Exercice 1 (5 pts)
On considère les nombres \(a=1512\) et \(b=2205\).
1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs premiers.
2. En déduire \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Écrire \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible.
4. Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(k\) tel que \(k\times b\) soit un carré parfait.
5. Déterminer le nombre de diviseurs de \(a\).
1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs premiers.
2. En déduire \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Écrire \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible.
4. Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(k\) tel que \(k\times b\) soit un carré parfait.
5. Déterminer le nombre de diviseurs de \(a\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers :
~ladder 1512
~ladder 2205
[] \(a=2^3\times3^3\times7\) et \(b=3^2\times5\times7^2\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs (\(3\) et \(7\)) avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=3^2\times7=63\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^3\times3^3\times5\times7^2=52920\)
3. On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD \(63\) : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1512\div63}{2205\div63}=\dfrac{24}{35}\).
4. 💡 Un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
Dans \(b=3^2\times5^1\times7^2\), seul l'exposant de \(5\) est impair : on multiplie par \(5\).
\(5b=3^2\times5^2\times7^2=(3\times5\times7)^2=105^2=11025\).
[] \(k=5\)
5. 💡 Nombre de diviseurs de \(p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}\) : \((\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\).
\(a=2^3\times3^3\times7^1\) : \((3+1)(3+1)(1+1)=4\times4\times2\).
[!] \(a\) a \(32\) diviseurs.
~ladder 1512
~ladder 2205
[] \(a=2^3\times3^3\times7\) et \(b=3^2\times5\times7^2\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs (\(3\) et \(7\)) avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=3^2\times7=63\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^3\times3^3\times5\times7^2=52920\)
3. On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD \(63\) : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1512\div63}{2205\div63}=\dfrac{24}{35}\).
4. 💡 Un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
Dans \(b=3^2\times5^1\times7^2\), seul l'exposant de \(5\) est impair : on multiplie par \(5\).
\(5b=3^2\times5^2\times7^2=(3\times5\times7)^2=105^2=11025\).
[] \(k=5\)
5. 💡 Nombre de diviseurs de \(p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}\) : \((\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\).
\(a=2^3\times3^3\times7^1\) : \((3+1)(3+1)(1+1)=4\times4\times2\).
[!] \(a\) a \(32\) diviseurs.
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(n\) un entier naturel.
1. Montrer que le nombre \((n+1)(n+4)\) est pair.
2. Montrer que \(n^3-n\) est un multiple de \(6\).
3. Déterminer les entiers naturels \(n\) pour lesquels le nombre \(n^2+2n-3\) est premier.
4. Déterminer les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(xy-3x=7\).
1. Montrer que le nombre \((n+1)(n+4)\) est pair.
2. Montrer que \(n^3-n\) est un multiple de \(6\).
3. Déterminer les entiers naturels \(n\) pour lesquels le nombre \(n^2+2n-3\) est premier.
4. Déterminer les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(xy-3x=7\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Deux entiers dont la différence est impaire n'ont pas la même parité.
\((n+4)-(n+1)=3\) est impair : l'un des deux nombres \(n+1\), \(n+4\) est pair, donc leur produit est pair.
2. On factorise : \(n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)\times n\times(n+1)\) : produit de trois entiers consécutifs.
💡 Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair ; parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de \(3\).
Donc \(n^3-n\) est divisible par \(2\) et par \(3\) ; comme \(2\) et \(3\) sont premiers entre eux, il est divisible par \(6\).
3. 💡 On factorise pour faire apparaître un produit : \(n^2+2n-3=(n-1)(n+3)\) (on vérifie en développant).
Un produit de deux entiers naturels est premier seulement si l'un des facteurs vaut \(1\). Ici \(n+3\geq3\), donc il faut \(n-1=1\).
Pour \(n=0\) ou \(n=1\) le nombre vaut \(-3\) ou \(0\), qui ne sont pas premiers.
