Exercice 1 (6 pts)
On considère les deux nombres \(a=14700\) et \(b=16500\).
1. Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire \(\mathrm{ppcm}(a,b)\) et \(\mathrm{pgcd}(a,b)\).
3. Déterminer le nombre de diviseurs de \(a\).
4. Simplifier \(\sqrt{ab}\) et \(\dfrac{a}{b}\).
5. Montrer que \(3a\) est un carré parfait.
6. Avec l'algorithme d'Euclide, déterminer \(\mathrm{pgcd}(630,726)\).
1. Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire \(\mathrm{ppcm}(a,b)\) et \(\mathrm{pgcd}(a,b)\).
3. Déterminer le nombre de diviseurs de \(a\).
4. Simplifier \(\sqrt{ab}\) et \(\dfrac{a}{b}\).
5. Montrer que \(3a\) est un carré parfait.
6. Avec l'algorithme d'Euclide, déterminer \(\mathrm{pgcd}(630,726)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), … :
~ladder 14700
~ladder 16500
[] \(a=2^2\times3\times5^2\times7^2\) et \(b=2^2\times3\times5^3\times11\)
2. 💡 PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant ; PGCD : facteurs communs (\(2\), \(3\), \(5\)) avec le plus petit exposant.
[] \(\mathrm{ppcm}(a,b)=2^2\times3\times5^3\times7^2\times11=808500\) et \(\mathrm{pgcd}(a,b)=2^2\times3\times5^2=300\)
3. 💡 Nombre de diviseurs de \(p^{\alpha}q^{\beta}\cdots\) : \((\alpha+1)(\beta+1)\cdots\)
\(a=2^2\times3^1\times5^2\times7^2\) : \((2+1)(1+1)(2+1)(2+1)=3\times2\times3\times3=54\) diviseurs.
4. \(ab=2^4\times3^2\times5^5\times7^2\times11=\left(2^2\times3\times5^2\times7\right)^2\times5\times11\), donc \(\sqrt{ab}=2100\sqrt{55}\).
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^2\times3\times5^2\times7^2}{2^2\times3\times5^3\times11}=\dfrac{7^2}{5\times11}=\dfrac{49}{55}\).
5. 💡 Carré parfait \(\Leftrightarrow\) tous les exposants sont pairs.
\(3a=2^2\times3^2\times5^2\times7^2=(2\times3\times5\times7)^2=210^2\) : \(3a\) est un carré parfait.
6. 💡 Algorithme d'Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, … Le PGCD est le dernier reste non nul.
\(726=630\times1+96\) ; \(630=96\times6+54\) ; \(96=54\times1+42\) ; \(54=42\times1+12\) ; \(42=12\times3+6\) ; \(12=6\times2+0\).
[!] \(\mathrm{pgcd}(630,726)=6\)
~ladder 14700
~ladder 16500
[] \(a=2^2\times3\times5^2\times7^2\) et \(b=2^2\times3\times5^3\times11\)
2. 💡 PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant ; PGCD : facteurs communs (\(2\), \(3\), \(5\)) avec le plus petit exposant.
[] \(\mathrm{ppcm}(a,b)=2^2\times3\times5^3\times7^2\times11=808500\) et \(\mathrm{pgcd}(a,b)=2^2\times3\times5^2=300\)
3. 💡 Nombre de diviseurs de \(p^{\alpha}q^{\beta}\cdots\) : \((\alpha+1)(\beta+1)\cdots\)
\(a=2^2\times3^1\times5^2\times7^2\) : \((2+1)(1+1)(2+1)(2+1)=3\times2\times3\times3=54\) diviseurs.
4. \(ab=2^4\times3^2\times5^5\times7^2\times11=\left(2^2\times3\times5^2\times7\right)^2\times5\times11\), donc \(\sqrt{ab}=2100\sqrt{55}\).
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2^2\times3\times5^2\times7^2}{2^2\times3\times5^3\times11}=\dfrac{7^2}{5\times11}=\dfrac{49}{55}\).
5. 💡 Carré parfait \(\Leftrightarrow\) tous les exposants sont pairs.
