Exercice 1 (6 pts)
1. Soit \(n\) un entier naturel. Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs parmi les nombres suivants : \(a=4n+13\) ; \(b=6n+2\) et \(c=(2n+1)^2+2n-1\).
2. Soit \(n\) un entier naturel. On pose \(A=3^{n+3}\times5^{n+1}-9\).
a) Quelle est la parité du nombre \(15^{n+1}\) ?
b) Montrer que \(A=9\left(15^{n+1}-1\right)\).
c) En déduire que le nombre \(A\) est multiple de \(18\).
2. Soit \(n\) un entier naturel. On pose \(A=3^{n+3}\times5^{n+1}-9\).
a) Quelle est la parité du nombre \(15^{n+1}\) ?
b) Montrer que \(A=9\left(15^{n+1}-1\right)\).
c) En déduire que le nombre \(A\) est multiple de \(18\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. 💡 Un entier est pair s'il s'écrit \(2k\), impair s'il s'écrit \(2k+1\) (\(k\in\mathbb{N}\)).
\(a=4n+13=4n+12+1=2(2n+6)+1\) : \(a\) est impair.
\(b=6n+2=2(3n+1)\) : \(b\) est pair.
\(c=(2n+1)^2+2n-1=4n^2+4n+1+2n-1=4n^2+6n=2(2n^2+3n)\) : \(c\) est pair.
2. a) \(15\) est impair, et un produit de nombres impairs est impair : \(15^{n+1}=15\times15\times\cdots\times15\) est impair.
b) 💡 On écrit \(3^{n+3}=3^2\times3^{n+1}\) pour faire apparaître \(3^{n+1}\times5^{n+1}=15^{n+1}\).
\(A=3^2\times3^{n+1}\times5^{n+1}-9=9\times15^{n+1}-9=9\left(15^{n+1}-1\right)\).
c) \(15^{n+1}\) est impair, donc \(15^{n+1}-1\) est pair : \(15^{n+1}-1=2k\) avec \(k\in\mathbb{N}\).
[!] \(A=9\times2k=18k\) : \(A\) est un multiple de \(18\).
\(a=4n+13=4n+12+1=2(2n+6)+1\) : \(a\) est impair.
\(b=6n+2=2(3n+1)\) : \(b\) est pair.
\(c=(2n+1)^2+2n-1=4n^2+4n+1+2n-1=4n^2+6n=2(2n^2+3n)\) : \(c\) est pair.
2. a) \(15\) est impair, et un produit de nombres impairs est impair : \(15^{n+1}=15\times15\times\cdots\times15\) est impair.
b) 💡 On écrit \(3^{n+3}=3^2\times3^{n+1}\) pour faire apparaître \(3^{n+1}\times5^{n+1}=15^{n+1}\).
\(A=3^2\times3^{n+1}\times5^{n+1}-9=9\times15^{n+1}-9=9\left(15^{n+1}-1\right)\).
c) \(15^{n+1}\) est impair, donc \(15^{n+1}-1\) est pair : \(15^{n+1}-1=2k\) avec \(k\in\mathbb{N}\).
[!] \(A=9\times2k=18k\) : \(A\) est un multiple de \(18\).
Exercice 2 (3.5 pts)
Soit \(n\) un entier naturel non nul, différent de \(1\), et on considère les entiers naturels \(X=450\) et \(Y=5^{2n+2}-5^{2n}\).
1. a) Décomposer \(X\) sous la forme d'un produit de facteurs premiers.
b) Vérifier que la décomposition en facteurs premiers de \(Y\) est : \(Y=2^3\times3\times5^{2n}\).
2. Déterminer \(\mathrm{PGCD}(X;Y)\) et \(\mathrm{PPCM}(X;Y)\).
1. a) Décomposer \(X\) sous la forme d'un produit de facteurs premiers.
b) Vérifier que la décomposition en facteurs premiers de \(Y\) est : \(Y=2^3\times3\times5^{2n}\).
2. Déterminer \(\mathrm{PGCD}(X;Y)\) et \(\mathrm{PPCM}(X;Y)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. a) On divise successivement par les nombres premiers :
~ladder 450
[] \(X=2\times3^2\times5^2\)
b) 💡 On met \(5^{2n}\) en facteur : \(5^{2n+2}=5^{2n}\times5^2\).
\(Y=5^{2n}\times25-5^{2n}=5^{2n}(25-1)=24\times5^{2n}\) et \(24=2^3\times3\).
[] \(Y=2^3\times3\times5^{2n}\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs, plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs, plus grand exposant.
Comme \(n\geq2\), on a \(2n\geq4\geq2\) : pour le facteur \(5\), le plus petit exposant est \(2\) et le plus grand est \(2n\).
[!] \(\mathrm{PGCD}(X;Y)=2\times3\times5^2=150\) et \(\mathrm{PPCM}(X;Y)=2^3\times3^2\times5^{2n}=72\times5^{2n}\)
~ladder 450
[] \(X=2\times3^2\times5^2\)
b) 💡 On met \(5^{2n}\) en facteur : \(5^{2n+2}=5^{2n}\times5^2\).
