Exercice 1 (4 pts)
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
1. La somme de deux nombres impairs est impaire.
2. Si \(a\) divise \(b\) et \(b\) divise \(c\), alors \(a\) divise \(c\).
3. Le nombre \(2^5\times3\) admet exactement \(12\) diviseurs.
4. Si \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\), alors \(I\) est le milieu de \([BC]\).
5. Une projection conserve les longueurs.
1. La somme de deux nombres impairs est impaire.
2. Si \(a\) divise \(b\) et \(b\) divise \(c\), alors \(a\) divise \(c\).
3. Le nombre \(2^5\times3\) admet exactement \(12\) diviseurs.
4. Si \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\), alors \(I\) est le milieu de \([BC]\).
5. Une projection conserve les longueurs.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour montrer qu'elle est vraie, il faut une preuve générale.
1. Faux : \(1+3=4\) est pair. En général \((2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)\) est toujours pair.
2. Vrai : \(b=k\times a\) et \(c=k'\times b\) donnent \(c=k'\times k\times a=(kk')\times a\), donc \(a\) divise \(c\).
3. Vrai : nombre de diviseurs de \(2^5\times3^1\) : \((5+1)(1+1)=6\times2=12\).
4. Vrai : si \(I'\) est le milieu de \([BC]\), alors \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI'}\) ; donc \(2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AI'}\), d'où \(I=I'\).
5. Faux : si la droite \((AB)\) est parallèle à la direction de projection, \(A\) et \(B\) ont le même projeté (longueur \(0\)), alors que \(AB\neq0\).
1. Faux : \(1+3=4\) est pair. En général \((2a+1)+(2b+1)=2(a+b+1)\) est toujours pair.
2. Vrai : \(b=k\times a\) et \(c=k'\times b\) donnent \(c=k'\times k\times a=(kk')\times a\), donc \(a\) divise \(c\).
3. Vrai : nombre de diviseurs de \(2^5\times3^1\) : \((5+1)(1+1)=6\times2=12\).
4. Vrai : si \(I'\) est le milieu de \([BC]\), alors \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI'}\) ; donc \(2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AI'}\), d'où \(I=I'\).
5. Faux : si la droite \((AB)\) est parallèle à la direction de projection, \(A\) et \(B\) ont le même projeté (longueur \(0\)), alors que \(AB\neq0\).
Exercice 2 (6 pts)
1. Décomposer \(2016\) en produit de facteurs premiers.
2. En déduire le nombre de diviseurs de \(2016\).
3. Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(k\) tel que \(2016\times k\) soit un carré parfait, et préciser sa racine carrée.
4. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que \(3n+5\) et \(n+2\) sont premiers entre eux.
5. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le nombre \(n(n+1)(2n+1)\) est pair.
2. En déduire le nombre de diviseurs de \(2016\).
3. Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(k\) tel que \(2016\times k\) soit un carré parfait, et préciser sa racine carrée.
4. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que \(3n+5\) et \(n+2\) sont premiers entre eux.
5. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le nombre \(n(n+1)(2n+1)\) est pair.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers :
~ladder 2016
[] \(2016=2^5\times3^2\times7\)
2. 💡 Nombre de diviseurs de \(p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}\) : \((\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\).
\((5+1)(2+1)(1+1)=6\times3\times2=36\) : \(2016\) a \(36\) diviseurs.
3. 💡 Un nombre est un carré parfait si tous ses exposants sont pairs.
Les exposants de \(2\) (qui est \(5\)) et de \(7\) (qui est \(1\)) sont impairs : on multiplie par \(2\times7=14\).
\(2016\times14=2^6\times3^2\times7^2=\left(2^3\times3\times7\right)^2=168^2\).
[] \(k=14\) et \(\sqrt{2016\times14}=168\)
4. 💡 Méthode : un diviseur commun de deux nombres divise aussi toute combinaison de ces nombres.
Soit \(d\) un diviseur commun de \(3n+5\) et \(n+2\). Alors \(d\) divise \(3(n+2)=3n+6\), donc il divise \((3n+6)-(3n+5)=1\) : \(d=1\).
