Exercice 1 (5 pts)
Soit \(ABCDEFGH\) un cube. On note \(I\) le milieu de \([EH]\) et \(J\) le milieu de \([FG]\).
1. Déterminer, en justifiant, la position relative de :
a) la droite \((EF)\) et le plan \((DCG)\) ; b) les droites \((AE)\) et \((BC)\) ; c) les plans \((ABF)\) et \((DCG)\).
2. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle à la droite \((AB)\).
3. Déterminer l’intersection des plans \((ABJ)\) et \((EFG)\).
4. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((ABC)\).
1. Déterminer, en justifiant, la position relative de :
a) la droite \((EF)\) et le plan \((DCG)\) ; b) les droites \((AE)\) et \((BC)\) ; c) les plans \((ABF)\) et \((DCG)\).
2. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle à la droite \((AB)\).
3. Déterminer l’intersection des plans \((ABJ)\) et \((EFG)\).
4. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((ABC)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DC}\), donc \((EF)\parallel(DC)\) avec \((DC)\subset(DCG)\) et \(E\notin(DCG)\) :
[] \((EF)\) est strictement parallèle à \((DCG)\)
b) Si \((AE)\) et \((BC)\) étaient coplanaires, le plan \((ABC)\) contiendrait \(E\), ce qui est faux :
[] \((AE)\) et \((BC)\) sont non coplanaires
c) \((AB)\parallel(DC)\) et \((BF)\parallel(CG)\) : deux droites sécantes de \((ABF)\) sont parallèles à deux droites sécantes de \((DCG)\) :
[] \((ABF)\) et \((DCG)\) sont strictement parallèles
2. \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FJ}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EH}+\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EF}\) car \(\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{FG}\).
[] \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}\) : \((IJ)\parallel(AB)\)
3. \((IJ)\parallel(AB)\), donc \(A\), \(B\), \(J\), \(I\) sont coplanaires : \(I\in(ABJ)\). \(I\) et \(J\) appartiennent aussi à \((EFG)\) et les deux plans sont distincts :
[] \((ABJ)\cap(EFG)=(IJ)\)
4. \((IJ)\parallel(AB)\) et \((AB)\subset(ABC)\) :
[] \((IJ)\parallel(ABC)\)
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(ABC\) un triangle. On considère les points \(E\) et \(F\) tels que \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\), et \(h\) l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac{3}{2}\).
1. Construire \(E\) et \(F\), puis déterminer \(h(B)\) et \(h(C)\).
2. Montrer que \((EF)\parallel(BC)\) et que \(EF=\dfrac{3}{2}BC\).
3. Soit \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(J\) le milieu de \([EF]\). Montrer que les points \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
4. Soit \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\). Déterminer \(h(G)\).
1. Construire \(E\) et \(F\), puis déterminer \(h(B)\) et \(h(C)\).
2. Montrer que \((EF)\parallel(BC)\) et que \(EF=\dfrac{3}{2}BC\).
3. Soit \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(J\) le milieu de \([EF]\). Montrer que les points \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
4. Soit \(G\) le centre de gravité du triangle \(ABC\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\). Déterminer \(h(G)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
[] 1. Par définition : \(h(B)=E\) et \(h(C)=F\)
2. \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{2}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}\) :
[] \((EF)\parallel(BC)\) et \(EF=\dfrac{3}{2}BC\)
3. L’homothétie conserve le milieu : \(h(I)=J\), donc \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AI}\) :
[] \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés
4. Si \(G'=h(G)\) : \(\overrightarrow{AG'}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AI}\) :
[] \(h(G)=I\)
Exercice 3 (7 pts)
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x)=-x^2+2x+3\) et \(g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\), et \((C_f)\), \((C_g)\) leurs courbes dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. a) Vérifier que \(f(x)=-(x-1)^2+4\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
b) En déduire la nature de \((C_f)\) et ses éléments caractéristiques, puis dresser le tableau de variations de \(f\).
2. a) Déterminer \(D_g\) et vérifier que \(g(x)=1+\dfrac{2}{x-1}\) pour tout \(x\in D_g\).
b) En déduire la nature de \((C_g)\) et ses éléments caractéristiques, puis dresser le tableau de variations de \(g\).
3. a) Montrer que pour tout \(x\neq1\) : \(f(x)-g(x)=\dfrac{-(x+1)(x-2)^2}{x-1}\).
b) En déduire les points d’intersection de \((C_f)\) et \((C_g)\).
4. Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère.
5. Résoudre l’inéquation \(f(x)\geq g(x)\), puis interpréter graphiquement le résultat.
1. a) Vérifier que \(f(x)=-(x-1)^2+4\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
b) En déduire la nature de \((C_f)\) et ses éléments caractéristiques, puis dresser le tableau de variations de \(f\).
