Exercice 1 (8.5 pts)
1. Déterminer \(D_f\) dans chacun des cas : a) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}\) ; b) \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-x-6}\).
2. Étudier la parité de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+|x|\).
3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\). Étudier les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\).
4. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+2x+3\). Montrer que \(2\) est une valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
5. Résoudre dans l’intervalle \(]-\pi;3\pi[\) l’équation : \(\sin x-1=0\).
6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\sin x=\cos\dfrac{\pi}{8}\).
7. Résoudre dans l’intervalle \(]-\pi;\pi]\) l’inéquation : \(\tan x\geq1\).
2. Étudier la parité de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+|x|\).
3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\). Étudier les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\).
4. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2+2x+3\). Montrer que \(2\) est une valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
5. Résoudre dans l’intervalle \(]-\pi;3\pi[\) l’équation : \(\sin x-1=0\).
6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\sin x=\cos\dfrac{\pi}{8}\).
7. Résoudre dans l’intervalle \(]-\pi;\pi]\) l’inéquation : \(\tan x\geq1\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(x\geq0\) et \(x\neq1\) :
[] \(D_f=[0;1[\cup]1;+\infty[\)
b) \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\neq0\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;3\}\)
2. \(\mathbb{R}\) est symétrique et \(f(-x)=(-x)^2+|-x|=x^2+|x|=f(x)\) :
[] \(f\) est paire
3. Pour \(a\neq b\) de \(D_f\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{-1}{(a+1)(b+1)}\).
Sur chacun des intervalles, \(a+1\) et \(b+1\) ont le même signe, donc \((a+1)(b+1)>0\) et le taux est négatif :
[] \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
4. \(f(x)=(x+1)^2+2\geq2\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et \(f(-1)=2\) :
[] \(2\) est la valeur minimale de \(f\), atteinte en \(-1\)
5. \(\sin x=1\iff x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) ; \(-\pi<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<3\pi\) donne \(k=0\) ou \(k=1\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right\}\)
6. \(\cos\dfrac{\pi}{8}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\dfrac{3\pi}{8}\), donc \(x=\dfrac{3\pi}{8}+2k\pi\) ou \(x=\pi-\dfrac{3\pi}{8}+2k\pi\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{3\pi}{8}+2k\pi;\dfrac{5\pi}{8}+2k\pi\;/\;k\in\mathbb{Z}\right\}\)
7. \(\tan x=1\iff x=\dfrac{\pi}{4}\) ou \(x=-\dfrac{3\pi}{4}\) dans \(]-\pi;\pi]\) ; \(\tan\) est croissante sur chaque intervalle où elle est définie :
[] \(S=\left[-\dfrac{3\pi}{4};-\dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[\)
[] \(D_f=[0;1[\cup]1;+\infty[\)
b) \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\neq0\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;3\}\)
2. \(\mathbb{R}\) est symétrique et \(f(-x)=(-x)^2+|-x|=x^2+|x|=f(x)\) :
[] \(f\) est paire
3. Pour \(a\neq b\) de \(D_f\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{-1}{(a+1)(b+1)}\).
Sur chacun des intervalles, \(a+1\) et \(b+1\) ont le même signe, donc \((a+1)(b+1)>0\) et le taux est négatif :
[] \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
4. \(f(x)=(x+1)^2+2\geq2\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et \(f(-1)=2\) :
[] \(2\) est la valeur minimale de \(f\), atteinte en \(-1\)
5. \(\sin x=1\iff x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) ; \(-\pi<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi<3\pi\) donne \(k=0\) ou \(k=1\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right\}\)
6. \(\cos\dfrac{\pi}{8}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}\right)=\sin\dfrac{3\pi}{8}\), donc \(x=\dfrac{3\pi}{8}+2k\pi\) ou \(x=\pi-\dfrac{3\pi}{8}+2k\pi\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{3\pi}{8}+2k\pi;\dfrac{5\pi}{8}+2k\pi\;/\;k\in\mathbb{Z}\right\}\)
7. \(\tan x=1\iff x=\dfrac{\pi}{4}\) ou \(x=-\dfrac{3\pi}{4}\) dans \(]-\pi;\pi]\) ; \(\tan\) est croissante sur chaque intervalle où elle est définie :
[] \(S=\left[-\dfrac{3\pi}{4};-\dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right[\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-4x+3\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Montrer que pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \(f(x)=(x-2)^2-1\).