\(Y=5^{2n}\times25-5^{2n}=5^{2n}(25-1)=24\times5^{2n}\) et \(24=2^3\times3\).
[] \(Y=2^3\times3\times5^{2n}\)
2. 💡 PGCD : facteurs communs, plus petit exposant ; PPCM : tous les facteurs, plus grand exposant.
Comme \(n\geq2\), on a \(2n\geq4\geq2\) : pour le facteur \(5\), le plus petit exposant est \(2\) et le plus grand est \(2n\).
[!] \(\mathrm{PGCD}(X;Y)=2\times3\times5^2=150\) et \(\mathrm{PPCM}(X;Y)=2^3\times3^2\times5^{2n}=72\times5^{2n}\)
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(ABC\) un triangle. \(M\), \(N\), \(K\) et \(K'\) sont quatre points du plan tels que : \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) ; \(\overrightarrow{CM}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{CB}\) ; \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(3\overrightarrow{BK'}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}\).
1. Construire les points \(M\), \(N\), \(K\) et \(K'\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{MN}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{MK}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
b) En déduire que les points \(M\), \(N\) et \(K\) sont alignés.
3. Soit \(\vec{u}\) le vecteur tel que \(\vec{u}=\overrightarrow{K'C}+\overrightarrow{K'M}\).
a) Simplifier le vecteur \(\vec{u}\).
b) En déduire que \(K'\) est le milieu du segment \([CM]\).
1. Construire les points \(M\), \(N\), \(K\) et \(K'\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{MN}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{MK}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
b) En déduire que les points \(M\), \(N\) et \(K\) sont alignés.
3. Soit \(\vec{u}\) le vecteur tel que \(\vec{u}=\overrightarrow{K'C}+\overrightarrow{K'M}\).
a) Simplifier le vecteur \(\vec{u}\).
b) En déduire que \(K'\) est le milieu du segment \([CM]\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(N\) sur \([AC]\) au tiers à partir de \(A\) ; \(M\) sur \((BC)\) au-delà de \(B\) (\(CM=\dfrac{4}{3}CB\)) ; \(K\) sur \([AB]\) aux deux tiers à partir de \(A\) ; \(K'\) sur \([BC]\) au tiers à partir de \(B\) (car \(3\overrightarrow{BK'}=\overrightarrow{BC}\)).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"N":[0.67,1.5],"M":[7.33,-1.5],"K":[4,0],"K'":[4.67,1.5]},"polys":["ABC"],"segs":["BM",{"s":"MN","color":"accent"}]}
2. a) 💡 Méthode : on exprime tous les points avec l'origine \(A\) (Chasles), puis on calcule \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\).
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
b) On remarque que \(\overrightarrow{MN}=2\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=2\overrightarrow{MK}\) : vecteurs colinéaires.
[] Les points \(M\), \(N\) et \(K\) sont alignés.
3. a) 💡 On exprime tout en fonction de \(\overrightarrow{BC}\) : \(\overrightarrow{BK'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BC}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
\(\vec{u}=\overrightarrow{K'C}+\overrightarrow{K'M}=\left(\overrightarrow{K'B}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{K'B}+\overrightarrow{BM}\right)=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\vec{0}\).
b) 💡 \(K'\) est le milieu de \([CM]\) si et seulement si \(\overrightarrow{K'C}+\overrightarrow{K'M}=\vec{0}\).
[!] \(\vec{u}=\vec{0}\), donc \(K'\) est le milieu de \([CM]\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[6,0],"C":[2,4.5],"N":[0.67,1.5],"M":[7.33,-1.5],"K":[4,0],"K'":[4.67,1.5]},"polys":["ABC"],"segs":["BM",{"s":"MN","color":"accent"}]}
2. a) 💡 Méthode : on exprime tous les points avec l'origine \(A\) (Chasles), puis on calcule \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\).
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
b) On remarque que \(\overrightarrow{MN}=2\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=2\overrightarrow{MK}\) : vecteurs colinéaires.
[] Les points \(M\), \(N\) et \(K\) sont alignés.
3. a) 💡 On exprime tout en fonction de \(\overrightarrow{BC}\) : \(\overrightarrow{BK'}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BC}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
\(\vec{u}=\overrightarrow{K'C}+\overrightarrow{K'M}=\left(\overrightarrow{K'B}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{K'B}+\overrightarrow{BM}\right)=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\vec{0}\).
b) 💡 \(K'\) est le milieu de \([CM]\) si et seulement si \(\overrightarrow{K'C}+\overrightarrow{K'M}=\vec{0}\).
[!] \(\vec{u}=\vec{0}\), donc \(K'\) est le milieu de \([CM]\).
Exercice 4 (1.5 pts)
Soit \(n\) un entier naturel non nul et non premier. On pose \(X=\dfrac{2n+21}{n+3}\).