\(3a=2^2\times3^2\times5^2\times7^2=(2\times3\times5\times7)^2=210^2\) : \(3a\) est un carré parfait.
6. 💡 Algorithme d'Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, … Le PGCD est le dernier reste non nul.
\(726=630\times1+96\) ; \(630=96\times6+54\) ; \(96=54\times1+42\) ; \(54=42\times1+12\) ; \(42=12\times3+6\) ; \(12=6\times2+0\).
[!] \(\mathrm{pgcd}(630,726)=6\)
Exercice 2 (4 pts)
Soit \(n\) un nombre entier naturel.
1. Soient \(x=n^2-n+1\) et \(y=6n^3+8\).
a) Étudier la parité de \(x\) et \(y\), et en déduire la parité de \(x+y\) et \(x\times y\).
2. Montrer que le nombre \(A=16^{n+1}-4^{2n+1}\) est multiple de \(12\).
3. Montrer que \(239\) est un nombre premier.
1. Soient \(x=n^2-n+1\) et \(y=6n^3+8\).
a) Étudier la parité de \(x\) et \(y\), et en déduire la parité de \(x+y\) et \(x\times y\).
2. Montrer que le nombre \(A=16^{n+1}-4^{2n+1}\) est multiple de \(12\).
3. Montrer que \(239\) est un nombre premier.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. a) 💡 Rappel : le produit de deux entiers consécutifs est pair.
\(x=n^2-n+1=n(n-1)+1\) : \(n(n-1)\) est pair, donc \(x\) est impair. \(y=6n^3+8=2(3n^3+4)\) est pair.
[] \(x+y\) = impair + pair = impair ; \(x\times y\) = impair × pair = pair.
2. 💡 On écrit tout avec la même base : \(16=4^2\), donc \(16^{n+1}=4^{2n+2}\).
\(A=4^{2n+2}-4^{2n+1}=4^{2n+1}(4-1)=3\times4^{2n+1}=3\times4\times4^{2n}=12\times4^{2n}\).
[] \(A\) est un multiple de \(12\).
3. 💡 Pour montrer que \(n\) est premier, on vérifie qu'aucun nombre premier \(p\) avec \(p^2\leq n\) ne le divise.
\(15^2=225\leq239\) et \(16^2=256>239\) : on teste \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\). \(239\) est impair ; \(2+3+9=14\) n'est pas multiple de \(3\) ; il ne finit ni par \(0\) ni par \(5\) ; \(239=7\times34+1=11\times21+8=13\times18+5\).
[!] Aucun de ces nombres ne divise \(239\) : \(239\) est premier.
\(x=n^2-n+1=n(n-1)+1\) : \(n(n-1)\) est pair, donc \(x\) est impair. \(y=6n^3+8=2(3n^3+4)\) est pair.
[] \(x+y\) = impair + pair = impair ; \(x\times y\) = impair × pair = pair.
2. 💡 On écrit tout avec la même base : \(16=4^2\), donc \(16^{n+1}=4^{2n+2}\).
\(A=4^{2n+2}-4^{2n+1}=4^{2n+1}(4-1)=3\times4^{2n+1}=3\times4\times4^{2n}=12\times4^{2n}\).
[] \(A\) est un multiple de \(12\).
3. 💡 Pour montrer que \(n\) est premier, on vérifie qu'aucun nombre premier \(p\) avec \(p^2\leq n\) ne le divise.
\(15^2=225\leq239\) et \(16^2=256>239\) : on teste \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\). \(239\) est impair ; \(2+3+9=14\) n'est pas multiple de \(3\) ; il ne finit ni par \(0\) ni par \(5\) ; \(239=7\times34+1=11\times21+8=13\times18+5\).
[!] Aucun de ces nombres ne divise \(239\) : \(239\) est premier.
Exercice 3 (4 pts)
1. \(a\) et \(b\) sont deux entiers naturels premiers entre eux. Montrer que \(2a+b\) et \(a\) sont premiers entre eux.
2. Déterminer tous les nombres entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que : \(x^2-4y^2=12\).
3. Soit \(n\) un nombre entier naturel avec \(n\geq4\). Montrer que si \(4\) divise \(n-3\) alors \(8\) divise \(n^2-1\).
4. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que \(n(n-2)(n-1)\) est multiple de \(3\).
2. Déterminer tous les nombres entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que : \(x^2-4y^2=12\).
3. Soit \(n\) un nombre entier naturel avec \(n\geq4\). Montrer que si \(4\) divise \(n-3\) alors \(8\) divise \(n^2-1\).
4. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que \(n(n-2)(n-1)\) est multiple de \(3\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 Deux entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est \(1\).
Soit \(d\) un diviseur commun de \(2a+b\) et de \(a\). Alors \(d\) divise \(2a\), donc il divise la différence \((2a+b)-2a=b\).
\(d\) divise donc \(a\) et \(b\), qui sont premiers entre eux : \(d=1\).
[] \(2a+b\) et \(a\) sont premiers entre eux.
2. 💡 On factorise : \(x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x-2y)(x+2y)\).
\((x-2y)(x+2y)=12\) avec \(0\leq x-2y\leq x+2y\). Les deux facteurs ont la même parité car leur différence \(4y\) est paire.
Parmi \((1;12)\), \((2;6)\), \((3;4)\), seul \((2;6)\) a deux nombres de même parité : \(x-2y=2\) et \(x+2y=6\), donc \(2x=8\).
[] \(x=4\) et \(y=1\)
3. \(4\) divise \(n-3\), donc \(n-3=4k\), soit \(n=4k+3\).
\(n^2-1=(n-1)(n+1)=(4k+2)(4k+4)=2(2k+1)\times4(k+1)=8(2k+1)(k+1)\) : \(8\) divise \(n^2-1\).
4. 💡 Parmi trois entiers consécutifs, l'un est toujours un multiple de \(3\).
\(n-2\), \(n-1\) et \(n\) sont consécutifs (pour \(n=1\) ou \(n=2\), le produit vaut \(0=3\times0\)).
[!] \(n(n-2)(n-1)\) est un multiple de \(3\).
Soit \(d\) un diviseur commun de \(2a+b\) et de \(a\). Alors \(d\) divise \(2a\), donc il divise la différence \((2a+b)-2a=b\).
\(d\) divise donc \(a\) et \(b\), qui sont premiers entre eux : \(d=1\).
[] \(2a+b\) et \(a\) sont premiers entre eux.
2. 💡 On factorise : \(x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x-2y)(x+2y)\).
\((x-2y)(x+2y)=12\) avec \(0\leq x-2y\leq x+2y\). Les deux facteurs ont la même parité car leur différence \(4y\) est paire.
Parmi \((1;12)\), \((2;6)\), \((3;4)\), seul \((2;6)\) a deux nombres de même parité : \(x-2y=2\) et \(x+2y=6\), donc \(2x=8\).
[] \(x=4\) et \(y=1\)
3. \(4\) divise \(n-3\), donc \(n-3=4k\), soit \(n=4k+3\).
\(n^2-1=(n-1)(n+1)=(4k+2)(4k+4)=2(2k+1)\times4(k+1)=8(2k+1)(k+1)\) : \(8\) divise \(n^2-1\).
4. 💡 Parmi trois entiers consécutifs, l'un est toujours un multiple de \(3\).
\(n-2\), \(n-1\) et \(n\) sont consécutifs (pour \(n=1\) ou \(n=2\), le produit vaut \(0=3\times0\)).
[!] \(n(n-2)(n-1)\) est un multiple de \(3\).
Exercice 4 (3 pts)
\(ABCD\) est un parallélogramme et \(M\) le point de \([BC]\) tel que \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\). La droite \((AM)\) coupe la droite \((DC)\) en \(E\). \(N\) est le projeté de \(M\) sur la droite \((DC)\) parallèlement à \((BD)\).
1. Faire une figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AE}\).
3. En utilisant la projection, montrer que \(\overrightarrow{DN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{DC}\).
