Exercice 1 (5 pts)
On pose : \(a=360\) et \(b=490\).
1. Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Est-ce que les deux nombres \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ?
4. Montrer que \(\sqrt{a\times b}\) est un entier naturel.
5. Écrire le nombre \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible.
1. Décomposer en produit de facteurs premiers les deux nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Est-ce que les deux nombres \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux ?
4. Montrer que \(\sqrt{a\times b}\) est un entier naturel.
5. Écrire le nombre \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers :
~ladder 360
~ladder 490
[] \(a=2^3\times3^2\times5\) et \(b=2\times5\times7^2\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs (\(2\) et \(5\)) avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=2\times5=10\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^3\times3^2\times5\times7^2=17640\)
3. \(\mathrm{pgcd}(a;b)=10\neq1\) : \(a\) et \(b\) ne sont pas premiers entre eux.
4. 💡 \(\sqrt{N}\) est un entier si tous les exposants de \(N\) sont pairs.
\(a\times b=2^4\times3^2\times5^2\times7^2=\left(2^2\times3\times5\times7\right)^2\), donc \(\sqrt{a\times b}=2^2\times3\times5\times7=420\in\mathbb{N}\).
5. On divise par le PGCD \(10\) : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{360\div10}{490\div10}=\dfrac{36}{49}\) (\(36=2^2\times3^2\) et \(49=7^2\) n'ont aucun facteur commun).
[!] \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{36}{49}\)
~ladder 360
~ladder 490
[] \(a=2^3\times3^2\times5\) et \(b=2\times5\times7^2\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs (\(2\) et \(5\)) avec le plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=2\times5=10\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^3\times3^2\times5\times7^2=17640\)
3. \(\mathrm{pgcd}(a;b)=10\neq1\) : \(a\) et \(b\) ne sont pas premiers entre eux.
4. 💡 \(\sqrt{N}\) est un entier si tous les exposants de \(N\) sont pairs.
\(a\times b=2^4\times3^2\times5^2\times7^2=\left(2^2\times3\times5\times7\right)^2\), donc \(\sqrt{a\times b}=2^2\times3\times5\times7=420\in\mathbb{N}\).
5. On divise par le PGCD \(10\) : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{360\div10}{490\div10}=\dfrac{36}{49}\) (\(36=2^2\times3^2\) et \(49=7^2\) n'ont aucun facteur commun).
[!] \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{36}{49}\)
Exercice 2 (6.5 pts)
Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose : \(a=6n+11\) et \(b=2n+4\).
1. Étudier la parité des nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire la parité du nombre \(c=(6n+11)(-1)^b+(2n+3)(-1)^a\).
3. Montrer que le nombre \((a+1)^2+b^2\) est un multiple de \(40\).
4. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(\dfrac{n+7}{n+1}=1+\dfrac{6}{n+1}\).
5. En déduire les valeurs de l'entier naturel \(n\) pour lesquelles \(\dfrac{n+7}{n+1}\in\mathbb{N}\).
6. Déterminer tous les diviseurs de \(22\).
7. Déterminer tous les entiers naturels \((x;y)\) tels que : \(xy+x+y=21\).
1. Étudier la parité des nombres \(a\) et \(b\).
2. En déduire la parité du nombre \(c=(6n+11)(-1)^b+(2n+3)(-1)^a\).
3. Montrer que le nombre \((a+1)^2+b^2\) est un multiple de \(40\).
4. Vérifier que pour tout entier naturel \(n\) on a : \(\dfrac{n+7}{n+1}=1+\dfrac{6}{n+1}\).
5. En déduire les valeurs de l'entier naturel \(n\) pour lesquelles \(\dfrac{n+7}{n+1}\in\mathbb{N}\).
6. Déterminer tous les diviseurs de \(22\).
7. Déterminer tous les entiers naturels \((x;y)\) tels que : \(xy+x+y=21\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(a=6n+11=6n+10+1=2(3n+5)+1\) : \(a\) est impair. \(b=2n+4=2(n+2)\) : \(b\) est pair.
2. 💡 Rappel : \((-1)^m=1\) si \(m\) est pair, et \((-1)^m=-1\) si \(m\) est impair.
\(b\) pair : \((-1)^b=1\) ; \(a\) impair : \((-1)^a=-1\). Donc \(c=(6n+11)-(2n+3)=4n+8=2(2n+4)\).
[] \(c\) est pair.
3. \(a+1=6n+12=6(n+2)\) et \(b=2(n+2)\), donc \((a+1)^2+b^2=36(n+2)^2+4(n+2)^2=40(n+2)^2\).
[] \((a+1)^2+b^2\) est un multiple de \(40\).
4. \(1+\dfrac{6}{n+1}=\dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{6}{n+1}=\dfrac{n+7}{n+1}\).
5. 💡 \(\dfrac{n+7}{n+1}\) est un entier si et seulement si \(n+1\) divise \(6\).
Les diviseurs de \(6\) sont \(1\), \(2\), \(3\), \(6\) : \(n+1\in\{1;2;3;6\}\).
[] \(n\in\{0;1;2;5\}\)
6. \(22=2\times11\) : les diviseurs de \(22\) sont \(1\), \(2\), \(11\) et \(22\).
7. 💡 Astuce : on ajoute \(1\) aux deux membres : \(xy+x+y+1=x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)\).
L'équation devient \((x+1)(y+1)=22\) : \(x+1\) et \(y+1\) sont des diviseurs de \(22\), d'où \((x+1;y+1)\in\{(1;22);(2;11);(11;2);(22;1)\}\).
