Exercice 1 (5 pts)
On considère les nombres \(a=1176\) et \(b=420\).
1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs premiers.
2. En déduire \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Vérifier que \(\mathrm{pgcd}(a;b)\times\mathrm{ppcm}(a;b)=a\times b\).
4. Écrire \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible.
5. Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(k\) tel que \(k\times a\) soit un carré parfait.
6. Déterminer le nombre de diviseurs de \(b\).
1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs premiers.
2. En déduire \(\mathrm{pgcd}(a;b)\) et \(\mathrm{ppcm}(a;b)\).
3. Vérifier que \(\mathrm{pgcd}(a;b)\times\mathrm{ppcm}(a;b)=a\times b\).
4. Écrire \(\dfrac{a}{b}\) sous forme de fraction irréductible.
5. Déterminer le plus petit entier naturel non nul \(k\) tel que \(k\times a\) soit un carré parfait.
6. Déterminer le nombre de diviseurs de \(b\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. On divise successivement par les nombres premiers \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), … jusqu'à obtenir \(1\) :
~ladder 1176
~ladder 420
[] \(a=2^3\times3\times7^2\) et \(b=2^2\times3\times5\times7\)
2. 💡 Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant.
Facteurs communs : \(2\) (exposants \(3\) et \(2\), on garde \(2^2\)), \(3\) (on garde \(3\)) et \(7\) (exposants \(2\) et \(1\), on garde \(7\)). Le \(5\) n'est pas commun.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=2^2\times3\times7=84\)
💡 Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers, chacun avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^3\times3\times5\times7^2=8\times3\times5\times49=5880\)
3. \(\mathrm{pgcd}(a;b)\times\mathrm{ppcm}(a;b)=84\times5880=493920\) et \(a\times b=1176\times420=493920\) : l'égalité est vérifiée.
4. 💡 Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1176\div84}{420\div84}=\dfrac{14}{5}\)
5. 💡 Un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
Dans \(a=2^3\times3^1\times7^2\), les exposants de \(2\) et de \(3\) sont impairs : on multiplie par \(2\times3\) pour les rendre pairs.
\(6a=2^4\times3^2\times7^2=\left(2^2\times3\times7\right)^2=84^2=7056\).
[] \(k=6\)
6. 💡 Si \(n=p^{\alpha}\times q^{\beta}\times\cdots\), alors le nombre de diviseurs de \(n\) est \((\alpha+1)(\beta+1)\cdots\)
\(b=2^2\times3^1\times5^1\times7^1\), donc le nombre de diviseurs est \((2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=3\times2\times2\times2\).
[!] \(b\) a \(24\) diviseurs.
~ladder 1176
~ladder 420
[] \(a=2^3\times3\times7^2\) et \(b=2^2\times3\times5\times7\)
2. 💡 Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant.
Facteurs communs : \(2\) (exposants \(3\) et \(2\), on garde \(2^2\)), \(3\) (on garde \(3\)) et \(7\) (exposants \(2\) et \(1\), on garde \(7\)). Le \(5\) n'est pas commun.
[] \(\mathrm{pgcd}(a;b)=2^2\times3\times7=84\)
💡 Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers, chacun avec le plus grand exposant.
[] \(\mathrm{ppcm}(a;b)=2^3\times3\times5\times7^2=8\times3\times5\times49=5880\)
3. \(\mathrm{pgcd}(a;b)\times\mathrm{ppcm}(a;b)=84\times5880=493920\) et \(a\times b=1176\times420=493920\) : l'égalité est vérifiée.
4. 💡 Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1176\div84}{420\div84}=\dfrac{14}{5}\)
5. 💡 Un nombre est un carré parfait si tous les exposants de sa décomposition sont pairs.
Dans \(a=2^3\times3^1\times7^2\), les exposants de \(2\) et de \(3\) sont impairs : on multiplie par \(2\times3\) pour les rendre pairs.
\(6a=2^4\times3^2\times7^2=\left(2^2\times3\times7\right)^2=84^2=7056\).