[] \(n=2\) (le nombre vaut alors \(1\times5=5\), qui est premier).
4. On factorise : \(xy-3x=x(y-3)=7\). Donc \(x\) est un diviseur de \(7\) : \(x=1\) ou \(x=7\).
\(x=1\) donne \(y-3=7\), soit \(y=10\) ; \(x=7\) donne \(y-3=1\), soit \(y=4\).
[!] \((x;y)=(1;10)\) ou \((x;y)=(7;4)\)
\((n+4)-(n+1)=3\) est impair : l'un des deux nombres \(n+1\), \(n+4\) est pair, donc leur produit est pair.
2. On factorise : \(n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)\times n\times(n+1)\) : produit de trois entiers consécutifs.
💡 Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair ; parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de \(3\).
Donc \(n^3-n\) est divisible par \(2\) et par \(3\) ; comme \(2\) et \(3\) sont premiers entre eux, il est divisible par \(6\).
3. 💡 On factorise pour faire apparaître un produit : \(n^2+2n-3=(n-1)(n+3)\) (on vérifie en développant).
Un produit de deux entiers naturels est premier seulement si l'un des facteurs vaut \(1\). Ici \(n+3\geq3\), donc il faut \(n-1=1\).
Pour \(n=0\) ou \(n=1\) le nombre vaut \(-3\) ou \(0\), qui ne sont pas premiers.
[] \(n=2\) (le nombre vaut alors \(1\times5=5\), qui est premier).
4. On factorise : \(xy-3x=x(y-3)=7\). Donc \(x\) est un diviseur de \(7\) : \(x=1\) ou \(x=7\).
\(x=1\) donne \(y-3=7\), soit \(y=10\) ; \(x=7\) donne \(y-3=1\), soit \(y=4\).
[!] \((x;y)=(1;10)\) ou \((x;y)=(7;4)\)
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(ABC\) un triangle. On considère les points \(E\) et \(F\) tels que : \(\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{EB}=\vec{0}\) et \(2\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{FC}=\vec{0}\).
1. Montrer que \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}\), puis construire \(E\) et \(F\).
2. Soit \(G\) le point tel que \(\overrightarrow{BG}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}\). Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).
3. Exprimer \(\overrightarrow{EG}\) et \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
4. En déduire que les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
1. Montrer que \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}\), puis construire \(E\) et \(F\).
2. Soit \(G\) le point tel que \(\overrightarrow{BG}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}\). Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).
3. Exprimer \(\overrightarrow{EG}\) et \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
4. En déduire que les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 Méthode : on introduit le point \(A\) par la relation de Chasles dans chaque vecteur, puis on isole \(\overrightarrow{AE}\) (ou \(\overrightarrow{AF}\)).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"E":[4,0],"F":[-2,-4.5],"G":[5.2,0.9]},"polys":["ABC"],"segs":["CF",{"s":"FG","color":"accent"}]}
\(\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+2\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\right)=3\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\), donc \(3\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).
\(2\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{FC}=2\overrightarrow{FA}-\left(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{AC}=\vec{0}\), donc \(\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}\) (\(F\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(A\)).
2. \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).
3. \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{12}{15}-\dfrac{10}{15}\right)\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{15}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
4. 💡 On cherche un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{EG}\) : on compare les coefficients de \(\overrightarrow{AC}\) : \(-1=k\times\dfrac{1}{5}\), donc \(k=-5\).
Vérification avec \(\overrightarrow{AB}\) : \(-5\times\dfrac{2}{15}=-\dfrac{10}{15}=-\dfrac{2}{3}\) ✓.
[!] \(\overrightarrow{EF}=-5\overrightarrow{EG}\) : les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"E":[4,0],"F":[-2,-4.5],"G":[5.2,0.9]},"polys":["ABC"],"segs":["CF",{"s":"FG","color":"accent"}]}
\(\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+2\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\right)=3\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AB}=\vec{0}\), donc \(3\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).
