Exercice 1 (6 pts)
1. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes définies par : a) \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2-x}\) ; b) \(g(x)=\sqrt{x^2-x-2}\) ; c) \(h(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-4}\).
2. \(ABC\) est un triangle. Le point \(D\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\) et le point \(I\) est le milieu de \([AB]\). Déterminer le point \(J\), image de \(I\) par \(t_{\overrightarrow{BC}}\).
3. Soit \(ABC\) un triangle tel que \(\widehat{A}=60^\circ\), \(AB=3\) et \(AC=4\). Calculer la distance \(BC\).
4. Montrer que \(\pi\) est une période de la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=\sin x\cos x\).
2. \(ABC\) est un triangle. Le point \(D\) est l’image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\) et le point \(I\) est le milieu de \([AB]\). Déterminer le point \(J\), image de \(I\) par \(t_{\overrightarrow{BC}}\).
3. Soit \(ABC\) un triangle tel que \(\widehat{A}=60^\circ\), \(AB=3\) et \(AC=4\). Calculer la distance \(BC\).
4. Montrer que \(\pi\) est une période de la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=\sin x\cos x\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(x^2-x=x(x-1)\neq0\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0;1\}\)
b) \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\geq0\) :
[] \(D_g=]-\infty;-1]\cup[2;+\infty[\)
c) \(x-1\geq0\) et \(x\neq4\) :
[] \(D_h=[1;4[\cup]4;+\infty[\)
2. \(t(A)=D\) et \(t(B)=C\) ; la translation conserve le milieu :
[] \(J=t(I)\) est le milieu du segment \([DC]\)
3. Al Kashi : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\cos60^\circ=9+16-12=13\) :
[] \(BC=\sqrt{13}\)
4. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(x+\pi\in\mathbb{R}\) et \(f(x+\pi)=\sin(x+\pi)\cos(x+\pi)=(-\sin x)(-\cos x)=f(x)\) :
[] \(\pi\) est une période de \(f\)
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0;1\}\)
b) \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\geq0\) :
[] \(D_g=]-\infty;-1]\cup[2;+\infty[\)
c) \(x-1\geq0\) et \(x\neq4\) :
[] \(D_h=[1;4[\cup]4;+\infty[\)
2. \(t(A)=D\) et \(t(B)=C\) ; la translation conserve le milieu :
[] \(J=t(I)\) est le milieu du segment \([DC]\)
3. Al Kashi : \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\cos60^\circ=9+16-12=13\) :
[] \(BC=\sqrt{13}\)
4. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(x+\pi\in\mathbb{R}\) et \(f(x+\pi)=\sin(x+\pi)\cos(x+\pi)=(-\sin x)(-\cos x)=f(x)\) :
[] \(\pi\) est une période de \(f\)
Exercice 2 (6.5 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=x^2-4x+3\). Soit \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Montrer que \(f(x)=(x-2)^2-1\).
2. Étudier les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \([2;+\infty[\) et \(]-\infty;2]\).
3. Construire le tableau de variations de \(f\). En déduire la valeur minimale de \(f\).
4. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(3)\).
5. Construire la courbe \((C)\) de \(f\).
6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\leq0\).
1. Montrer que \(f(x)=(x-2)^2-1\).
2. Étudier les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \([2;+\infty[\) et \(]-\infty;2]\).
3. Construire le tableau de variations de \(f\). En déduire la valeur minimale de \(f\).
4. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(3)\).
5. Construire la courbe \((C)\) de \(f\).
6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\leq0\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-2)^2-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3\) ✔
2. Pour \(a\neq b\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{(a-2)^2-(b-2)^2}{a-b}=a+b-4\).
Si \(a,b\in[2;+\infty[\) : \(a+b>4\) :
[] \(f\) est croissante sur \([2;+\infty[\)
Si \(a,b\in\,]-\infty;2]\) : \(a+b<4\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;2]\)
[] 3. La valeur minimale de \(f\) est \(f(2)=-1\)
[] 4. \(f(0)=3\) ; \(f(1)=0\) ; \(f(3)=0\)
6. \((C)\) est au-dessous de l’axe des abscisses (ou le coupe) pour \(1\leq x\leq3\) :
[] \(S=[1;3]\)
2. Pour \(a\neq b\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{(a-2)^2-(b-2)^2}{a-b}=a+b-4\).
Si \(a,b\in[2;+\infty[\) : \(a+b>4\) :
[] \(f\) est croissante sur \([2;+\infty[\)
Si \(a,b\in\,]-\infty;2]\) : \(a+b<4\) :
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;2]\)
[] 3. La valeur minimale de \(f\) est \(f(2)=-1\)
[] 4. \(f(0)=3\) ; \(f(1)=0\) ; \(f(3)=0\)
6. \((C)\) est au-dessous de l’axe des abscisses (ou le coupe) pour \(1\leq x\leq3\) :
[] \(S=[1;3]\)
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(ABCD\) un trapèze dont les bases \([AB]\) et \([CD]\) ont pour milieux respectifs \(I\) et \(J\) et telles que \(AB=4\) et \(CD=6\). On note \(O\) le point d’intersection des droites \((AD)\) et \((BC)\). On note \(h\) l’homothétie de centre \(O\) qui transforme \(A\) en \(D\).