2. Déterminer la nature de la courbe \((C_f)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
5. Construire la courbe \((C_f)\).
6. Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=-f(x)\). Construire la courbe \((C_g)\) de \(g\) dans le même repère avec une couleur différente.
1. Montrer que pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\) : \(f(x)=(x-2)^2-1\).
2. Déterminer la nature de la courbe \((C_f)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
5. Construire la courbe \((C_f)\).
6. Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=-f(x)\). Construire la courbe \((C_g)\) de \(g\) dans le même repère avec une couleur différente.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-2)^2-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3\) ✔
2. \((C_f)\) est l’image de la parabole \(y=x^2\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(2;-1)\) :
[] parabole de sommet \(S(2;-1)\), d’axe \(x=2\), tournée vers le haut
3. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;2]\) et croissante sur \([2;+\infty[\) :
4. \(f(0)=3\) ; \(f(x)=0\iff(x-2)^2=1\iff x=1\) ou \(x=3\) :
[] \((0;3)\), \((1;0)\) et \((3;0)\)
6. \(g(x)=-f(x)\) :
[] \((C_g)\) est la symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses
2. \((C_f)\) est l’image de la parabole \(y=x^2\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(2;-1)\) :
[] parabole de sommet \(S(2;-1)\), d’axe \(x=2\), tournée vers le haut
3. \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;2]\) et croissante sur \([2;+\infty[\) :
4. \(f(0)=3\) ; \(f(x)=0\iff(x-2)^2=1\iff x=1\) ou \(x=3\) :
[] \((0;3)\), \((1;0)\) et \((3;0)\)
6. \(g(x)=-f(x)\) :
[] \((C_g)\) est la symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses
Exercice 3 (5.5 pts)
1. Montrer que : \(2\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos(x+5\pi)-1=(\cos x+1)(2\cos x-1)\).
2. Résoudre dans l’intervalle \(]-\pi;\pi]\) l’équation \((E)\) : \(2\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos(x+5\pi)-1=0\).
3. Représenter les solutions de l’équation \((E)\) sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
4. Soient \(A\), \(B\) et \(C\) les points obtenus dans la question précédente. Montrer que le triangle \(ABC\) est équilatéral.
2. Résoudre dans l’intervalle \(]-\pi;\pi]\) l’équation \((E)\) : \(2\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos(x+5\pi)-1=0\).
3. Représenter les solutions de l’équation \((E)\) sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
4. Soient \(A\), \(B\) et \(C\) les points obtenus dans la question précédente. Montrer que le triangle \(ABC\) est équilatéral.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\) et \(\cos(x+5\pi)=\cos(x+\pi)=-\cos x\) : le premier membre vaut \(2\cos^2x+\cos x-1\).
\((\cos x+1)(2\cos x-1)=2\cos^2x-\cos x+2\cos x-1=2\cos^2x+\cos x-1\) ✔
2. \((E)\iff\cos x=-1\) ou \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) ; dans \(]-\pi;\pi]\) : \(x=\pi\) ou \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3};\pi\right\}\)
3. \(A\), \(B\) et \(C\) sont les images de \(\dfrac{\pi}{3}\), \(-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\pi\) :
4. \(A\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(B\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(C(-1;0)\) : \(AB=\sqrt{3}\) ; \(AC^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\) ; \(BC^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\)
[] \(AB=AC=BC=\sqrt{3}\) : le triangle \(ABC\) est équilatéral
\((\cos x+1)(2\cos x-1)=2\cos^2x-\cos x+2\cos x-1=2\cos^2x+\cos x-1\) ✔
2. \((E)\iff\cos x=-1\) ou \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) ; dans \(]-\pi;\pi]\) : \(x=\pi\) ou \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3};\pi\right\}\)
3. \(A\), \(B\) et \(C\) sont les images de \(\dfrac{\pi}{3}\), \(-\dfrac{\pi}{3}\) et \(\pi\) :
4. \(A\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(B\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(C(-1;0)\) : \(AB=\sqrt{3}\) ; \(AC^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\) ; \(BC^2=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=3\)
[] \(AB=AC=BC=\sqrt{3}\) : le triangle \(ABC\) est équilatéral