Exercice 1 (2 pts)
1. L’étude des propriétés de la géométrie dans l’espace nécessite des notions primitives, des définitions claires et l’admission de propriétés de base appelées axiomes. Citer les principaux axiomes.
2. Déterminer les positions relatives d’une droite et d’un plan.
2. Déterminer les positions relatives d’une droite et d’un plan.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Axiome 1 : par deux points distincts de l’espace passe une seule droite.
Axiome 2 : par trois points non alignés passe un seul plan.
Axiome 3 : si deux points distincts d’une droite appartiennent à un plan, alors cette droite est incluse dans ce plan.
Axiome 4 : si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite passant par ce point.
De plus, tout plan contient au moins trois points non alignés et l’espace contient au moins quatre points non coplanaires.
2. Soient \((D)\) une droite et \((P)\) un plan. Trois cas sont possibles :
[] \((D)\subset(P)\) ; \((D)\) coupe \((P)\) en un seul point ; \((D)\) est strictement parallèle à \((P)\) (aucun point commun)
Axiome 2 : par trois points non alignés passe un seul plan.
Axiome 3 : si deux points distincts d’une droite appartiennent à un plan, alors cette droite est incluse dans ce plan.
Axiome 4 : si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite passant par ce point.
De plus, tout plan contient au moins trois points non alignés et l’espace contient au moins quatre points non coplanaires.
2. Soient \((D)\) une droite et \((P)\) un plan. Trois cas sont possibles :
[] \((D)\subset(P)\) ; \((D)\) coupe \((P)\) en un seul point ; \((D)\) est strictement parallèle à \((P)\) (aucun point commun)
Exercice 2 (3.5 pts)
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
1. Exprimer vectoriellement : \(B\) est l’image de \(C\) par l’homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(k=\dfrac{2}{3}\).
2. Traduire la relation vectorielle \(\overrightarrow{IE}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IF}\) à l’aide d’une homothétie.
3. Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). On considère les points \(B'\) et \(C'\) définis par : \(\overrightarrow{AB'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\). Soit \(J\) le milieu de \([B'C']\). En utilisant une homothétie, montrer que les points \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
1. Exprimer vectoriellement : \(B\) est l’image de \(C\) par l’homothétie \(h\) de centre \(A\) et de rapport \(k=\dfrac{2}{3}\).
2. Traduire la relation vectorielle \(\overrightarrow{IE}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IF}\) à l’aide d’une homothétie.
3. Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). On considère les points \(B'\) et \(C'\) définis par : \(\overrightarrow{AB'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC'}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\). Soit \(J\) le milieu de \([B'C']\). En utilisant une homothétie, montrer que les points \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(h(C)=B\iff\)
[] \(\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
2. \(\overrightarrow{IE}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IF}\) :
[] \(E\) est l’image de \(F\) par l’homothétie de centre \(I\) et de rapport \(-\dfrac{3}{4}\)
3. Soit \(h\) l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac{2}{3}\) : \(h(B)=B'\) et \(h(C)=C'\).
L’homothétie conserve le milieu : \(I\) milieu de \([BC]\), donc \(h(I)\) est le milieu de \([B'C']\), c’est-à-dire \(h(I)=J\).
[] \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\) : les points \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés
[] \(\overrightarrow{AB}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
2. \(\overrightarrow{IE}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{IF}\) :
[] \(E\) est l’image de \(F\) par l’homothétie de centre \(I\) et de rapport \(-\dfrac{3}{4}\)
3. Soit \(h\) l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac{2}{3}\) : \(h(B)=B'\) et \(h(C)=C'\).
L’homothétie conserve le milieu : \(I\) milieu de \([BC]\), donc \(h(I)\) est le milieu de \([B'C']\), c’est-à-dire \(h(I)=J\).
[] \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\) : les points \(A\), \(I\) et \(J\) sont alignés
Exercice 3 (5 pts)
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls.
1. Calculer \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\) puis en déduire que : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\).
2. Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=1\), \(AC=2\) et \(BC=\sqrt{3}\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\) (on peut utiliser le résultat de la question 1).
b) En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\).
3. Soit \(H\) le projeté orthogonal du point \(B\) sur la droite \((AC)\).
a) Vérifier que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
b) Calculer les distances \(AH\), \(CH\) et \(BH\).
1. Calculer \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\) puis en déduire que : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\).
2. Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=1\), \(AC=2\) et \(BC=\sqrt{3}\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\) (on peut utiliser le résultat de la question 1).
b) En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\).
3. Soit \(H\) le projeté orthogonal du point \(B\) sur la droite \((AC)\).
a) Vérifier que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).
b) Calculer les distances \(AH\), \(CH\) et \(BH\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=\left(\vec{u}-\vec{v}\right)^2=\|\vec{u}\|^2-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2\)
[] \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\)
2. a) On prend \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\) : \(\vec{u}-\vec{v}=\overrightarrow{CB}\).
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)=\dfrac{1}{2}(1+4-3)=1\)
b) \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\)
3. a) \(AB^2+BC^2=1+3=4=AC^2\) :
[] d’après la réciproque de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(B\)
b) \(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\) et l’angle \(\widehat{A}\) est aigu : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AH\times AC\), donc \(1=2AH\).
[] \(AH=\dfrac{1}{2}\) ; \(CH=AC-AH=\dfrac{3}{2}\) ; \(BH^2=AB^2-AH^2=\dfrac{3}{4}\), \(BH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
[] \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)\)
2. a) On prend \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\) : \(\vec{u}-\vec{v}=\overrightarrow{CB}\).
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)=\dfrac{1}{2}(1+4-3)=1\)
b) \(\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\)
3. a) \(AB^2+BC^2=1+3=4=AC^2\) :
[] d’après la réciproque de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(B\)
b) \(H\) est le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\) et l’angle \(\widehat{A}\) est aigu : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AH\times AC\), donc \(1=2AH\).
[] \(AH=\dfrac{1}{2}\) ; \(CH=AC-AH=\dfrac{3}{2}\) ; \(BH^2=AB^2-AH^2=\dfrac{3}{4}\), \(BH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Exercice 4 (7.5 pts)
On considère la fonction numérique \(f\) définie par \(f(x)=-\dfrac{x^2}{4}-x+3\). Cet exercice a pour but de construire \((C_f)\), la courbe de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Déterminer \(D_f\), puis vérifier que \(f(x)=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4\).
2. a) Soient \(a\) et \(b\) deux éléments distincts de \(D_f\). Montrer que \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=-1-\dfrac{a+b}{4}\) (on peut utiliser le résultat de la question 1).
b) En déduire la monotonie de \(f\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;-2]\) et \([-2;+\infty[\).
c) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).
3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
4. Soit \((P)\) la parabole d’équation \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\).
a) Déterminer le vecteur de la translation qui permet de construire \((C_f)\) à partir de \((P)\).
b) Déterminer les coordonnées du sommet \(S\) de \((C_f)\) et l’équation de son axe.
5. Construire \((P)\) et \((C_f)\) dans le même repère.
1. Déterminer \(D_f\), puis vérifier que \(f(x)=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4\).
2. a) Soient \(a\) et \(b\) deux éléments distincts de \(D_f\). Montrer que \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=-1-\dfrac{a+b}{4}\) (on peut utiliser le résultat de la question 1).
b) En déduire la monotonie de \(f\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;-2]\) et \([-2;+\infty[\).
c) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(D_f\).
3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
4. Soit \((P)\) la parabole d’équation \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\).
a) Déterminer le vecteur de la translation qui permet de construire \((C_f)\) à partir de \((P)\).
b) Déterminer les coordonnées du sommet \(S\) de \((C_f)\) et l’équation de son axe.
5. Construire \((P)\) et \((C_f)\) dans le même repère.
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1.