\(2\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{FC}=2\overrightarrow{FA}-\left(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{FA}-\overrightarrow{AC}=\vec{0}\), donc \(\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}\) (\(F\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(A\)).
2. \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).
3. \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{12}{15}-\dfrac{10}{15}\right)\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{15}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{5}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
4. 💡 On cherche un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{EF}=k\overrightarrow{EG}\) : on compare les coefficients de \(\overrightarrow{AC}\) : \(-1=k\times\dfrac{1}{5}\), donc \(k=-5\).
Vérification avec \(\overrightarrow{AB}\) : \(-5\times\dfrac{2}{15}=-\dfrac{10}{15}=-\dfrac{2}{3}\) ✓.
[!] \(\overrightarrow{EF}=-5\overrightarrow{EG}\) : les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(ABC\) un triangle. \(D\) et \(E\) sont les points définis par \(\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\). On note \(p\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
1. Déterminer \(p(A)\) et \(p(B)\).
2. Montrer que \(p(D)=E\) et en déduire que \((DE)\parallel(BC)\).
3. Soient \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(K\) le milieu de \([DE]\). Montrer que \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}\), puis en déduire que la droite \((AI)\) coupe \([DE]\) en son milieu.
1. Déterminer \(p(A)\) et \(p(B)\).
2. Montrer que \(p(D)=E\) et en déduire que \((DE)\parallel(BC)\).
3. Soient \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(K\) le milieu de \([DE]\). Montrer que \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}\), puis en déduire que la droite \((AI)\) coupe \([DE]\) en son milieu.
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. 💡 Le projeté de \(X\) : on trace la parallèle à \((BC)\) passant par \(X\) ; elle coupe \((AC)\) au projeté.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"D":[2,0],"E":[0.67,1.5],"I":[4,2.25],"K":[1.33,0.75]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"DE","dash":true,"color":"accent"},{"s":"AI","dash":true,"color":"blue"}]}
\(A\in(AC)\), donc \(p(A)=A\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\), qui coupe \((AC)\) en \(C\) : \(p(B)=C\).
2. 💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
\(\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), \(A\mapsto A\), \(B\mapsto C\) : donc \(\overrightarrow{Ap(D)}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}\), ce qui donne \(p(D)=E\).
Par définition de la projection, la droite qui joint un point à son projeté est parallèle à \((BC)\) : \((DE)\parallel(BC)\).
3. 💡 \(K\) milieu de \([DE]\) : \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\right)\) ; \(I\) milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}\).
Donc \(A\), \(K\), \(I\) sont alignés : \(K\in(AI)\). Comme \(K\in[DE]\) et que \((AI)\) coupe \((DE)\) en un seul point, ce point est \(K\).
[!] La droite \((AI)\) coupe \([DE]\) en son milieu \(K\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"D":[2,0],"E":[0.67,1.5],"I":[4,2.25],"K":[1.33,0.75]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"DE","dash":true,"color":"accent"},{"s":"AI","dash":true,"color":"blue"}]}
\(A\in(AC)\), donc \(p(A)=A\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\), qui coupe \((AC)\) en \(C\) : \(p(B)=C\).
2. 💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
\(\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), \(A\mapsto A\), \(B\mapsto C\) : donc \(\overrightarrow{Ap(D)}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}\), ce qui donne \(p(D)=E\).
Par définition de la projection, la droite qui joint un point à son projeté est parallèle à \((BC)\) : \((DE)\parallel(BC)\).
3. 💡 \(K\) milieu de \([DE]\) : \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\right)\) ; \(I\) milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}\).
Donc \(A\), \(K\), \(I\) sont alignés : \(K\in(AI)\). Comme \(K\in[DE]\) et que \((AI)\) coupe \((DE)\) en un seul point, ce point est \(K\).
[!] La droite \((AI)\) coupe \([DE]\) en son milieu \(K\).