Exercice 1 (5 pts)
Soit \(ABCD\) un tétraèdre. On note \(I\) et \(J\) les milieux respectifs des arêtes \([AB]\) et \([AC]\), et \(K\) un point du segment \([AD]\) distinct de \(A\) et de \(D\).
1. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((BCD)\).
2. Déterminer l’intersection des plans \((IJK)\) et \((ABC)\).
3. On suppose que \(K\) est le milieu de \([AD]\). Montrer que les plans \((IJK)\) et \((BCD)\) sont parallèles.
4. On suppose maintenant que \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\).
a) Justifier que la droite \((IK)\) coupe la droite \((BD)\) en un point \(L\).
b) Montrer que l’intersection des plans \((IJK)\) et \((BCD)\) est la droite passant par \(L\) et parallèle à \((BC)\).
1. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((BCD)\).
2. Déterminer l’intersection des plans \((IJK)\) et \((ABC)\).
3. On suppose que \(K\) est le milieu de \([AD]\). Montrer que les plans \((IJK)\) et \((BCD)\) sont parallèles.
4. On suppose maintenant que \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\).
a) Justifier que la droite \((IK)\) coupe la droite \((BD)\) en un point \(L\).
b) Montrer que l’intersection des plans \((IJK)\) et \((BCD)\) est la droite passant par \(L\) et parallèle à \((BC)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Dans le triangle \(ABC\), \(I\) et \(J\) sont les milieux de \([AB]\) et \([AC]\) : \((IJ)\parallel(BC)\). Or \((BC)\subset(BCD)\) :
[] \((IJ)\parallel(BCD)\)
2. \(I\) et \(J\) appartiennent aux deux plans, et les plans sont distincts (\(K\notin(ABC)\)) :
[] \((IJK)\cap(ABC)=(IJ)\)
3. \(K\) milieu de \([AD]\) : \((IK)\parallel(BD)\) dans le triangle \(ABD\) ; de plus \((IJ)\parallel(BC)\).
[] Deux droites sécantes de \((IJK)\) sont parallèles à deux droites sécantes de \((BCD)\) : \((IJK)\parallel(BCD)\)
4. a) \((IK)\) et \((BD)\) sont dans le plan \((ABD)\) ; \(\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{1}{2}\neq\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{1}{3}\), donc \((IK)\) n’est pas parallèle à \((BD)\) (réciproque de Thalès) :
[] \((IK)\) coupe \((BD)\) en un point \(L\)
b) \(L\in(IK)\subset(IJK)\) et \(L\in(BD)\subset(BCD)\) : \(L\) est un point commun aux deux plans distincts.
\((IJ)\subset(IJK)\), \((BC)\subset(BCD)\) et \((IJ)\parallel(BC)\) : la droite d’intersection est parallèle à ces deux droites (théorème du toit).
[] \((IJK)\cap(BCD)\) est la droite passant par \(L\) et parallèle à \((BC)\)
[] \((IJ)\parallel(BCD)\)
2. \(I\) et \(J\) appartiennent aux deux plans, et les plans sont distincts (\(K\notin(ABC)\)) :
[] \((IJK)\cap(ABC)=(IJ)\)
3. \(K\) milieu de \([AD]\) : \((IK)\parallel(BD)\) dans le triangle \(ABD\) ; de plus \((IJ)\parallel(BC)\).
[] Deux droites sécantes de \((IJK)\) sont parallèles à deux droites sécantes de \((BCD)\) : \((IJK)\parallel(BCD)\)
4. a) \((IK)\) et \((BD)\) sont dans le plan \((ABD)\) ; \(\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{1}{2}\neq\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{1}{3}\), donc \((IK)\) n’est pas parallèle à \((BD)\) (réciproque de Thalès) :
[] \((IK)\) coupe \((BD)\) en un point \(L\)
b) \(L\in(IK)\subset(IJK)\) et \(L\in(BD)\subset(BCD)\) : \(L\) est un point commun aux deux plans distincts.
\((IJ)\subset(IJK)\), \((BC)\subset(BCD)\) et \((IJ)\parallel(BC)\) : la droite d’intersection est parallèle à ces deux droites (théorème du toit).
[] \((IJK)\cap(BCD)\) est la droite passant par \(L\) et parallèle à \((BC)\)
Exercice 2 (4 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\) et \((\mathcal{C})\) le cercle de centre \(A\) et de rayon \(AB\).
1. Construire le point \(E\), image de \(A\) par la translation \(t\) de vecteur \(\overrightarrow{BC}\), et le point \(F\), image de \(A\) par la symétrie centrale \(s\) de centre \(I\).
2. Montrer que \(ABFC\) est un parallélogramme.
3. Déterminer l’image du cercle \((\mathcal{C})\) par la translation \(t\).
4. Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
1. Construire le point \(E\), image de \(A\) par la translation \(t\) de vecteur \(\overrightarrow{BC}\), et le point \(F\), image de \(A\) par la symétrie centrale \(s\) de centre \(I\).
2. Montrer que \(ABFC\) est un parallélogramme.
3. Déterminer l’image du cercle \((\mathcal{C})\) par la translation \(t\).
4. Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}\) et \(I\) est le milieu de \([AF]\).