[] \(k=6\)
6. 💡 Si \(n=p^{\alpha}\times q^{\beta}\times\cdots\), alors le nombre de diviseurs de \(n\) est \((\alpha+1)(\beta+1)\cdots\)
\(b=2^2\times3^1\times5^1\times7^1\), donc le nombre de diviseurs est \((2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=3\times2\times2\times2\).
[!] \(b\) a \(24\) diviseurs.
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(n\) un entier naturel.
1. Montrer que \(n^2+n\) est pair.
2. En déduire la parité des nombres \(A=n^2+n+7\) et \(B=3n^2+3n+2\).
3. Montrer que \(3^{n+2}+3^n\) est un multiple de \(10\).
4. a) Vérifier que \(\dfrac{n+9}{n+2}=1+\dfrac{7}{n+2}\).
b) En déduire l'entier naturel \(n\) pour lequel \(\dfrac{n+9}{n+2}\in\mathbb{N}\).
5. Déterminer les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(x^2-y^2=15\).
1. Montrer que \(n^2+n\) est pair.
2. En déduire la parité des nombres \(A=n^2+n+7\) et \(B=3n^2+3n+2\).
3. Montrer que \(3^{n+2}+3^n\) est un multiple de \(10\).
4. a) Vérifier que \(\dfrac{n+9}{n+2}=1+\dfrac{7}{n+2}\).
b) En déduire l'entier naturel \(n\) pour lequel \(\dfrac{n+9}{n+2}\in\mathbb{N}\).
5. Déterminer les entiers naturels \(x\) et \(y\) tels que \(x^2-y^2=15\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. 💡 Rappel : parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair ; donc leur produit est pair.
\(n^2+n=n(n+1)\) est le produit des entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\).
[] \(n^2+n\) est pair : on peut écrire \(n^2+n=2k\) avec \(k\in\mathbb{N}\).
2. \(A=(n^2+n)+7=2k+7=2(k+3)+1\) : \(A\) est impair.
\(B=3(n^2+n)+2=6k+2=2(3k+1)\) : \(B\) est pair.
3. 💡 On met en facteur la plus petite puissance : \(3^{n+2}=3^n\times3^2\).
\(3^{n+2}+3^n=3^n\times9+3^n\times1=3^n(9+1)=10\times3^n\).
[] \(3^{n+2}+3^n\) est un multiple de \(10\).
4. a) On réduit au même dénominateur : \(1+\dfrac{7}{n+2}=\dfrac{n+2}{n+2}+\dfrac{7}{n+2}=\dfrac{n+9}{n+2}\).
b) \(\dfrac{n+9}{n+2}=1+\dfrac{7}{n+2}\) est un entier si et seulement si \(\dfrac{7}{n+2}\) est un entier, c'est-à-dire si \(n+2\) divise \(7\).
Les diviseurs de \(7\) sont \(1\) et \(7\). Or \(n+2\geq2\), donc \(n+2=7\).
[] \(n=5\), et alors \(\dfrac{n+9}{n+2}=\dfrac{14}{7}=2\).
5. 💡 On factorise avec \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), puis on cherche les diviseurs de \(15\).
\((x-y)(x+y)=15\) avec \(x-y\geq0\) et \(x-y\leq x+y\). Les diviseurs de \(15\) sont \(1\), \(3\), \(5\), \(15\).
Cas 1 : \(x-y=1\) et \(x+y=15\) ; en additionnant, \(2x=16\), donc \(x=8\) et \(y=7\).
Cas 2 : \(x-y=3\) et \(x+y=5\) ; en additionnant, \(2x=8\), donc \(x=4\) et \(y=1\).
[!] \((x;y)=(8;7)\) ou \((x;y)=(4;1)\)
\(n^2+n=n(n+1)\) est le produit des entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\).
[] \(n^2+n\) est pair : on peut écrire \(n^2+n=2k\) avec \(k\in\mathbb{N}\).
2. \(A=(n^2+n)+7=2k+7=2(k+3)+1\) : \(A\) est impair.
\(B=3(n^2+n)+2=6k+2=2(3k+1)\) : \(B\) est pair.