2. a) Déterminer \(D_g\) et vérifier que \(g(x)=1+\dfrac{2}{x-1}\) pour tout \(x\in D_g\).
b) En déduire la nature de \((C_g)\) et ses éléments caractéristiques, puis dresser le tableau de variations de \(g\).
3. a) Montrer que pour tout \(x\neq1\) : \(f(x)-g(x)=\dfrac{-(x+1)(x-2)^2}{x-1}\).
b) En déduire les points d’intersection de \((C_f)\) et \((C_g)\).
4. Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère.
5. Résoudre l’inéquation \(f(x)\geq g(x)\), puis interpréter graphiquement le résultat.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(-(x-1)^2+4=-x^2+2x-1+4=-x^2+2x+3\) ✔
b)
[] parabole de sommet \(S(1;4)\), d’axe \(x=1\), tournée vers le bas ; \(f\) est croissante sur \(]-\infty;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\)
2. a)
[] \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; \(1+\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{x-1+2}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}\) ✔
b)
[] hyperbole de centre \(\Omega(1;1)\), d’asymptotes \(x=1\) et \(y=1\) ; \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\)
3. a) \(f(x)=-(x+1)(x-3)\), donc \(f(x)-g(x)=(x+1)\left[-(x-3)-\dfrac{1}{x-1}\right]=(x+1)\dfrac{-(x-3)(x-1)-1}{x-1}\)
[] \(-(x-3)(x-1)-1=-x^2+4x-4=-(x-2)^2\), donc \(f(x)-g(x)=\dfrac{-(x+1)(x-2)^2}{x-1}\)
b) \(f(x)=g(x)\iff x=-1\) ou \(x=2\) :
[] \(A(-1;0)\) et \(B(2;3)\)
5. \((x-2)^2\geq0\) : pour \(x\neq2\), \(f(x)\geq g(x)\iff\dfrac{x+1}{x-1}\leq0\iff-1\leq x<1\) ; et l’égalité a lieu pour \(x=2\) :
[] \(S=[-1;1[\cup\{2\}\)
Graphiquement : \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\) sur \([-1;1[\), et les deux courbes se touchent en \(B(2;3)\) sans se traverser.
b)
[] parabole de sommet \(S(1;4)\), d’axe \(x=1\), tournée vers le bas ; \(f\) est croissante sur \(]-\infty;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\)
2. a)
[] \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; \(1+\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{x-1+2}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}\) ✔
b)
[] hyperbole de centre \(\Omega(1;1)\), d’asymptotes \(x=1\) et \(y=1\) ; \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\)
3. a) \(f(x)=-(x+1)(x-3)\), donc \(f(x)-g(x)=(x+1)\left[-(x-3)-\dfrac{1}{x-1}\right]=(x+1)\dfrac{-(x-3)(x-1)-1}{x-1}\)
[] \(-(x-3)(x-1)-1=-x^2+4x-4=-(x-2)^2\), donc \(f(x)-g(x)=\dfrac{-(x+1)(x-2)^2}{x-1}\)
b) \(f(x)=g(x)\iff x=-1\) ou \(x=2\) :
[] \(A(-1;0)\) et \(B(2;3)\)
5. \((x-2)^2\geq0\) : pour \(x\neq2\), \(f(x)\geq g(x)\iff\dfrac{x+1}{x-1}\leq0\iff-1\leq x<1\) ; et l’égalité a lieu pour \(x=2\) :
[] \(S=[-1;1[\cup\{2\}\)
Graphiquement : \((C_f)\) est au-dessus de \((C_g)\) sur \([-1;1[\), et les deux courbes se touchent en \(B(2;3)\) sans se traverser.
Exercice 4 (3 pts)
Soit \(ABCD\) un carré de côté \(4\) et \(I\) le milieu de \([CD]\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AI}\).
2. En déduire \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AI}\).
3. Calculer \(AI\) et \(AC\), puis \(\cos\widehat{CAI}\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AI}\).
2. En déduire \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AI}\).
3. Calculer \(AI\) et \(AC\), puis \(\cos\widehat{CAI}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. Le projeté orthogonal de \(I\) sur \((AB)\) est le milieu \(K\) de \([AB]\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}=AB\times AK=4\times2\) :
[] \(8\)
Le projeté orthogonal de \(I\) sur \((AD)\) est \(D\) : \(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AI}=AD^2\) :
[] \(16\)
2. \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) : \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AI}=8+16\) :
[] \(24\)
3. \(AI=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\) ; \(AC=4\sqrt{2}\) ; \(\cos\widehat{CAI}=\dfrac{24}{2\sqrt{5}\times4\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\) :
[] \(\cos\widehat{CAI}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)