[!] \((x;y)\in\{(0;21);(1;10);(10;1);(21;0)\}\)
2. 💡 Rappel : \((-1)^m=1\) si \(m\) est pair, et \((-1)^m=-1\) si \(m\) est impair.
\(b\) pair : \((-1)^b=1\) ; \(a\) impair : \((-1)^a=-1\). Donc \(c=(6n+11)-(2n+3)=4n+8=2(2n+4)\).
[] \(c\) est pair.
3. \(a+1=6n+12=6(n+2)\) et \(b=2(n+2)\), donc \((a+1)^2+b^2=36(n+2)^2+4(n+2)^2=40(n+2)^2\).
[] \((a+1)^2+b^2\) est un multiple de \(40\).
4. \(1+\dfrac{6}{n+1}=\dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{6}{n+1}=\dfrac{n+7}{n+1}\).
5. 💡 \(\dfrac{n+7}{n+1}\) est un entier si et seulement si \(n+1\) divise \(6\).
Les diviseurs de \(6\) sont \(1\), \(2\), \(3\), \(6\) : \(n+1\in\{1;2;3;6\}\).
[] \(n\in\{0;1;2;5\}\)
6. \(22=2\times11\) : les diviseurs de \(22\) sont \(1\), \(2\), \(11\) et \(22\).
7. 💡 Astuce : on ajoute \(1\) aux deux membres : \(xy+x+y+1=x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)\).
L'équation devient \((x+1)(y+1)=22\) : \(x+1\) et \(y+1\) sont des diviseurs de \(22\), d'où \((x+1;y+1)\in\{(1;22);(2;11);(11;2);(22;1)\}\).
[!] \((x;y)\in\{(0;21);(1;10);(10;1);(21;0)\}\)
Exercice 3 (5.5 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(M\) et \(N\) deux points du plan tels que : \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AD}\).
1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que \(\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\).
3. En déduire que les points \(C\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
4. Soit \(E\) le milieu du segment \([DN]\) et soit \(F\) le point du plan tel que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\).
b) En déduire que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que \(\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\).
3. En déduire que les points \(C\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
4. Soit \(E\) le milieu du segment \([DN]\) et soit \(F\) le point du plan tel que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\).
b) En déduire que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(M\) sur \((AB)\) au-delà de \(B\) avec \(BM=\dfrac{1}{2}AB\) ; \(N\) sur \((AD)\) au-delà de \(D\) avec \(AN=3AD\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6,2],"D":[1,2],"M":[7.5,0],"N":[3,6],"E":[2,4],"F":[10,0]},"polys":["ABCD"],"segs":["AF","AN",{"s":"NM","color":"accent"},{"s":"EF","dash":true,"color":"blue"}]}
2. 💡 Dans le parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (donc \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\)).
\(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+3\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\).
3. \(-2\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CN}\) : les vecteurs sont colinéaires, donc \(C\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
4. a) \(\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}\) ; \(E\) milieu de \([DN]\) donne \(\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\) (car \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)).
b) 💡 \(C\) est le milieu de \([EF]\) si et seulement si \(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\vec{0}\).
\(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}\right)=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\).
[!] \(C\) est le milieu de \([EF]\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6,2],"D":[1,2],"M":[7.5,0],"N":[3,6],"E":[2,4],"F":[10,0]},"polys":["ABCD"],"segs":["AF","AN",{"s":"NM","color":"accent"},{"s":"EF","dash":true,"color":"blue"}]}
2. 💡 Dans le parallélogramme \(ABCD\) : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (donc \(\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}\)).
\(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
\(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+3\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}+3\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\).
3. \(-2\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CN}\) : les vecteurs sont colinéaires, donc \(C\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
4. a) \(\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}\) ; \(E\) milieu de \([DN]\) donne \(\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}\).
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\) (car \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)).
b) 💡 \(C\) est le milieu de \([EF]\) si et seulement si \(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\vec{0}\).
\(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}\right)=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\).
[!] \(C\) est le milieu de \([EF]\).
Exercice 4 (3 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(E\) un point du plan tel que : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).
1. Construire le point \(E'\), projeté de \(E\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{AE'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que \(\overrightarrow{EE'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).
1. Construire le point \(E'\), projeté de \(E\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{AE'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que \(\overrightarrow{EE'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. On place \(E\) sur \([AB]\) avec \(AE=\dfrac{2}{3}AB\), puis on trace la parallèle à \((BC)\) passant par \(E\) : elle coupe \((AC)\) en \(E'\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"E":[4,0],"E'":[1.33,3]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"EE'","dash":true,"color":"accent"}]}
2. Soit la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) : \(A\mapsto A\) (car \(A\in(AC)\)), \(B\mapsto C\) (la parallèle à \((BC)\) par \(B\) est \((BC)\)), \(E\mapsto E'\).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
[] \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AE'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
3. \(\overrightarrow{EE'}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AE'}=\overrightarrow{AE'}-\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\).
[!] \(\overrightarrow{EE'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"E":[4,0],"E'":[1.33,3]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"EE'","dash":true,"color":"accent"}]}
2. Soit la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) : \(A\mapsto A\) (car \(A\in(AC)\)), \(B\mapsto C\) (la parallèle à \((BC)\) par \(B\) est \((BC)\)), \(E\mapsto E'\).
💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
[] \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AE'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
3. \(\overrightarrow{EE'}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AE'}=\overrightarrow{AE'}-\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\).
[!] \(\overrightarrow{EE'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)