[] \(3n+5\) et \(n+2\) sont premiers entre eux.
5. \(n(n+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc il est pair : \(n(n+1)=2k\). Alors \(n(n+1)(2n+1)=2k(2n+1)\).
[!] \(n(n+1)(2n+1)\) est pair pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
~ladder 2016
[] \(2016=2^5\times3^2\times7\)
2. 💡 Nombre de diviseurs de \(p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}\) : \((\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\).
\((5+1)(2+1)(1+1)=6\times3\times2=36\) : \(2016\) a \(36\) diviseurs.
3. 💡 Un nombre est un carré parfait si tous ses exposants sont pairs.
Les exposants de \(2\) (qui est \(5\)) et de \(7\) (qui est \(1\)) sont impairs : on multiplie par \(2\times7=14\).
\(2016\times14=2^6\times3^2\times7^2=\left(2^3\times3\times7\right)^2=168^2\).
[] \(k=14\) et \(\sqrt{2016\times14}=168\)
4. 💡 Méthode : un diviseur commun de deux nombres divise aussi toute combinaison de ces nombres.
Soit \(d\) un diviseur commun de \(3n+5\) et \(n+2\). Alors \(d\) divise \(3(n+2)=3n+6\), donc il divise \((3n+6)-(3n+5)=1\) : \(d=1\).
[] \(3n+5\) et \(n+2\) sont premiers entre eux.
5. \(n(n+1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, donc il est pair : \(n(n+1)=2k\). Alors \(n(n+1)(2n+1)=2k(2n+1)\).
[!] \(n(n+1)(2n+1)\) est pair pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([AB]\). On considère les points \(J\) et \(K\) définis par : \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BK}=2\overrightarrow{BC}\).
1. Faire une figure.
2. Exprimer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
4. Montrer que \(C\) est le milieu de \([BK]\).
5. Soit \(L\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(C\). Montrer que \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AB}\). Que peut-on dire des droites \((KL)\) et \((AB)\) ?
1. Faire une figure.
2. Exprimer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
4. Montrer que \(C\) est le milieu de \([BK]\).
5. Soit \(L\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(C\). Montrer que \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AB}\). Que peut-on dire des droites \((KL)\) et \((AB)\) ?
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(I\) milieu de \([AB]\) ; \(J\) sur \([AC]\) aux deux tiers à partir de \(A\) ; \(K\) tel que \(C\) soit le milieu de \([BK]\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[3,3],"I":[3,0],"J":[2,2],"K":[0,6],"L":[6,6]},"polys":["ABC"],"segs":["BK","AL",{"s":"IK","color":"accent"},{"s":"KL","color":"blue"}]}
2. 💡 On exprime tout avec l'origine \(A\) : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), et \(\overrightarrow{AK}\) par Chasles.
\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AB}+2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AI}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).
3. On compare les coefficients : \(-\dfrac{3}{2}=3\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) et \(2=3\times\dfrac{2}{3}\), donc \(\overrightarrow{IK}=3\overrightarrow{IJ}\).
[] \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
4. \(\overrightarrow{BK}=2\overrightarrow{BC}\) donne \(\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BK}\) : \(C\) est le milieu de \([BK]\).
5. \(L\) symétrique de \(A\) par rapport à \(C\) : \(C\) est le milieu de \([AL]\), donc \(\overrightarrow{AL}=2\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AC}-\left(-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}\).
[!] \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AB}\) : les droites \((KL)\) et \((AB)\) sont parallèles (et \(ABLK\) est un parallélogramme).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[3,3],"I":[3,0],"J":[2,2],"K":[0,6],"L":[6,6]},"polys":["ABC"],"segs":["BK","AL",{"s":"IK","color":"accent"},{"s":"KL","color":"blue"}]}
2. 💡 On exprime tout avec l'origine \(A\) : \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), et \(\overrightarrow{AK}\) par Chasles.
\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AB}+2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\), donc \(\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AI}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\).
