Exercice 1 (7 pts)
1. Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions réelles suivantes : a) \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2+2x-3}\) ; b) \(g(x)=\sqrt{4-x^2}\).
2. \(ABC\) est un triangle. Soit \(I\) le milieu du segment \([BC]\).
a) Construire \(D\), l’image du point \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
b) Déterminer l’image de la droite \((BD)\) par la symétrie centrale de centre \(I\).
3. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les vecteurs \(\vec{u}=\sqrt{3}\vec{i}+\vec{j}\) et \(\vec{v}=-\sqrt{3}\vec{i}+\vec{j}\).
a) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
b) Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\left(\widehat{\vec{u},\vec{v}}\right)\).
4. On considère la fonction \(h\) définie par : \(h(x)=\sqrt{x^2-3|x|-4}\).
a) Déterminer le domaine de définition de \(h\).
b) Étudier la parité de la fonction \(h\).
2. \(ABC\) est un triangle. Soit \(I\) le milieu du segment \([BC]\).
a) Construire \(D\), l’image du point \(C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
b) Déterminer l’image de la droite \((BD)\) par la symétrie centrale de centre \(I\).
3. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les vecteurs \(\vec{u}=\sqrt{3}\vec{i}+\vec{j}\) et \(\vec{v}=-\sqrt{3}\vec{i}+\vec{j}\).
a) Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\).
b) Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\left(\widehat{\vec{u},\vec{v}}\right)\).
4. On considère la fonction \(h\) définie par : \(h(x)=\sqrt{x^2-3|x|-4}\).
a) Déterminer le domaine de définition de \(h\).
b) Étudier la parité de la fonction \(h\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)\neq0\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;1\}\)
b) \(4-x^2\geq0\iff x^2\leq4\) :
[] \(D_g=[-2;2]\)
2. a) \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\) : \(ABDC\) est un parallélogramme.
b) \(s_I(B)=C\) ; l’image de \((BD)\) est la parallèle à \((BD)\) passant par \(C\). Or \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\), donc \((BD)\parallel(AC)\) :
[] l’image de \((BD)\) est la droite \((AC)\)
[] 3. a) \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-3+1=-2\) ; \(\|\vec{u}\|=\sqrt{3+1}=2\) ; \(\|\vec{v}\|=2\)
b) \(\vec{u}=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}\vec{i}+\sin\dfrac{\pi}{6}\vec{j}\right)\) et \(\vec{v}=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}\vec{i}+\sin\dfrac{5\pi}{6}\vec{j}\right)\) :
[] \(\left(\widehat{\vec{u},\vec{v}}\right)\equiv\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\equiv\dfrac{2\pi}{3}\;[2\pi]\) (on vérifie : \(\cos\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-2}{2\times2}\))
4. a) \(x^2-3|x|-4=|x|^2-3|x|-4=\left(|x|-4\right)\left(|x|+1\right)\geq0\iff|x|\geq4\) :
[] \(D_h=]-\infty;-4]\cup[4;+\infty[\)
b) \(D_h\) est symétrique et \(h(-x)=\sqrt{x^2-3|x|-4}=h(x)\) :
[] \(h\) est paire
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;1\}\)
b) \(4-x^2\geq0\iff x^2\leq4\) :
[] \(D_g=[-2;2]\)
2. a) \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\) : \(ABDC\) est un parallélogramme.
b) \(s_I(B)=C\) ; l’image de \((BD)\) est la parallèle à \((BD)\) passant par \(C\). Or \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\), donc \((BD)\parallel(AC)\) :
[] l’image de \((BD)\) est la droite \((AC)\)
[] 3. a) \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-3+1=-2\) ; \(\|\vec{u}\|=\sqrt{3+1}=2\) ; \(\|\vec{v}\|=2\)
b) \(\vec{u}=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}\vec{i}+\sin\dfrac{\pi}{6}\vec{j}\right)\) et \(\vec{v}=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}\vec{i}+\sin\dfrac{5\pi}{6}\vec{j}\right)\) :
[] \(\left(\widehat{\vec{u},\vec{v}}\right)\equiv\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\equiv\dfrac{2\pi}{3}\;[2\pi]\) (on vérifie : \(\cos\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-2}{2\times2}\))
4. a) \(x^2-3|x|-4=|x|^2-3|x|-4=\left(|x|-4\right)\left(|x|+1\right)\geq0\iff|x|\geq4\) :
[] \(D_h=]-\infty;-4]\cup[4;+\infty[\)
b) \(D_h\) est symétrique et \(h(-x)=\sqrt{x^2-3|x|-4}=h(x)\) :
[] \(h\) est paire
Exercice 2 (5 pts)
On considère la fonction réelle \(f\) définie par \(f(x)=2x^2-4x+1\).
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).
