Exercice 1 (4.5 pts)
1. Déterminer l’ensemble de définition des fonctions : \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2-3x+2}\) ; \(h(x)=\dfrac{1}{x^2-|x|}\) ; \(g(x)=\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x}}\).
2. Étudier la parité de la fonction \(R\) définie par \(R(x)=|3x-2|-|3x+2|\).
3. On considère le triangle \(ABC\) tel que \(BC=4\), \(AC=7\) et \(AB=5\).
a) Calculer \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
b) En déduire \(\cos\widehat{C}\) et \(\cos\widehat{A}\).
2. Étudier la parité de la fonction \(R\) définie par \(R(x)=|3x-2|-|3x+2|\).
3. On considère le triangle \(ABC\) tel que \(BC=4\), \(AC=7\) et \(AB=5\).
a) Calculer \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
b) En déduire \(\cos\widehat{C}\) et \(\cos\widehat{A}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(f\) : \(x-1\geq0\) et \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\neq0\) :
[] \(D_f=]1;2[\cup]2;+\infty[\)
\(h\) : \(x^2-|x|=|x|\left(|x|-1\right)\neq0\iff x\neq0\) et \(|x|\neq1\) :
[] \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1;0;1\}\)
\(g\) : \(x\neq0\) et \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\geq0\) ; le quotient est positif sur \([-1;0[\) et sur \([1;+\infty[\) :
[] \(D_g=[-1;0[\cup[1;+\infty[\)
2. \(D_R=\mathbb{R}\) symétrique ; \(R(-x)=|-3x-2|-|-3x+2|=|3x+2|-|3x-2|=-R(x)\) :
[] \(R\) est impaire
3. a) \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2}=\dfrac{49+16-25}{2}\) :
[] \(20\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}=\dfrac{25+49-16}{2}\) :
[] \(29\)
[] b) \(\cos\widehat{C}=\dfrac{20}{7\times4}=\dfrac{5}{7}\) ; \(\cos\widehat{A}=\dfrac{29}{5\times7}=\dfrac{29}{35}\)
[] \(D_f=]1;2[\cup]2;+\infty[\)
\(h\) : \(x^2-|x|=|x|\left(|x|-1\right)\neq0\iff x\neq0\) et \(|x|\neq1\) :
[] \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1;0;1\}\)
\(g\) : \(x\neq0\) et \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\geq0\) ; le quotient est positif sur \([-1;0[\) et sur \([1;+\infty[\) :
[] \(D_g=[-1;0[\cup[1;+\infty[\)
2. \(D_R=\mathbb{R}\) symétrique ; \(R(-x)=|-3x-2|-|-3x+2|=|3x+2|-|3x-2|=-R(x)\) :
[] \(R\) est impaire
3. a) \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2}=\dfrac{49+16-25}{2}\) :
[] \(20\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}=\dfrac{25+49-16}{2}\) :
[] \(29\)
[] b) \(\cos\widehat{C}=\dfrac{20}{7\times4}=\dfrac{5}{7}\) ; \(\cos\widehat{A}=\dfrac{29}{5\times7}=\dfrac{29}{35}\)
Exercice 2 (7.5 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\) et \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Donner le tableau de variations de la fonction \(f\).
2. Déterminer les points d’intersection de \((C)\) avec les axes du repère.
3. On considère la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\).
a) Déterminer les points d’intersection de \((\Delta)\) et \((C)\).
b) Construire dans le repère la droite \((\Delta)\) et la courbe \((C)\).
4. Résoudre graphiquement l’inéquation : \(f(x)+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}>0\).
5. On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\dfrac{|x|-2}{|x|+1}\) et \((T)\) sa courbe dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
a) Construire la courbe \((T)\).
b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\).
1. Donner le tableau de variations de la fonction \(f\).
2. Déterminer les points d’intersection de \((C)\) avec les axes du repère.
3. On considère la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\).
a) Déterminer les points d’intersection de \((\Delta)\) et \((C)\).
b) Construire dans le repère la droite \((\Delta)\) et la courbe \((C)\).
4. Résoudre graphiquement l’inéquation : \(f(x)+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}>0\).
5. On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\dfrac{|x|-2}{|x|+1}\) et \((T)\) sa courbe dans le repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
a) Construire la courbe \((T)\).
b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(g\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) et \(f(x)=\dfrac{x+1-3}{x+1}=1-\dfrac{3}{x+1}\) : hyperbole de centre \(\Omega(-1;1)\).
\(x\mapsto-\dfrac{3}{x+1}\) est croissante sur chaque intervalle :
[] \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
2. \(f(0)=-2\) et \(f(x)=0\iff x=2\) :
[] \((0;-2)\) et \((2;0)\)
3. a) Pour \(x\neq-1\) : \(\dfrac{x-2}{x+1}=-\dfrac{x-2}{3}\iff3(x-2)+(x-2)(x+1)=0\iff(x-2)(x+4)=0\)
[] \(A(2;0)\) et \(B(-4;2)\)
4. \(f(x)+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}>0\iff f(x)>-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\) : \((C)\) est strictement au-dessus de \((\Delta)\) :
[] \(S=]-4;-1[\cup]2;+\infty[\)
5. a) \(D_g=\mathbb{R}\) et \(g(-x)=g(x)\) : \(g\) est paire. Pour \(x\geq0\) : \(g(x)=f(x)\).