3. 💡 On met en facteur la plus petite puissance : \(3^{n+2}=3^n\times3^2\).
\(3^{n+2}+3^n=3^n\times9+3^n\times1=3^n(9+1)=10\times3^n\).
[] \(3^{n+2}+3^n\) est un multiple de \(10\).
4. a) On réduit au même dénominateur : \(1+\dfrac{7}{n+2}=\dfrac{n+2}{n+2}+\dfrac{7}{n+2}=\dfrac{n+9}{n+2}\).
b) \(\dfrac{n+9}{n+2}=1+\dfrac{7}{n+2}\) est un entier si et seulement si \(\dfrac{7}{n+2}\) est un entier, c'est-à-dire si \(n+2\) divise \(7\).
Les diviseurs de \(7\) sont \(1\) et \(7\). Or \(n+2\geq2\), donc \(n+2=7\).
[] \(n=5\), et alors \(\dfrac{n+9}{n+2}=\dfrac{14}{7}=2\).
5. 💡 On factorise avec \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), puis on cherche les diviseurs de \(15\).
\((x-y)(x+y)=15\) avec \(x-y\geq0\) et \(x-y\leq x+y\). Les diviseurs de \(15\) sont \(1\), \(3\), \(5\), \(15\).
Cas 1 : \(x-y=1\) et \(x+y=15\) ; en additionnant, \(2x=16\), donc \(x=8\) et \(y=7\).
Cas 2 : \(x-y=3\) et \(x+y=5\) ; en additionnant, \(2x=8\), donc \(x=4\) et \(y=1\).
[!] \((x;y)=(8;7)\) ou \((x;y)=(4;1)\)
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). On considère les points \(E\) et \(F\) définis par : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AB}\).
1. Faire une figure.
2. Exprimer \(\overrightarrow{FE}\) et \(\overrightarrow{FI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que les points \(F\), \(E\) et \(I\) sont alignés.
4. Soit \(G\) le point tel que \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
b) En déduire que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\) et placer \(G\).
1. Faire une figure.
2. Exprimer \(\overrightarrow{FE}\) et \(\overrightarrow{FI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3. En déduire que les points \(F\), \(E\) et \(I\) sont alignés.
4. Soit \(G\) le point tel que \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
b) En déduire que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\) et placer \(G\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(E\) est sur \([AC]\) au tiers à partir de \(A\) ; \(F\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\) ; \(I\) est le milieu de \([BC]\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"I":[4,2.25],"E":[0.67,1.5],"F":[-6,0],"G":[2.67,1.5]},"polys":["ABC"],"segs":["FB",{"s":"FI","color":"accent"},{"s":"AI","dash":true}],"ticks":[{"s":"BI"},{"s":"IC"}]}
2. 💡 Méthode : on écrit chaque vecteur avec l'origine \(A\) grâce à la relation de Chasles : \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}\).
\(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\left(-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
\(\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
3. 💡 Trois points sont alignés si deux vecteurs qu'ils forment sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre).
On met \(\dfrac{3}{2}\) en facteur : \(\overrightarrow{FI}=\dfrac{3}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{FE}\).
[] \(\overrightarrow{FI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{FE}\) : les points \(F\), \(E\) et \(I\) sont alignés.
4. a) On décompose \(\overrightarrow{GB}\) et \(\overrightarrow{GC}\) en passant par \(A\) (Chasles) :
\(\overrightarrow{GA}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}\right)=\vec{0}\), donc \(3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}\).
Donc \(3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), d'où \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
b) Comme \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\) : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\times2\overrightarrow{AI}\).
[!] \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\) : \(G\) est sur \([AI]\) aux deux tiers à partir de \(A\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"I":[4,2.25],"E":[0.67,1.5],"F":[-6,0],"G":[2.67,1.5]},"polys":["ABC"],"segs":["FB",{"s":"FI","color":"accent"},{"s":"AI","dash":true}],"ticks":[{"s":"BI"},{"s":"IC"}]}
2. 💡 Méthode : on écrit chaque vecteur avec l'origine \(A\) grâce à la relation de Chasles : \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}\).
