Exercice 1 (9.5 pts)
On considère les fonctions numériques \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x)=x^2+4x+1\) et \(g(x)=\dfrac{-x-5}{x+2}\).
1. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions \(g\) et \(f\).
2. Calculer \(f(-1)\) et \(f(1)\).
3. En déduire que \(f\) n’est ni paire ni impaire.
4. Vérifier que \(f(x)=(x+2)^2-3\).
5. Vérifier que \(g(x)=-1-\dfrac{3}{x+2}\).
6. Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthonormé à partir des courbes des fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x\mapsto-\dfrac{3}{x}\) respectivement, en utilisant la translation convenable, et donner une lecture graphique de chaque courbe.
7. En déduire les variations des fonctions \(g\) et \(f\) sur chacun des ensembles \(D_g\) et \(D_f\) à partir de leurs courbes.
1. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions \(g\) et \(f\).
2. Calculer \(f(-1)\) et \(f(1)\).
3. En déduire que \(f\) n’est ni paire ni impaire.
4. Vérifier que \(f(x)=(x+2)^2-3\).
5. Vérifier que \(g(x)=-1-\dfrac{3}{x+2}\).
6. Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un repère orthonormé à partir des courbes des fonctions \(x\mapsto x^2\) et \(x\mapsto-\dfrac{3}{x}\) respectivement, en utilisant la translation convenable, et donner une lecture graphique de chaque courbe.
7. En déduire les variations des fonctions \(g\) et \(f\) sur chacun des ensembles \(D_g\) et \(D_f\) à partir de leurs courbes.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
[] 1. \(D_f=\mathbb{R}\) ; \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\)
[] 2. \(f(-1)=1-4+1=-2\) ; \(f(1)=1+4+1=6\)
3. \(f(-1)\neq f(1)\) donc \(f\) n’est pas paire ; \(f(-1)\neq-f(1)\) donc \(f\) n’est pas impaire :
[] \(f\) n’est ni paire ni impaire
4. \((x+2)^2-3=x^2+4x+4-3=x^2+4x+1\) ✔
5. \(-1-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{-x-2-3}{x+2}=\dfrac{-x-5}{x+2}\) ✔
6. \((C_f)\) est l’image de la parabole \(y=x^2\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(-2;-3)\) :
[] parabole de sommet \(S(-2;-3)\), d’axe \(x=-2\), tournée vers le haut
\((C_g)\) est l’image de l’hyperbole \(y=-\dfrac{3}{x}\) par la translation de vecteur \(\vec{v}(-2;-1)\) :
[] hyperbole de centre \(\Omega(-2;-1)\) et d’asymptotes \(x=-2\), \(y=-1\)
7.
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-2]\) et croissante sur \([-2;+\infty[\)
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\)
[] 2. \(f(-1)=1-4+1=-2\) ; \(f(1)=1+4+1=6\)
3. \(f(-1)\neq f(1)\) donc \(f\) n’est pas paire ; \(f(-1)\neq-f(1)\) donc \(f\) n’est pas impaire :
[] \(f\) n’est ni paire ni impaire
4. \((x+2)^2-3=x^2+4x+4-3=x^2+4x+1\) ✔
5. \(-1-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{-x-2-3}{x+2}=\dfrac{-x-5}{x+2}\) ✔
6. \((C_f)\) est l’image de la parabole \(y=x^2\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(-2;-3)\) :
[] parabole de sommet \(S(-2;-3)\), d’axe \(x=-2\), tournée vers le haut
\((C_g)\) est l’image de l’hyperbole \(y=-\dfrac{3}{x}\) par la translation de vecteur \(\vec{v}(-2;-1)\) :
[] hyperbole de centre \(\Omega(-2;-1)\) et d’asymptotes \(x=-2\), \(y=-1\)
7.
[] \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;-2]\) et croissante sur \([-2;+\infty[\)
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-2[\) et sur \(]-2;+\infty[\)
Exercice 2 (6.5 pts)
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{8}\) et \(BC=2a\) \((a>0)\). Soit \(O\) le milieu de \([BC]\) et \(H\) le projeté orthogonal du point \(A\) sur \([BC]\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\widehat{AOH}=\dfrac{\pi}{4}\).
