Exercice 1 (9 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme.
1. Vérifier que \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\) et que \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
2. Montrer que \(AC^2+BD^2=2\left(AB^2+AD^2\right)\).
3. Énoncer la propriété obtenue.
4. Application : on suppose que \(AC=6\), \(BD=4\) et \(AD=\sqrt{7}\).
a) Calculer \(AB\).
b) Déterminer une mesure de l’angle \(\widehat{AOB}\), où \(O\) est le centre de \(ABCD\).
c) Déterminer une valeur approchée de l’angle \(\widehat{ABC}\) à \(1^\circ\) près.
1. Vérifier que \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\) et que \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
2. Montrer que \(AC^2+BD^2=2\left(AB^2+AD^2\right)\).
3. Énoncer la propriété obtenue.
4. Application : on suppose que \(AC=6\), \(BD=4\) et \(AD=\sqrt{7}\).
a) Calculer \(AB\).
b) Déterminer une mesure de l’angle \(\widehat{AOB}\), où \(O\) est le centre de \(ABCD\).
c) Déterminer une valeur approchée de l’angle \(\widehat{ABC}\) à \(1^\circ\) près.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Chasles : \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) avec \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) ✔.
2.
\(AC^2+BD^2=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)^2+\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)^2=2AB^2+2AD^2\)
3.
[] Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés
4. a) \(36+16=2\left(AB^2+7\right)\) : \(AB^2=19\) :
[] \(AB=\sqrt{19}\)
b) \(OA=3\), \(OB=2\) ; Al Kashi : \(19=9+4-12\cos\widehat{AOB}\), donc \(\cos\widehat{AOB}=-\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\widehat{AOB}=\dfrac{2\pi}{3}\)
c) \(AC^2=AB^2+BC^2-2AB\times BC\cos\widehat{B}\) : \(36=26-2\sqrt{133}\cos\widehat{B}\), \(\cos\widehat{B}=-\dfrac{5}{\sqrt{133}}\approx-0{,}434\) :
[] \(\widehat{ABC}\approx116^\circ\)
2.
\(AC^2+BD^2=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)^2+\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)^2=2AB^2+2AD^2\)
3.
[] Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés
4. a) \(36+16=2\left(AB^2+7\right)\) : \(AB^2=19\) :
[] \(AB=\sqrt{19}\)
b) \(OA=3\), \(OB=2\) ; Al Kashi : \(19=9+4-12\cos\widehat{AOB}\), donc \(\cos\widehat{AOB}=-\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\widehat{AOB}=\dfrac{2\pi}{3}\)
c) \(AC^2=AB^2+BC^2-2AB\times BC\cos\widehat{B}\) : \(36=26-2\sqrt{133}\cos\widehat{B}\), \(\cos\widehat{B}=-\dfrac{5}{\sqrt{133}}\approx-0{,}434\) :
[] \(\widehat{ABC}\approx116^\circ\)
Exercice 2 (11 pts)
A. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : 1) \(\cos x=\dfrac{1}{2}\) ; 2) \(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ; 3) \(\tan x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ; 4) \(\cos x=\dfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\).
B. On considère \(p(x)=4\sin^2x+2\left(1-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}\).
1. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(4X^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=0\).
b) En déduire une factorisation du trinôme \(4X^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}\).
c) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(4X^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}\geq0\).
2. Résoudre dans \([0;\pi]\) l’équation \(p(x)=0\).
3. En déduire une factorisation de \(p(x)\).
B. On considère \(p(x)=4\sin^2x+2\left(1-\sqrt{3}\right)\sin x-\sqrt{3}\).
1. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(4X^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=0\).
b) En déduire une factorisation du trinôme \(4X^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}\).
c) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(4X^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}\geq0\).
2. Résoudre dans \([0;\pi]\) l’équation \(p(x)=0\).
3. En déduire une factorisation de \(p(x)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
A. 1)
[] \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ; 2)
[] \(x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\) ; 3)
[] \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\))
4) \(\dfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)<-1\) :
[] \(S=\emptyset\)
B. 1. a)
\(\Delta=4\left(1-\sqrt{3}\right)^2+16\sqrt{3}=16+8\sqrt{3}=4\left(1+\sqrt{3}\right)^2\)
\(X=\dfrac{-2\left(1-\sqrt{3}\right)\pm2\left(1+\sqrt{3}\right)}{8}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right\}\)
b)
[] \(4X^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=(2X+1)\left(2X-\sqrt{3}\right)\) ; c) signe de \(a=4\) à l’extérieur :
[] \(S=\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2};+\infty\right[\)
2. \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ou \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\) ; sur \([0;\pi]\), \(\sin x\geq0\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3}\right\}\)
3.
[] \(p(x)=(2\sin x+1)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)\)
[] \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ; 2)
[] \(x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\) ; 3)
[] \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\))
4) \(\dfrac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)<-1\) :
[] \(S=\emptyset\)
B. 1. a)
\(\Delta=4\left(1-\sqrt{3}\right)^2+16\sqrt{3}=16+8\sqrt{3}=4\left(1+\sqrt{3}\right)^2\)
\(X=\dfrac{-2\left(1-\sqrt{3}\right)\pm2\left(1+\sqrt{3}\right)}{8}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right\}\)
b)
[] \(4X^2+2\left(1-\sqrt{3}\right)X-\sqrt{3}=(2X+1)\left(2X-\sqrt{3}\right)\) ; c) signe de \(a=4\) à l’extérieur :
[] \(S=\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2};+\infty\right[\)
2. \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ou \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\) ; sur \([0;\pi]\), \(\sin x\geq0\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3}\right\}\)
3.
[] \(p(x)=(2\sin x+1)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)\)