\(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\left(-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(I\) est le milieu de \([BC]\), donc \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
\(\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
3. 💡 Trois points sont alignés si deux vecteurs qu'ils forment sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre).
On met \(\dfrac{3}{2}\) en facteur : \(\overrightarrow{FI}=\dfrac{3}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{FE}\).
[] \(\overrightarrow{FI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{FE}\) : les points \(F\), \(E\) et \(I\) sont alignés.
4. a) On décompose \(\overrightarrow{GB}\) et \(\overrightarrow{GC}\) en passant par \(A\) (Chasles) :
\(\overrightarrow{GA}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}\right)=\vec{0}\), donc \(3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}\).
Donc \(3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), d'où \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
b) Comme \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\) : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\times2\overrightarrow{AI}\).
[!] \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\) : \(G\) est sur \([AI]\) aux deux tiers à partir de \(A\).
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) le point défini par \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\). On note \(p\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) et \(q\) la projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\).
1. Déterminer \(p(A)\), \(p(B)\), \(q(A)\) et \(q(B)\).
2. On pose \(N=p(M)\) et \(P=q(M)\). Montrer que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CB}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\). Quelle est la nature du quadrilatère \(MNCP\) ?
1. Déterminer \(p(A)\), \(p(B)\), \(q(A)\) et \(q(B)\).
2. On pose \(N=p(M)\) et \(P=q(M)\). Montrer que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CB}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\). Quelle est la nature du quadrilatère \(MNCP\) ?
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. 💡 Pour projeter un point \(X\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) : on trace la parallèle à \((\Delta)\) passant par \(X\) ; elle coupe \((D)\) au projeté.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"M":[2.4,0],"N":[0.8,1.8],"P":[3.6,2.7]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"MN","dash":true,"color":"accent"},{"s":"MP","dash":true,"color":"blue"}]}
\(A\in(AC)\), donc \(p(A)=A\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\) elle-même ; elle coupe \((AC)\) en \(C\), donc \(p(B)=C\).
\(B\in(BC)\), donc \(q(B)=B\). La parallèle à \((AC)\) passant par \(A\) est \((AC)\) ; elle coupe \((BC)\) en \(C\), donc \(q(A)=C\).
2. 💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
Par \(p\) : \(A\mapsto A\), \(B\mapsto C\), \(M\mapsto N\). Comme \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\), on obtient \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\).
Par \(q\) : \(A\mapsto C\), \(B\mapsto B\), \(M\mapsto P\). Comme \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\), on obtient \(\overrightarrow{CP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CB}\).
3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\) (Chasles : \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)).
\(\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{CP}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CB}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\).
💡 Un quadrilatère \(MNCP\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\).
[!] \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\) : \(MNCP\) est un parallélogramme.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"M":[2.4,0],"N":[0.8,1.8],"P":[3.6,2.7]},"polys":["ABC"],"segs":[{"s":"MN","dash":true,"color":"accent"},{"s":"MP","dash":true,"color":"blue"}]}
\(A\in(AC)\), donc \(p(A)=A\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\) elle-même ; elle coupe \((AC)\) en \(C\), donc \(p(B)=C\).
\(B\in(BC)\), donc \(q(B)=B\). La parallèle à \((AC)\) passant par \(A\) est \((AC)\) ; elle coupe \((BC)\) en \(C\), donc \(q(A)=C\).
2. 💡 Rappel : une projection conserve le milieu et le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'}=k\overrightarrow{A'B'}\) (où \(A'\), \(B'\), \(M'\) sont les projetés).
Par \(p\) : \(A\mapsto A\), \(B\mapsto C\), \(M\mapsto N\). Comme \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\), on obtient \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\).
Par \(q\) : \(A\mapsto C\), \(B\mapsto B\), \(M\mapsto P\). Comme \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\), on obtient \(\overrightarrow{CP}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CB}\).
3. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\) (Chasles : \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)).
\(\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{CP}=-\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CB}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\).
💡 Un quadrilatère \(MNCP\) est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\).
[!] \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\) : \(MNCP\) est un parallélogramme.