1. En utilisant le théorème de Thalès, montrer que \(\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{AB}{DC}\).
2. Montrer que le rapport de \(h\) est \(\dfrac{3}{2}\).
3. Montrer que \(h(B)=C\).
4. Montrer que \(h(I)=J\). En déduire que les points \(O\), \(J\) et \(I\) sont alignés.
5. Soit \(K\) le point d’intersection des diagonales \([AC]\) et \([BD]\). On considère l’homothétie \(h'\) de centre \(K\) qui transforme \(A\) en \(C\).
a) Montrer que le rapport de \(h'\) est \(-\dfrac{3}{2}\).
b) Montrer que les points \(O\), \(I\), \(K\) et \(J\) sont alignés.
1. En utilisant le théorème de Thalès, montrer que \(\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{AB}{DC}\).
2. Montrer que le rapport de \(h\) est \(\dfrac{3}{2}\).
3. Montrer que \(h(B)=C\).
4. Montrer que \(h(I)=J\). En déduire que les points \(O\), \(J\) et \(I\) sont alignés.
5. Soit \(K\) le point d’intersection des diagonales \([AC]\) et \([BD]\). On considère l’homothétie \(h'\) de centre \(K\) qui transforme \(A\) en \(C\).
a) Montrer que le rapport de \(h'\) est \(-\dfrac{3}{2}\).
b) Montrer que les points \(O\), \(I\), \(K\) et \(J\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. Dans le triangle \(ODC\) : \(A\in(OD)\), \(B\in(OC)\) et \((AB)\parallel(DC)\) ; d’après Thalès :
[] \(\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{AB}{DC}\)
2. \(\dfrac{OD}{OA}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\) et \(A\), \(D\) sont du même côté de \(O\) : \(\overrightarrow{OD}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OA}\) :
[] le rapport de \(h\) est \(\dfrac{3}{2}\)
3. De même \(\overrightarrow{OC}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OB}\) :
[] \(h(B)=C\)
4. L’homothétie conserve le milieu : \(h(I)\) est le milieu de \([DC]\), donc \(h(I)=J\) ; ainsi \(\overrightarrow{OJ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OI}\) :
[] \(O\), \(J\) et \(I\) sont alignés
5. a) \((AB)\parallel(CD)\) ; Thalès dans les triangles \(KAB\) et \(KCD\) : \(\dfrac{KC}{KA}=\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{3}{2}\), et \(K\) est entre \(A\) et \(C\) : \(\overrightarrow{KC}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{KA}\) :
[] le rapport de \(h'\) est \(-\dfrac{3}{2}\)
b) De même \(\overrightarrow{KD}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{KB}\), donc \(h'(B)=D\) et \(h'(I)\) est le milieu de \([CD]\) : \(h'(I)=J\), donc \(K\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
[] Avec la question 4, \(O\) et \(K\) appartiennent à la droite \((IJ)\) : \(O\), \(I\), \(K\) et \(J\) sont alignés
Exercice 4 (1.5 pts)
On considère un rectangle \(ABCD\) tel que \(AB=5\) et \(BC=3\), un triangle \(ABF\) équilatéral construit à l’extérieur du rectangle et un triangle \(BCE\) rectangle et isocèle de sommet \(C\), avec \(E\) sur la droite \((DC)\) à l’extérieur du rectangle. Soit \(H\) le milieu du segment \([AB]\).
Calculer les produits scalaires suivants : a) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\) ; b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AF}\) ; c) \(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{CE}\) ; d) \(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BA}\).
Calculer les produits scalaires suivants : a) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\) ; b) \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AF}\) ; c) \(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{CE}\) ; d) \(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BA}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
a) \(H\in[AB]\) : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=AB\times AH=5\times\dfrac{5}{2}\) :
[] \(\dfrac{25}{2}\)
b) \(ABF\) est équilatéral : le projeté orthogonal de \(F\) sur \((AB)\) est \(H\), donc \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\) :
[] \(\dfrac{25}{2}\)
c) \(\overrightarrow{CE}\) a même sens que \(\overrightarrow{AB}\) et \(CE=CB=3\) ; \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\) avec \(\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{CE}\) : \(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CE}=-5\times3\) :
[] \(-15\)
d) \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}\) avec \(\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{BA}\) : \(\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CE}\cdot\overrightarrow{BA}=-3\times5\) :
[] \(-15\)