3. En déduire que : \(OH=HA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).
4. En déduire que \(AB=a\sqrt{2+\sqrt{2}}\).
5. Dans le triangle \(AHB\) rectangle en \(H\), calculer \(\cos\dfrac{\pi}{8}\), \(\sin\dfrac{\pi}{8}\) et \(\tan\dfrac{\pi}{8}\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\widehat{AOH}=\dfrac{\pi}{4}\).
3. En déduire que : \(OH=HA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).
4. En déduire que \(AB=a\sqrt{2+\sqrt{2}}\).
5. Dans le triangle \(AHB\) rectangle en \(H\), calculer \(\cos\dfrac{\pi}{8}\), \(\sin\dfrac{\pi}{8}\) et \(\tan\dfrac{\pi}{8}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
2. \(ABC\) est rectangle en \(A\), donc \(O\) est le centre de son cercle circonscrit : \(OA=OB=OC=a\).
Le triangle \(OAB\) est isocèle en \(O\) : \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\dfrac{\pi}{8}\) ; l’angle \(\widehat{AOH}\) est un angle extérieur de ce triangle :
[] \(\widehat{AOH}=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}\)
3. Dans le triangle \(AHO\) rectangle en \(H\) : \(OH=OA\cos\dfrac{\pi}{4}\) et \(HA=OA\sin\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(OH=HA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
4. \(BH=BO+OH=a+\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) et \(AB^2=BH^2+AH^2=a^2\left(1+\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{a^2}{2}=a^2\left(2+\sqrt{2}\right)\)
[] \(AB=a\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
5. \(\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\) :
[] \(\cos\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
\(\sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}}\) :
[] \(\sin\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
\(\tan\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}\) :
[] \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\)
Exercice 3 (4 pts)
Dans un triangle \(ABC\), on pose : \(BC=a\), \(CA=b\), \(AB=c\) et \(2p=a+b+c\).
1. Construire une figure.
2. Montrer que : \(a=c\cos\widehat{B}+b\cos\widehat{C}\) ; \(b=c\cos\widehat{A}+a\cos\widehat{C}\) ; \(c=a\cos\widehat{B}+b\cos\widehat{A}\).
3. En déduire que : \(a\cos\widehat{A}+b\cos\widehat{B}+c\cos\widehat{C}=2p\left(\cos\widehat{A}+\cos\widehat{B}+\cos\widehat{C}-1\right)\).
1. Construire une figure.
2. Montrer que : \(a=c\cos\widehat{B}+b\cos\widehat{C}\) ; \(b=c\cos\widehat{A}+a\cos\widehat{C}\) ; \(c=a\cos\widehat{B}+b\cos\widehat{A}\).
3. En déduire que : \(a\cos\widehat{A}+b\cos\widehat{B}+c\cos\widehat{C}=2p\left(\cos\widehat{A}+\cos\widehat{B}+\cos\widehat{C}-1\right)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
2. \(a^2=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}\cdot\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}\)
\(a^2=ac\cos\widehat{B}+ab\cos\widehat{C}\) ; on divise par \(a\neq0\) :
[] \(a=c\cos\widehat{B}+b\cos\widehat{C}\)
[] De même : \(b=c\cos\widehat{A}+a\cos\widehat{C}\) et \(c=a\cos\widehat{B}+b\cos\widehat{A}\)
3. En additionnant : \(a+b+c=(b+c)\cos\widehat{A}+(a+c)\cos\widehat{B}+(a+b)\cos\widehat{C}\).
Or \(b+c=2p-a\), \(a+c=2p-b\), \(a+b=2p-c\) : \(2p=2p\left(\cos\widehat{A}+\cos\widehat{B}+\cos\widehat{C}\right)-\left(a\cos\widehat{A}+b\cos\widehat{B}+c\cos\widehat{C}\right)\)
[] \(a\cos\widehat{A}+b\cos\widehat{B}+c\cos\widehat{C}=2p\left(\cos\widehat{A}+\cos\widehat{B}+\cos\widehat{C}-1\right)\)