1. Faire une figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AE}\).
3. En utilisant la projection, montrer que \(\overrightarrow{DN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{DC}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(M\) aux trois quarts de \([BC]\) à partir de \(B\) ; \(E\) est l'intersection de \((AM)\) et \((DC)\) ; \(N\) est sur \((DC)\) avec \((MN)\parallel(BD)\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6.5,3.5],"D":[1.5,3.5],"M":[6.13,2.63],"E":[8.17,3.5],"N":[5.25,3.5]},"polys":["ABCD"],"segs":["AE","CE",{"s":"BD","dash":true},{"s":"MN","dash":true,"color":"accent"}]}
2. 💡 On utilise le théorème de Thalès dans les triangles \(MAB\) et \(MEC\), car \((AB)\parallel(CE)\).
\(BM=\dfrac{3}{4}BC\) et \(MC=\dfrac{1}{4}BC\), donc \(\dfrac{MA}{ME}=\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{3/4}{1/4}=3\), c'est-à-dire \(AM=3ME\).
Comme \(M\) est entre \(A\) et \(E\) : \(AE=AM+ME=AM+\dfrac{AM}{3}=\dfrac{4}{3}AM\), donc \(AM=\dfrac{3}{4}AE\) et les vecteurs ont le même sens.
[] \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AE}\)
3. Soit \(p\) la projection sur \((DC)\) parallèlement à \((BD)\) : \(p(B)=D\) (la parallèle à \((BD)\) par \(B\) est \((BD)\)), \(p(C)=C\) et \(p(M)=N\).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\) avec \(B\mapsto D\), \(M\mapsto N\), \(C\mapsto C\) donne :
[!] \(\overrightarrow{DN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{DC}\)
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6.5,3.5],"D":[1.5,3.5],"M":[6.13,2.63],"E":[8.17,3.5],"N":[5.25,3.5]},"polys":["ABCD"],"segs":["AE","CE",{"s":"BD","dash":true},{"s":"MN","dash":true,"color":"accent"}]}
2. 💡 On utilise le théorème de Thalès dans les triangles \(MAB\) et \(MEC\), car \((AB)\parallel(CE)\).
\(BM=\dfrac{3}{4}BC\) et \(MC=\dfrac{1}{4}BC\), donc \(\dfrac{MA}{ME}=\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{3/4}{1/4}=3\), c'est-à-dire \(AM=3ME\).
Comme \(M\) est entre \(A\) et \(E\) : \(AE=AM+ME=AM+\dfrac{AM}{3}=\dfrac{4}{3}AM\), donc \(AM=\dfrac{3}{4}AE\) et les vecteurs ont le même sens.
[] \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AE}\)
3. Soit \(p\) la projection sur \((DC)\) parallèlement à \((BD)\) : \(p(B)=D\) (la parallèle à \((BD)\) par \(B\) est \((BD)\)), \(p(C)=C\) et \(p(M)=N\).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\) avec \(B\mapsto D\), \(M\mapsto N\), \(C\mapsto C\) donne :
[!] \(\overrightarrow{DN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{DC}\)
Exercice 5 (3 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et soient \(I\), \(J\) et \(K\) les milieux de \([BC]\), \([AC]\) et \([AB]\) respectivement.
Faire une figure et montrer que : \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}=\vec{0}\).
Faire une figure et montrer que : \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}=\vec{0}\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
💡 Si \(I\) est le milieu de \([BC]\), alors \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\) (et de même pour les autres milieux).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"I":[4,2.25],"J":[1,2.25],"K":[3,0]},"polys":["ABC"],"vectors":["AI",{"s":"BJ","color":"blue"},"CK"]}
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\) ; \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\) ; \(\overrightarrow{CK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\).
En additionnant : \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\right)\), et chaque paire est nulle (\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}\), …).
[!] \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}=\vec{0}\)
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"I":[4,2.25],"J":[1,2.25],"K":[3,0]},"polys":["ABC"],"vectors":["AI",{"s":"BJ","color":"blue"},"CK"]}
\(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\) ; \(\overrightarrow{BJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\) ; \(\overrightarrow{CK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)\).
En additionnant : \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\right)\), et chaque paire est nulle (\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}\), …).
[!] \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{CK}=\vec{0}\)