Exercice 1 (6 pts)
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x^2-9}\).
2. Étudier la parité de la fonction \(g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-4}\).
3. Soit \(k(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}\). Montrer que \(0\leq k(x)<1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Le nombre \(0\) est-il une valeur minimale de \(k\) ?
4. Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1;2)\), \(B(3;-1)\) et \(\vec{u}(2;3)\). Déterminer les coordonnées de \(A'\) et \(B'\), images de \(A\) et \(B\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\), puis vérifier que \(A'B'=AB\).
5. Soient \(\vec{u}(2;-1)\) et \(\vec{v}(1;2)\) dans une base orthonormée. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\). Que peut-on en déduire ?
2. Étudier la parité de la fonction \(g(x)=\dfrac{x^3}{x^2-4}\).
3. Soit \(k(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}\). Montrer que \(0\leq k(x)<1\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). Le nombre \(0\) est-il une valeur minimale de \(k\) ?
4. Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1;2)\), \(B(3;-1)\) et \(\vec{u}(2;3)\). Déterminer les coordonnées de \(A'\) et \(B'\), images de \(A\) et \(B\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\), puis vérifier que \(A'B'=AB\).
5. Soient \(\vec{u}(2;-1)\) et \(\vec{v}(1;2)\) dans une base orthonormée. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\). Que peut-on en déduire ?
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(x+2\geq0\) et \(x^2-9\neq0\) : \(x\geq-2\), \(x\neq3\) (\(-3<-2\)) :
[] \(D_f=[-2;3[\cup]3;+\infty[\)
2. \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\) est symétrique et \(g(-x)=\dfrac{-x^3}{x^2-4}=-g(x)\) :
[] \(g\) est impaire
3. \(x^2\geq0\) et \(x^2+1>0\) : \(k(x)\geq0\) ; \(k(x)-1=\dfrac{-1}{x^2+1}<0\) : \(k(x)<1\). De plus \(k(0)=0\) :
[] \(0\) est la valeur minimale de \(k\), atteinte en \(0\)
4. \(\overrightarrow{AA'}=\vec{u}\) :
[] \(A'(3;5)\) et \(B'(5;2)\) ; \(AB=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\) et \(A'B'=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\) ✔
5. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times1+(-1)\times2=0\) :
[] \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux
[] \(D_f=[-2;3[\cup]3;+\infty[\)
2. \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}\) est symétrique et \(g(-x)=\dfrac{-x^3}{x^2-4}=-g(x)\) :
[] \(g\) est impaire
3. \(x^2\geq0\) et \(x^2+1>0\) : \(k(x)\geq0\) ; \(k(x)-1=\dfrac{-1}{x^2+1}<0\) : \(k(x)<1\). De plus \(k(0)=0\) :
[] \(0\) est la valeur minimale de \(k\), atteinte en \(0\)
4. \(\overrightarrow{AA'}=\vec{u}\) :
[] \(A'(3;5)\) et \(B'(5;2)\) ; \(AB=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\) et \(A'B'=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\) ✔
5. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times1+(-1)\times2=0\) :
[] \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(SABCD\) une pyramide de sommet \(S\) dont la base \(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). Soient \(I\) et \(J\) les milieux respectifs des arêtes \([SA]\) et \([SB]\).
1. Déterminer l’intersection des plans \((SAC)\) et \((SBD)\).
2. Montrer que \((IJ)\parallel(CD)\).
3. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((SCD)\).
4. Déterminer l’intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\).
1. Déterminer l’intersection des plans \((SAC)\) et \((SBD)\).
2. Montrer que \((IJ)\parallel(CD)\).
3. Montrer que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((SCD)\).
4. Déterminer l’intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(S\) est commun aux deux plans ; \(O\in(AC)\subset(SAC)\) et \(O\in(BD)\subset(SBD)\) ; les plans sont distincts :
[] \((SAC)\cap(SBD)=(SO)\)
2. Dans le triangle \(SAB\) : \((IJ)\parallel(AB)\) (droite des milieux) ; \(ABCD\) parallélogramme : \((AB)\parallel(CD)\) :
[] \((IJ)\parallel(CD)\)
3. \((IJ)\parallel(CD)\) et \((CD)\subset(SCD)\) :
[] \((IJ)\parallel(SCD)\)
4. \(S\) est commun ; \((AB)\subset(SAB)\), \((CD)\subset(SCD)\) et \((AB)\parallel(CD)\) : d’après le théorème du toit,
[] \((SAB)\cap(SCD)\) est la droite \((\Delta)\) passant par \(S\) et parallèle à \((AB)\)
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-2x^2+4x+6\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Vérifier que \(f(x)=-2(x-1)^2+8\).