2. \(I\) est à la fois le milieu de \([AF]\) et de \([BC]\) : les diagonales de \(ABFC\) ont le même milieu :
[] \(ABFC\) est un parallélogramme
3. La translation conserve les distances et \(t(A)=E\) :
[] \(t\left((\mathcal{C})\right)\) est le cercle de centre \(E\) et de rayon \(AB\)
4. \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}\) ; \(ABFC\) parallélogramme : \(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{BA}\).
[] \(\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{CE}\) : \(C\) est le milieu de \([EF]\)
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=4\), \(AC=6\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12\). Soit \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\).
1. Calculer \(\cos\widehat{BAC}\), puis en déduire la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\).
2. Calculer \(BC\).
3. Calculer \(AI\).
4. Calculer \(AH\) puis \(CH\).
5. Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\).
1. Calculer \(\cos\widehat{BAC}\), puis en déduire la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\).
2. Calculer \(BC\).
3. Calculer \(AI\).
4. Calculer \(AH\) puis \(CH\).
5. Calculer \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\)
2. \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16+36-24=28\) :
[] \(BC=2\sqrt{7}\)
3. Théorème de la médiane : \(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}\), donc \(52=2AI^2+14\) :
[] \(AI^2=19\), \(AI=\sqrt{19}\)
4. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\) ; le produit est positif, donc \(\overrightarrow{AH}\) a le sens de \(\overrightarrow{AB}\) : \(4\,AH=12\) :
[] \(AH=3\)
Pythagore dans \(AHC\) : \(CH^2=AC^2-AH^2=36-9=27\) :
[] \(CH=3\sqrt{3}\)
5. \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2}=\dfrac{16+28-36}{2}\) :
[] \(4\)
[] \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\)
2. \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16+36-24=28\) :
[] \(BC=2\sqrt{7}\)
3. Théorème de la médiane : \(AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}\), donc \(52=2AI^2+14\) :
[] \(AI^2=19\), \(AI=\sqrt{19}\)
4. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\) ; le produit est positif, donc \(\overrightarrow{AH}\) a le sens de \(\overrightarrow{AB}\) : \(4\,AH=12\) :
[] \(AH=3\)
Pythagore dans \(AHC\) : \(CH^2=AC^2-AH^2=36-9=27\) :
[] \(CH=3\sqrt{3}\)
5. \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2}=\dfrac{16+28-36}{2}\) :
[] \(4\)
Exercice 4 (6 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Déterminer \(D_f\) et montrer que pour tout \(x\in D_f\) : \(f(x)=1+\dfrac{2}{x+1}\).
2. En déduire la nature de \((C_f)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
5. Soit \((D)\) la droite d’équation \(y=x+3\).
a) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) et \((D)\).
b) Construire \((C_f)\) et \((D)\) dans le même repère, puis résoudre graphiquement l’inéquation \(\dfrac{x+3}{x+1}\leq x+3\).
1. Déterminer \(D_f\) et montrer que pour tout \(x\in D_f\) : \(f(x)=1+\dfrac{2}{x+1}\).
2. En déduire la nature de \((C_f)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
5. Soit \((D)\) la droite d’équation \(y=x+3\).
a) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) et \((D)\).
b) Construire \((C_f)\) et \((D)\) dans le même repère, puis résoudre graphiquement l’inéquation \(\dfrac{x+3}{x+1}\leq x+3\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1.
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) ; \(1+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{x+1+2}{x+1}=\dfrac{x+3}{x+1}\) ✔
2. \((C_f)\) est l’image de l’hyperbole \(y=\dfrac{2}{x}\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(-1;1)\) :
[] hyperbole de centre \(\Omega(-1;1)\) et d’asymptotes \(x=-1\) et \(y=1\)
3. \(2>0\) : \(x\mapsto\dfrac{2}{x+1}\) est décroissante sur chaque intervalle :
[] \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
4. \(f(0)=3\) et \(f(x)=0\iff x=-3\) :
[] \((0;3)\) et \((-3;0)\)
5. a) \(\dfrac{x+3}{x+1}=x+3\iff(x+3)\left(1-(x+1)\right)=0\iff-x(x+3)=0\) :
[] \(A(0;3)\) et \(B(-3;0)\)
b) \((C_f)\) est au-dessous de \((D)\) (ou la coupe) pour \(-3\leq x<-1\) ou \(x\geq0\) :
[] \(S=[-3;-1[\cup[0;+\infty[\)
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) ; \(1+\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{x+1+2}{x+1}=\dfrac{x+3}{x+1}\) ✔
2. \((C_f)\) est l’image de l’hyperbole \(y=\dfrac{2}{x}\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(-1;1)\) :
[] hyperbole de centre \(\Omega(-1;1)\) et d’asymptotes \(x=-1\) et \(y=1\)
3. \(2>0\) : \(x\mapsto\dfrac{2}{x+1}\) est décroissante sur chaque intervalle :
[] \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
4. \(f(0)=3\) et \(f(x)=0\iff x=-3\) :
[] \((0;3)\) et \((-3;0)\)
5. a) \(\dfrac{x+3}{x+1}=x+3\iff(x+3)\left(1-(x+1)\right)=0\iff-x(x+3)=0\) :
[] \(A(0;3)\) et \(B(-3;0)\)
b) \((C_f)\) est au-dessous de \((D)\) (ou la coupe) pour \(-3\leq x<-1\) ou \(x\geq0\) :
[] \(S=[-3;-1[\cup[0;+\infty[\)