[] \(D_f=\mathbb{R}\) ; \(-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4=-\dfrac{x^2+4x+4}{4}+4=-\dfrac{x^2}{4}-x+3\) ✔
2. a) \(f(a)-f(b)=-\dfrac{1}{4}\left[(a+2)^2-(b+2)^2\right]=-\dfrac{1}{4}(a-b)(a+b+4)\)
[] \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=-\dfrac{a+b+4}{4}=-1-\dfrac{a+b}{4}\)
b) Si \(a,b\in\,]-\infty;-2]\) : \(a+b<-4\), donc \(a+b+4<0\) et le taux est positif :
[] \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-2]\)
Si \(a,b\in[-2;+\infty[\) : \(a+b>-4\), donc le taux est négatif :
[] \(f\) est décroissante sur \([-2;+\infty[\)
c) \(f(-2)=4\) :
3. Axe des ordonnées : \(f(0)=3\) :
[] \((0;3)\)
Axe des abscisses : \(f(x)=0\iff(x+2)^2=16\iff x+2=4\) ou \(x+2=-4\) :
[] \((2;0)\) et \((-6;0)\)
4. a) \(f(x)=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4\) :
[] \((C_f)\) est l’image de \((P)\) par la translation de vecteur \(\vec{u}=-2\vec{i}+4\vec{j}\)
[] b) \(S(-2;4)\) ; axe : la droite d’équation \(x=-2\)
[] \(D_f=\mathbb{R}\) ; \(-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4=-\dfrac{x^2+4x+4}{4}+4=-\dfrac{x^2}{4}-x+3\) ✔
2. a) \(f(a)-f(b)=-\dfrac{1}{4}\left[(a+2)^2-(b+2)^2\right]=-\dfrac{1}{4}(a-b)(a+b+4)\)
[] \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=-\dfrac{a+b+4}{4}=-1-\dfrac{a+b}{4}\)
b) Si \(a,b\in\,]-\infty;-2]\) : \(a+b<-4\), donc \(a+b+4<0\) et le taux est positif :
[] \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-2]\)
Si \(a,b\in[-2;+\infty[\) : \(a+b>-4\), donc le taux est négatif :
[] \(f\) est décroissante sur \([-2;+\infty[\)
c) \(f(-2)=4\) :
3. Axe des ordonnées : \(f(0)=3\) :
[] \((0;3)\)
Axe des abscisses : \(f(x)=0\iff(x+2)^2=16\iff x+2=4\) ou \(x+2=-4\) :
[] \((2;0)\) et \((-6;0)\)
4. a) \(f(x)=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4\) :
[] \((C_f)\) est l’image de \((P)\) par la translation de vecteur \(\vec{u}=-2\vec{i}+4\vec{j}\)
[] b) \(S(-2;4)\) ; axe : la droite d’équation \(x=-2\)
Exercice 5 (2 pts)
Soit \(ABCDEFGH\) un cube. \(O\) et \(O'\) sont respectivement les centres des carrés \(ABCD\) et \(EFGH\).
1. Montrer que les droites \((OO')\) et \((AE)\) sont parallèles.
2. a) Vérifier que la droite \((AE)\) est orthogonale au plan \((EFG)\).
b) En déduire que la droite \((OO')\) est orthogonale au plan \((EFG)\).
1. Montrer que les droites \((OO')\) et \((AE)\) sont parallèles.
2. a) Vérifier que la droite \((AE)\) est orthogonale au plan \((EFG)\).
b) En déduire que la droite \((OO')\) est orthogonale au plan \((EFG)\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
1. \(AEGC\) est un rectangle (\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}\)) ; \(O\) est le milieu de \([AC]\) et \(O'\) celui de \([EG]\).
\(\overrightarrow{OO'}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CG}\right)=\overrightarrow{AE}\) :
[] \((OO')\parallel(AE)\)
2. a) Les faces \(ABFE\) et \(ADHE\) sont des carrés : \((AE)\perp(EF)\) et \((AE)\perp(EH)\). Or \((EF)\) et \((EH)\) sont deux droites sécantes du plan \((EFG)\) :
[] \((AE)\perp(EFG)\)
b) Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre :
[] \((OO')\perp(EFG)\)