2. Montrer que \(8\) est la valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Étudier les variations de \(f\) sur \(]-\infty;1]\) et sur \([1;+\infty[\), puis dresser son tableau de variations.
4. Préciser la nature de \((C_f)\) : sommet, axe et translation permettant de l’obtenir à partir de la courbe de \(x\mapsto-2x^2\).
5. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes, puis construire \((C_f)\).
6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)>6\).
1. Vérifier que \(f(x)=-2(x-1)^2+8\).
2. Montrer que \(8\) est la valeur maximale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Étudier les variations de \(f\) sur \(]-\infty;1]\) et sur \([1;+\infty[\), puis dresser son tableau de variations.
4. Préciser la nature de \((C_f)\) : sommet, axe et translation permettant de l’obtenir à partir de la courbe de \(x\mapsto-2x^2\).
5. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes, puis construire \((C_f)\).
6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)>6\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(-2(x-1)^2+8=-2x^2+4x-2+8=-2x^2+4x+6\) ✔
2. \(-2(x-1)^2\leq0\), donc \(f(x)\leq8\) pour tout \(x\), et \(f(1)=8\) :
[] \(8\) est la valeur maximale de \(f\), atteinte en \(1\)
3. Pour \(a\neq b\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=-2(a+b-2)\) ; sur \(]-\infty;1]\) : \(a+b<2\), taux positif ; sur \([1;+\infty[\) : taux négatif.
[] \(f\) est croissante sur \(]-\infty;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\)
[] 4. Parabole de sommet \(S(1;8)\), d’axe \(x=1\), image de la courbe de \(x\mapsto-2x^2\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(1;8)\)
5. \(f(0)=6\) ; \(f(x)=0\iff(x-1)^2=4\iff x=3\) ou \(x=-1\) :
[] \((0;6)\), \((3;0)\) et \((-1;0)\)
6. \(f(x)=6\iff-2x(x-2)=0\iff x=0\) ou \(x=2\) ; \((C_f)\) est strictement au-dessus de la droite \(y=6\) entre ces deux valeurs :
[] \(S=]0;2[\)
2. \(-2(x-1)^2\leq0\), donc \(f(x)\leq8\) pour tout \(x\), et \(f(1)=8\) :
[] \(8\) est la valeur maximale de \(f\), atteinte en \(1\)
3. Pour \(a\neq b\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=-2(a+b-2)\) ; sur \(]-\infty;1]\) : \(a+b<2\), taux positif ; sur \([1;+\infty[\) : taux négatif.
[] \(f\) est croissante sur \(]-\infty;1]\) et décroissante sur \([1;+\infty[\)
[] 4. Parabole de sommet \(S(1;8)\), d’axe \(x=1\), image de la courbe de \(x\mapsto-2x^2\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(1;8)\)
5. \(f(0)=6\) ; \(f(x)=0\iff(x-1)^2=4\iff x=3\) ou \(x=-1\) :
[] \((0;6)\), \((3;0)\) et \((-1;0)\)
6. \(f(x)=6\iff-2x(x-2)=0\iff x=0\) ou \(x=2\) ; \((C_f)\) est strictement au-dessus de la droite \(y=6\) entre ces deux valeurs :
[] \(S=]0;2[\)
Exercice 4 (3 pts)
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=3\) et \(AC=4\). Soit \(h\) l’homothétie de centre \(A\) et de rapport \(-2\) ; on pose \(B'=h(B)\) et \(C'=h(C)\).
1. Montrer que \((BC)\parallel(B'C')\) et calculer \(B'C'\).
2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC'}\) et \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{B'C'}\).
1. Montrer que \((BC)\parallel(B'C')\) et calculer \(B'C'\).
2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC'}\) et \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{B'C'}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{B'C'}=-2\overrightarrow{BC}\), donc \((BC)\parallel(B'C')\) ; \(BC=\sqrt{9+16}=5\) :
[] \(B'C'=|-2|\times5=10\)
2. \(\overrightarrow{AC'}=-2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC'}=-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) :
[] \(0\)
\(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{B'C'}=-2\,BC^2=-2\times25\) :
[] \(-50\)