1. Vérifier que \(X=2+\dfrac{15}{n+3}\).
2. Déterminer la valeur de \(n\) pour laquelle \(X\) est un entier naturel. (Justifier la réponse)
1. Vérifier que \(X=2+\dfrac{15}{n+3}\).
2. Déterminer la valeur de \(n\) pour laquelle \(X\) est un entier naturel. (Justifier la réponse)
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. On réduit au même dénominateur : \(2+\dfrac{15}{n+3}=\dfrac{2(n+3)}{n+3}+\dfrac{15}{n+3}=\dfrac{2n+6+15}{n+3}=\dfrac{2n+21}{n+3}=X\).
2. 💡 \(X=2+\dfrac{15}{n+3}\) est un entier si et seulement si \(n+3\) divise \(15\).
Les diviseurs de \(15\) sont \(1\), \(3\), \(5\) et \(15\). Comme \(n\geq1\), on a \(n+3\geq4\), donc \(n+3=5\) ou \(n+3=15\), soit \(n=2\) ou \(n=12\).
Mais \(n\) n'est pas premier : \(n=2\) est exclu (\(2\) est premier). \(n=12=2^2\times3\) n'est pas premier.
[!] \(n=12\), et alors \(X=2+\dfrac{15}{15}=3\).
2. 💡 \(X=2+\dfrac{15}{n+3}\) est un entier si et seulement si \(n+3\) divise \(15\).
Les diviseurs de \(15\) sont \(1\), \(3\), \(5\) et \(15\). Comme \(n\geq1\), on a \(n+3\geq4\), donc \(n+3=5\) ou \(n+3=15\), soit \(n=2\) ou \(n=12\).
Mais \(n\) n'est pas premier : \(n=2\) est exclu (\(2\) est premier). \(n=12=2^2\times3\) n'est pas premier.
[!] \(n=12\), et alors \(X=2+\dfrac{15}{15}=3\).
Exercice 5 (3 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). On note \(p\) la projection sur la droite \((AB)\) parallèlement à la droite \((AD)\).
1. Déterminer \(p(A)\), \(p(B)\), \(p(C)\) et \(p(D)\).
2. En déduire que \(p(O)\) est le milieu du segment \([AB]\).
1. Déterminer \(p(A)\), \(p(B)\), \(p(C)\) et \(p(D)\).
2. En déduire que \(p(O)\) est le milieu du segment \([AB]\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
1. 💡 Pour projeter \(X\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AD)\) : on trace la parallèle à \((AD)\) passant par \(X\) ; elle coupe \((AB)\) au projeté.
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6.5,3.5],"D":[1.5,3.5],"O":[3.25,1.75],"O'":[2.5,0]},"polys":["ABCD"],"segs":[{"s":"AC","dash":true},{"s":"BD","dash":true},{"s":"OO'","dash":true,"color":"accent"}]}
\(A\) et \(B\) sont déjà sur \((AB)\) : \(p(A)=A\) et \(p(B)=B\).
\(ABCD\) est un parallélogramme, donc \((BC)\parallel(AD)\) : la parallèle à \((AD)\) passant par \(C\) est \((BC)\), qui coupe \((AB)\) en \(B\) : \(p(C)=B\).
La parallèle à \((AD)\) passant par \(D\) est \((AD)\) elle-même, qui coupe \((AB)\) en \(A\) : \(p(D)=A\).
2. 💡 Rappel : une projection conserve le milieu. Et le centre \(O\) d'un parallélogramme est le milieu de ses diagonales.
\(O\) est le milieu de \([AC]\), donc \(p(O)\) est le milieu de \([p(A)p(C)]\).
[!] \(p(A)=A\) et \(p(C)=B\) : \(p(O)\) est le milieu de \([AB]\).
@fig {"type":"geo","width":330,"points":{"A":[0,0],"B":[5,0],"C":[6.5,3.5],"D":[1.5,3.5],"O":[3.25,1.75],"O'":[2.5,0]},"polys":["ABCD"],"segs":[{"s":"AC","dash":true},{"s":"BD","dash":true},{"s":"OO'","dash":true,"color":"accent"}]}
\(A\) et \(B\) sont déjà sur \((AB)\) : \(p(A)=A\) et \(p(B)=B\).
\(ABCD\) est un parallélogramme, donc \((BC)\parallel(AD)\) : la parallèle à \((AD)\) passant par \(C\) est \((BC)\), qui coupe \((AB)\) en \(B\) : \(p(C)=B\).
La parallèle à \((AD)\) passant par \(D\) est \((AD)\) elle-même, qui coupe \((AB)\) en \(A\) : \(p(D)=A\).
2. 💡 Rappel : une projection conserve le milieu. Et le centre \(O\) d'un parallélogramme est le milieu de ses diagonales.
\(O\) est le milieu de \([AC]\), donc \(p(O)\) est le milieu de \([p(A)p(C)]\).
[!] \(p(A)=A\) et \(p(C)=B\) : \(p(O)\) est le milieu de \([AB]\).