2. a) Étudier la monotonie de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;1]\) et \([1;+\infty[\).
b) Construire le tableau de variations de \(f\).
3. a) Construire \((C_f)\), la courbe de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
b) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\geq1\).
1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).
2. a) Étudier la monotonie de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;1]\) et \([1;+\infty[\).
b) Construire le tableau de variations de \(f\).
3. a) Construire \((C_f)\), la courbe de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
b) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\geq1\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
[] 1. \(f\) est une fonction polynôme : \(D_f=\mathbb{R}\)
2. a) \(f(x)=2(x-1)^2-1\) ; pour \(a\neq b\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=2(a+b-2)\).
[] Sur \(]-\infty;1]\) : \(a+b<2\), \(f\) est décroissante ; sur \([1;+\infty[\) : \(a+b>2\), \(f\) est croissante
3. a) Parabole de sommet \(S(1;-1)\), d’axe \(x=1\) ; elle passe par \((0;1)\) et \((2;1)\).
b) \((C_f)\) est au-dessus de la droite \(y=1\) (ou la coupe) pour \(x\leq0\) ou \(x\geq2\) :
[] \(S=]-\infty;0]\cup[2;+\infty[\)
2. a) \(f(x)=2(x-1)^2-1\) ; pour \(a\neq b\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=2(a+b-2)\).
[] Sur \(]-\infty;1]\) : \(a+b<2\), \(f\) est décroissante ; sur \([1;+\infty[\) : \(a+b>2\), \(f\) est croissante
3. a) Parabole de sommet \(S(1;-1)\), d’axe \(x=1\) ; elle passe par \((0;1)\) et \((2;1)\).
b) \((C_f)\) est au-dessus de la droite \(y=1\) (ou la coupe) pour \(x\leq0\) ou \(x\geq2\) :
[] \(S=]-\infty;0]\cup[2;+\infty[\)
Exercice 3 (5.5 pts)
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(C\).
1. a) Construire les points \(D\) et \(E\), images respectives de \(B\) et \(C\) par l’homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(3\).
b) Montrer que \(\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{1}{3}\).
2. Soit \(O\) le point d’intersection des diagonales du quadrilatère \(CBDE\).
a) Déterminer le rapport de l’homothétie \(h'\) de centre \(O\) qui transforme le point \(D\) en \(C\).
b) Montrer que \(h'(E)=B\).
c) Montrer que \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\).
1. a) Construire les points \(D\) et \(E\), images respectives de \(B\) et \(C\) par l’homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(3\).
b) Montrer que \(\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{1}{3}\).
2. Soit \(O\) le point d’intersection des diagonales du quadrilatère \(CBDE\).
a) Déterminer le rapport de l’homothétie \(h'\) de centre \(O\) qui transforme le point \(D\) en \(C\).
b) Montrer que \(h'(E)=B\).
c) Montrer que \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. b) \(h(B)=D\) et \(h(C)=E\), donc \(\overrightarrow{DE}=3\overrightarrow{BC}\) : \(DE=3BC\) :
[] \(\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{1}{3}\)
2. a) \((BC)\parallel(DE)\) ; Thalès dans les triangles \(OBC\) et \(OED\) : \(\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{BC}{DE}=\dfrac{1}{3}\) et \(O\) est entre \(C\) et \(D\) : \(\overrightarrow{OC}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OD}\) :
[] le rapport de \(h'\) est \(-\dfrac{1}{3}\)
b) \(h'(E)\in(OE)=(BE)\) ; l’image de \((DE)\) est la parallèle à \((DE)\) passant par \(h'(D)=C\), c’est \((BC)\) :
[] \(h'(E)=(BE)\cap(BC)=B\)
c) \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}=-AC^2+3\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\).
\(C\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\) : \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=AC^2\).
[] \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}=-AC^2+3AC^2=2AC^2=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\)
Exercice 4 (2.5 pts)
\(ABC\) est un triangle tel que \(AC=3\), \(AB=5\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{2\pi}{3}\) rad.
1. Calculer \(BC\).
2. Soit \(I\) le milieu de \([BC]\). Calculer \(AI\).
1. Calculer \(BC\).
2. Soit \(I\) le milieu de \([BC]\). Calculer \(AI\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\cos\dfrac{2\pi}{3}=25+9+15=49\) :
[] \(BC=7\)
2. \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times3\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{15}{2}\)
\(AI^2=\dfrac{1}{4}\left(25+9-15\right)=\dfrac{19}{4}\) :
[] \(AI=\dfrac{\sqrt{19}}{2}\)
[] \(BC=7\)
2. \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times3\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{15}{2}\)
\(AI^2=\dfrac{1}{4}\left(25+9-15\right)=\dfrac{19}{4}\) :
[] \(AI=\dfrac{\sqrt{19}}{2}\)