) est-il premier ? (justifier la réponse)
2. Soit \(n\) un entier naturel. On pose \(a=5^{n+2}-5^n\). Montrer que \(a\) est divisible par \(12\).
3. Déterminer tous les entiers naturels \(x\) et \(y\) vérifiant : \((2x-3)(3y+2)=14\).
4. Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan, \(I\) et \(J\) des points tels que \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\). Montrer que \(B\) est le milieu de \([IJ]\).
2. Soit \(n\) un entier naturel. On pose \(a=5^{n+2}-5^n\). Montrer que \(a\) est divisible par \(12\).
3. Déterminer tous les entiers naturels \(x\) et \(y\) vérifiant : \((2x-3)(3y+2)=14\).
4. Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan, \(I\) et \(J\) des points tels que \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\). Montrer que \(B\) est le milieu de \([IJ]\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. 💡 Un nombre premier n'a que deux diviseurs : \(1\) et lui-même. Un nombre pair supérieur à \(2\) n'est donc pas premier.
\(7\) est impair, donc \(7^{2018}\) (produit de nombres impairs) est impair, et \(7^{2018}-1\) est pair. De plus \(7^{2018}-1>2\).
[] \(7^{2018}-1\) est divisible par \(2\) : il n'est pas premier.
2. 💡 On met \(5^n\) en facteur : \(5^{n+2}=5^n\times5^2\).
\(a=5^n\times25-5^n=5^n(25-1)=24\times5^n=12\times\left(2\times5^n\right)\).
[] \(a\) est divisible par \(12\).
3. 💡 Si un produit de deux entiers vaut \(14\), chaque facteur est un diviseur de \(14\) : \(1\), \(2\), \(7\), \(14\).
\(x,y\in\mathbb{N}\) donne \(3y+2\geq2\) ; le produit est positif, donc \(2x-3\geq1\). Ainsi \(3y+2\in\{2;7;14\}\).
Si \(3y+2=2\) : \(y=0\) et \(2x-3=\dfrac{14}{2}=7\), donc \(x=5\).
Si \(3y+2=7\) : \(3y=5\), impossible dans \(\mathbb{N}\).
Si \(3y+2=14\) : \(y=4\) et \(2x-3=\dfrac{14}{14}=1\), donc \(x=2\).
[] \((x;y)\in\{(5;0);(2;4)\}\)
4. 💡 \(B\) est le milieu de \([IJ]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{4}{2}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\).
[!] \(B\) est le milieu de \([IJ]\).
\(7\) est impair, donc \(7^{2018}\) (produit de nombres impairs) est impair, et \(7^{2018}-1\) est pair. De plus \(7^{2018}-1>2\).
[] \(7^{2018}-1\) est divisible par \(2\) : il n'est pas premier.
2. 💡 On met \(5^n\) en facteur : \(5^{n+2}=5^n\times5^2\).
\(a=5^n\times25-5^n=5^n(25-1)=24\times5^n=12\times\left(2\times5^n\right)\).
[] \(a\) est divisible par \(12\).
3. 💡 Si un produit de deux entiers vaut \(14\), chaque facteur est un diviseur de \(14\) : \(1\), \(2\), \(7\), \(14\).
\(x,y\in\mathbb{N}\) donne \(3y+2\geq2\) ; le produit est positif, donc \(2x-3\geq1\). Ainsi \(3y+2\in\{2;7;14\}\).
Si \(3y+2=2\) : \(y=0\) et \(2x-3=\dfrac{14}{2}=7\), donc \(x=5\).
Si \(3y+2=7\) : \(3y=5\), impossible dans \(\mathbb{N}\).
Si \(3y+2=14\) : \(y=4\) et \(2x-3=\dfrac{14}{14}=1\), donc \(x=2\).
[] \((x;y)\in\{(5;0);(2;4)\}\)
4. 💡 \(B\) est le milieu de \([IJ]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}=2\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{4}{2}\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\).
[!] \(B\) est le milieu de \([IJ]\).
Exercice 2 (5 pts)
Soient \(a=2352\) et \(b=1485\).
1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs premiers.
2. Calculer \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) et \(\mathrm{PPCM}(a;b)\).
3. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) pour que le nombre \(n\times a\) soit un carré parfait.
4. En déduire la simplification des nombres : \(\dfrac{a}{b}\) ; \(\sqrt{ab}\) et \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\).
1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs premiers.
2. Calculer \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) et \(\mathrm{PPCM}(a;b)\).
3. Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) pour que le nombre \(n\times a\) soit un carré parfait.
4. En déduire la simplification des nombres : \(\dfrac{a}{b}\) ; \(\sqrt{ab}\) et \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), … :
~ladder 2352
~ladder 1485
[] \(a=2^4\times3\times7^2\) et \(b=3^3\times5\times11\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs, plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs, plus grand exposant.