[] \((T)\) est formée de la partie de \((C)\) d’abscisses positives et de sa symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
b) \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\), donc \(g\) aussi ; par parité, \(g\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\) ; \(g(0)=-2\) :
\(x\mapsto-\dfrac{3}{x+1}\) est croissante sur chaque intervalle :
[] \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
2. \(f(0)=-2\) et \(f(x)=0\iff x=2\) :
[] \((0;-2)\) et \((2;0)\)
3. a) Pour \(x\neq-1\) : \(\dfrac{x-2}{x+1}=-\dfrac{x-2}{3}\iff3(x-2)+(x-2)(x+1)=0\iff(x-2)(x+4)=0\)
[] \(A(2;0)\) et \(B(-4;2)\)
4. \(f(x)+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}>0\iff f(x)>-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\) : \((C)\) est strictement au-dessus de \((\Delta)\) :
[] \(S=]-4;-1[\cup]2;+\infty[\)
5. a) \(D_g=\mathbb{R}\) et \(g(-x)=g(x)\) : \(g\) est paire. Pour \(x\geq0\) : \(g(x)=f(x)\).
[] \((T)\) est formée de la partie de \((C)\) d’abscisses positives et de sa symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
b) \(f\) est croissante sur \([0;+\infty[\), donc \(g\) aussi ; par parité, \(g\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\) ; \(g(0)=-2\) :
Exercice 3 (3.5 pts)
Soit \(ABM\) un triangle tel que \(AB=2\sqrt{2}\), \(AM=3\) et \(\widehat{BAM}=\dfrac{\pi}{4}\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}\) puis en déduire la distance \(BM\).
2. Soient \(I\) et \(J\) les milieux respectifs des segments \([BM]\) et \([AB]\).
a) Calculer la distance \(AI\).
b) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AJ}\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}\) puis en déduire la distance \(BM\).
2. Soient \(I\) et \(J\) les milieux respectifs des segments \([BM]\) et \([AB]\).
a) Calculer la distance \(AI\).
b) Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AJ}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=2\sqrt{2}\times3\times\cos\dfrac{\pi}{4}=2\sqrt{2}\times3\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :
[] \(6\)
\(BM^2=AB^2+AM^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=8+9-12=5\) :
[] \(BM=\sqrt{5}\)
2. a) Théorème de la médiane : \(AB^2+AM^2=2AI^2+\dfrac{BM^2}{2}\), donc \(17=2AI^2+\dfrac{5}{2}\) :
[] \(AI^2=\dfrac{29}{4}\), \(AI=\dfrac{\sqrt{29}}{2}\)
b) \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}AB^2\) :
[] \(4\)
[] \(6\)
\(BM^2=AB^2+AM^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=8+9-12=5\) :
[] \(BM=\sqrt{5}\)
2. a) Théorème de la médiane : \(AB^2+AM^2=2AI^2+\dfrac{BM^2}{2}\), donc \(17=2AI^2+\dfrac{5}{2}\) :
[] \(AI^2=\dfrac{29}{4}\), \(AI=\dfrac{\sqrt{29}}{2}\)
b) \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}AB^2\) :
[] \(4\)
Exercice 4 (4.5 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, \(M\) et \(N\) deux points tels que : \(\overrightarrow{CM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}\).
1. Montrer que la droite \((BN)\) est l’image de la droite \((AM)\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
2. On considère l’homothétie \(h\) de centre \(M\) qui transforme \(B\) en \(C\).
a) Montrer que le rapport de l’homothétie \(h\) est \(-2\).
b) Montrer que l’image de la droite \((AB)\) par \(h\) est la droite \((CD)\).
3. Soit \(K\) le point tel que \(\overrightarrow{KM}=2\overrightarrow{AB}\).
a) Montrer que \(h(N)=K\).
b) Montrer que \(\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CK}\).
1. Montrer que la droite \((BN)\) est l’image de la droite \((AM)\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
2. On considère l’homothétie \(h\) de centre \(M\) qui transforme \(B\) en \(C\).
a) Montrer que le rapport de l’homothétie \(h\) est \(-2\).
b) Montrer que l’image de la droite \((AB)\) par \(h\) est la droite \((CD)\).
3. Soit \(K\) le point tel que \(\overrightarrow{KM}=2\overrightarrow{AB}\).
a) Montrer que \(h(N)=K\).
b) Montrer que \(\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CK}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. Soit \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) : \(t(A)=B\) ; \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\), donc \(t(M)=N\) :
[] \(t\left((AM)\right)=(BN)\)
2. a) \(\overrightarrow{MC}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\), donc \(\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}\) :
[] le rapport de \(h\) est \(-2\)
b) L’image de \((AB)\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(h(B)=C\) ; or \((CD)\parallel(AB)\) :
[] \(h\left((AB)\right)=(CD)\)
3. a) \(\overrightarrow{MK}=-2\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{MN}\) :
[] \(h(N)=K\)
b) \(h(B)=C\) et \(h(N)=K\), donc \(\overrightarrow{CK}=-2\overrightarrow{BN}\) ; d’après 1, \(ABNM\) est un parallélogramme : \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AM}\).
[] \(\overrightarrow{CK}=-2\overrightarrow{AM}\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CK}\)