3. On compare les coefficients : \(-\dfrac{3}{2}=3\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\) et \(2=3\times\dfrac{2}{3}\), donc \(\overrightarrow{IK}=3\overrightarrow{IJ}\).
[] \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
4. \(\overrightarrow{BK}=2\overrightarrow{BC}\) donne \(\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BK}\) : \(C\) est le milieu de \([BK]\).
5. \(L\) symétrique de \(A\) par rapport à \(C\) : \(C\) est le milieu de \([AL]\), donc \(\overrightarrow{AL}=2\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AL}-\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AC}-\left(-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}\).
[!] \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{AB}\) : les droites \((KL)\) et \((AB)\) sont parallèles (et \(ABLK\) est un parallélogramme).
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(p\) la projection sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AI)\).
1. Déterminer \(p(A)\), \(p(I)\), \(p(B)\) et \(p(C)\).
2. Soit \(M\) le milieu de \([AB]\) et \(M'=p(M)\). Montrer que \(M'\) est le milieu de \([BI]\), puis que \(\overrightarrow{BM'}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).
3. Soit \(N\) le point de \([AC]\) tel que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(N'=p(N)\). Montrer que \(\overrightarrow{IN'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}\).
1. Déterminer \(p(A)\), \(p(I)\), \(p(B)\) et \(p(C)\).
2. Soit \(M\) le milieu de \([AB]\) et \(M'=p(M)\). Montrer que \(M'\) est le milieu de \([BI]\), puis que \(\overrightarrow{BM'}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).
3. Soit \(N\) le point de \([AC]\) tel que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(N'=p(N)\). Montrer que \(\overrightarrow{IN'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. 💡 Le projeté de \(X\) : on trace la parallèle à \((AI)\) passant par \(X\) ; elle coupe \((BC)\) au projeté.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"I":[4,2.25],"M":[3,0],"N":[0.67,1.5],"M'":[5,1.13],"N'":[3.33,3]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"AI","dash":true},{"s":"MM'","dash":true,"color":"accent"},{"s":"NN'","dash":true,"color":"blue"}]}
La parallèle à \((AI)\) passant par \(A\) est \((AI)\) elle-même, qui coupe \((BC)\) en \(I\) : \(p(A)=I\).
\(I\), \(B\) et \(C\) sont déjà sur \((BC)\) : \(p(I)=I\), \(p(B)=B\) et \(p(C)=C\).
2. 💡 Une projection conserve le milieu.
\(M\) est le milieu de \([AB]\), donc \(M'=p(M)\) est le milieu de \([p(A)p(B)]=[IB]\).
\(\overrightarrow{BM'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BI}\) et \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) (\(I\) milieu de \([BC]\)), donc \(\overrightarrow{BM'}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).
3. 💡 Une projection conserve le coefficient de colinéarité.
\(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) avec \(A\mapsto I\), \(N\mapsto N'\), \(C\mapsto C\) donne :
[!] \(\overrightarrow{IN'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}\)
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"I":[4,2.25],"M":[3,0],"N":[0.67,1.5],"M'":[5,1.13],"N'":[3.33,3]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"AI","dash":true},{"s":"MM'","dash":true,"color":"accent"},{"s":"NN'","dash":true,"color":"blue"}]}
La parallèle à \((AI)\) passant par \(A\) est \((AI)\) elle-même, qui coupe \((BC)\) en \(I\) : \(p(A)=I\).
\(I\), \(B\) et \(C\) sont déjà sur \((BC)\) : \(p(I)=I\), \(p(B)=B\) et \(p(C)=C\).
2. 💡 Une projection conserve le milieu.
\(M\) est le milieu de \([AB]\), donc \(M'=p(M)\) est le milieu de \([p(A)p(B)]=[IB]\).
\(\overrightarrow{BM'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BI}\) et \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) (\(I\) milieu de \([BC]\)), donc \(\overrightarrow{BM'}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).
3. 💡 Une projection conserve le coefficient de colinéarité.
\(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) avec \(A\mapsto I\), \(N\mapsto N'\), \(C\mapsto C\) donne :
[!] \(\overrightarrow{IN'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}\)