Le seul facteur commun est \(3\) (exposants \(1\) et \(3\), on garde \(3^1\)).
[] \(\mathrm{PGCD}(a;b)=3\) et \(\mathrm{PPCM}(a;b)=2^4\times3^3\times5\times7^2\times11=1164240\)
3. 💡 Un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
Dans \(a=2^4\times3^1\times7^2\), seul l'exposant de \(3\) est impair : on multiplie par \(3\).
\(3a=2^4\times3^2\times7^2=\left(2^2\times3\times7\right)^2=84^2=7056\).
[] \(n=3\)
4. On simplifie par les facteurs communs : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^4\times3\times7^2}{3^3\times5\times11}=\dfrac{2^4\times7^2}{3^2\times5\times11}=\dfrac{784}{495}\).
\(ab=2^4\times3^4\times5\times7^2\times11=\left(2^2\times3^2\times7\right)^2\times55\), donc \(\sqrt{ab}=2^2\times3^2\times7\sqrt{55}=252\sqrt{55}\).
💡 Pour additionner deux fractions, on prend comme dénominateur commun le PPCM des dénominateurs.
\(\mathrm{PPCM}(a;b)=1164240=495\times a=784\times b\), donc \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{495}{1164240}+\dfrac{784}{1164240}\).
[!] \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{784}{495}\) ; \(\sqrt{ab}=252\sqrt{55}\) ; \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1279}{1164240}\)
~ladder 2352
~ladder 1485
[] \(a=2^4\times3\times7^2\) et \(b=3^3\times5\times11\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs, plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs, plus grand exposant.
Le seul facteur commun est \(3\) (exposants \(1\) et \(3\), on garde \(3^1\)).
[] \(\mathrm{PGCD}(a;b)=3\) et \(\mathrm{PPCM}(a;b)=2^4\times3^3\times5\times7^2\times11=1164240\)
3. 💡 Un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
Dans \(a=2^4\times3^1\times7^2\), seul l'exposant de \(3\) est impair : on multiplie par \(3\).
\(3a=2^4\times3^2\times7^2=\left(2^2\times3\times7\right)^2=84^2=7056\).
[] \(n=3\)
4. On simplifie par les facteurs communs : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^4\times3\times7^2}{3^3\times5\times11}=\dfrac{2^4\times7^2}{3^2\times5\times11}=\dfrac{784}{495}\).
\(ab=2^4\times3^4\times5\times7^2\times11=\left(2^2\times3^2\times7\right)^2\times55\), donc \(\sqrt{ab}=2^2\times3^2\times7\sqrt{55}=252\sqrt{55}\).
💡 Pour additionner deux fractions, on prend comme dénominateur commun le PPCM des dénominateurs.
\(\mathrm{PPCM}(a;b)=1164240=495\times a=784\times b\), donc \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{495}{1164240}+\dfrac{784}{1164240}\).
[!] \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{784}{495}\) ; \(\sqrt{ab}=252\sqrt{55}\) ; \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1279}{1164240}\)
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(D\), \(E\) et \(F\) trois points du plan tels que : \(\overrightarrow{BD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BE}\).
1. Construire les points \(D\), \(E\) et \(F\).
2. Montrer que : \(\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{FB}=\dfrac{9}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}\).
3. a) Montrer que les points \(A\), \(F\) et \(C\) sont alignés.
b) En déduire que les droites \((AC)\) et \((BE)\) se coupent en \(F\).
4. On considère le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}\). Montrer que \((DM)\parallel(AC)\).
1. Construire les points \(D\), \(E\) et \(F\).
2. Montrer que : \(\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{FB}=\dfrac{9}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}\).
3. a) Montrer que les points \(A\), \(F\) et \(C\) sont alignés.
b) En déduire que les droites \((AC)\) et \((BE)\) se coupent en \(F\).
4. On considère le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}\). Montrer que \((DM)\parallel(AC)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(D\) sur \([BC]\) aux deux tiers à partir de \(B\) ; \(E\) sur \((AD)\), de l'autre côté de \(A\) par rapport à \(D\), avec \(AE=2AD\) ; \(F\) sur \([BE]\) avec \(BF=\dfrac{3}{5}BE\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"D":[3.33,3],"E":[-6.67,-6],"F":[-1.6,-3.6],"M":[2,0]},"polys":["ABC"],"segs":["DE","BE",{"s":"CF","dash":true},{"s":"DM","color":"accent"}]}
2. 💡 On utilise la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\).
\(\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AD}\) donne \(\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{AD}=2\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)=2\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\).
\(\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BF}=-\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{EB}=\dfrac{3}{5}\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{5}\left(3\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{9}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}\).
3. a) \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{9}{5}\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}=-\dfrac{4}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AC}\).
[] \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires : \(A\), \(F\) et \(C\) sont alignés.
b) \(F\in(AC)\) (question a) et \(F\in(BE)\) (car \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BE}\)). Les droites \((AC)\) et \((BE)\) sont distinctes (\(B\notin(AC)\)), donc elles se coupent en un seul point : \(F\).
4. 💡 Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
\(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}\).
[!] \(\overrightarrow{DM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}\) : \((DM)\parallel(AC)\).
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2. 💡 On utilise la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\).
\(\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AD}\) donne \(\overrightarrow{EA}=2\overrightarrow{AD}=2\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)=2\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\).
\(\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BF}=-\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{EB}=\dfrac{3}{5}\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{5}\left(3\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{9}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}\).
3. a) \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{9}{5}\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{BC}=-\dfrac{4}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AC}\).
[] \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires : \(A\), \(F\) et \(C\) sont alignés.
b) \(F\in(AC)\) (question a) et \(F\in(BE)\) (car \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{BE}\)). Les droites \((AC)\) et \((BE)\) sont distinctes (\(B\notin(AC)\)), donc elles se coupent en un seul point : \(F\).
4. 💡 Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
\(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BM}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}\).
[!] \(\overrightarrow{DM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}\) : \((DM)\parallel(AC)\).
Exercice 4 (1 pts)
Soient \(a\), \(b\) et \(d\) trois entiers naturels non nuls.
Montrer que si \(a\) est un multiple de \(d\) et \(b\) est un multiple de \(d\), alors \(a+b\) est un multiple de \(d\) et \(a-b\) est un multiple de \(d\) (avec \(a\geq b\)).
Montrer que si \(a\) est un multiple de \(d\) et \(b\) est un multiple de \(d\), alors \(a+b\) est un multiple de \(d\) et \(a-b\) est un multiple de \(d\) (avec \(a\geq b\)).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
💡 « \(a\) est un multiple de \(d\) » signifie qu'il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que \(a=k\times d\).
Il existe donc \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{N}\) tels que \(a=kd\) et \(b=k'd\).
\(a+b=kd+k'd=(k+k')d\) avec \(k+k'\in\mathbb{N}\) : \(a+b\) est un multiple de \(d\).
\(a-b=kd-k'd=(k-k')d\) ; comme \(a\geq b\), on a \(k\geq k'\), donc \(k-k'\in\mathbb{N}\) : \(a-b\) est un multiple de \(d\).
[!] \(a+b\) et \(a-b\) sont des multiples de \(d\).
Il existe donc \(k\) et \(k'\) dans \(\mathbb{N}\) tels que \(a=kd\) et \(b=k'd\).
\(a+b=kd+k'd=(k+k')d\) avec \(k+k'\in\mathbb{N}\) : \(a+b\) est un multiple de \(d\).
\(a-b=kd-k'd=(k-k')d\) ; comme \(a\geq b\), on a \(k\geq k'\), donc \(k-k'\in\mathbb{N}\) : \(a-b\) est un multiple de \(d\).
[!] \(a+b\) et \(a-b\) sont des multiples de \(d\).
Exercice 5 (3 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(E\) le point de \([BC]\) tel que \(\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\). On note \(F\) le projeté de \(E\) sur la droite \((AB)\) parallèlement à la droite \((AC)\).
1. Faire une figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\).
3. En déduire que \(\overrightarrow{FE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
1. Faire une figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\).
3. En déduire que \(\overrightarrow{FE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
1. On place \(E\) au tiers de \([BC]\) à partir de \(B\), puis on trace la parallèle à \((AC)\) passant par \(E\) : elle coupe \((AB)\) en \(F\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"E":[4.67,1.5],"F":[4,0]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"EF","dash":true,"color":"accent"}]}
2. Soit \(p\) la projection sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\). On cherche les projetés des points connus :
\(p(B)=B\) car \(B\in(AB)\) ; la parallèle à \((AC)\) passant par \(C\) est \((AC)\), qui coupe \((AB)\) en \(A\) : \(p(C)=A\) ; et \(p(E)=F\).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
\(\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) avec \(B\mapsto B\), \(E\mapsto F\), \(C\mapsto A\) donne :
[] \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)
3. \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\).
[!] \(\overrightarrow{FE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"E":[4.67,1.5],"F":[4,0]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"EF","dash":true,"color":"accent"}]}
2. Soit \(p\) la projection sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\). On cherche les projetés des points connus :
\(p(B)=B\) car \(B\in(AB)\) ; la parallèle à \((AC)\) passant par \(C\) est \((AC)\), qui coupe \((AB)\) en \(A\) : \(p(C)=A\) ; et \(p(E)=F\).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
\(\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) avec \(B\mapsto B\), \(E\mapsto F\), \(C\mapsto A\) donne :
[] \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)
3. \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\).
[!] \(\overrightarrow{FE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)