Exercice 1 (6 pts)
1. Déterminer l’ensemble de définition des fonctions : a) \(f(x)=3-\sqrt{2-x}\) ; b) \(g(x)=\sqrt{x^2-1}\) ; c) \(h(x)=\dfrac{x}{x^2-x-6}\).
2. Étudier la parité de la fonction \(f\) dans chacun des cas : a) \(f(x)=x^3+2x|x|\) ; b) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) ; c) \(f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}\).
3. Soit \(h\) la fonction définie par \(h(x)=x+\dfrac{1}{x}\).
a) Calculer les images des nombres \(1\) ; \(\sqrt{2}\) ; \(2\) ; \(-\sqrt{2}\).
b) Montrer que \(2\) est une valeur minimale de \(h\) sur l’intervalle \(I=]0;+\infty[\).
2. Étudier la parité de la fonction \(f\) dans chacun des cas : a) \(f(x)=x^3+2x|x|\) ; b) \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) ; c) \(f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}\).
3. Soit \(h\) la fonction définie par \(h(x)=x+\dfrac{1}{x}\).
a) Calculer les images des nombres \(1\) ; \(\sqrt{2}\) ; \(2\) ; \(-\sqrt{2}\).
b) Montrer que \(2\) est une valeur minimale de \(h\) sur l’intervalle \(I=]0;+\infty[\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(2-x\geq0\) :
[] \(D_f=]-\infty;2]\) ; b) \(x^2\geq1\) :
[] \(D_g=]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\)
c) \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\neq0\) :
[] \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-2;3\}\)
💡 Vérifier que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis comparer \(f(-x)\) avec \(f(x)\) et \(-f(x)\).
2. a) \(f(-x)=-x^3-2x|x|=-f(x)\) :
[] impaire ; b) \(f(-x)=f(x)\) :
[] paire ; c) \(D=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\) symétrique et \(f(-x)=-f(x)\) :
[] impaire
3. a)
[] \(h(1)=2\) ; \(h\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) ; \(h(2)=\dfrac{5}{2}\) ; \(h\left(-\sqrt{2}\right)=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
b) Pour \(x>0\) : \(h(x)-2=\dfrac{x^2-2x+1}{x}=\dfrac{(x-1)^2}{x}\geq0\) et \(h(1)=2\) :
[] \(2\) est la valeur minimale de \(h\) sur \(I\)
[] \(D_f=]-\infty;2]\) ; b) \(x^2\geq1\) :
[] \(D_g=]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\)
c) \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\neq0\) :
[] \(D_h=\mathbb{R}\setminus\{-2;3\}\)
💡 Vérifier que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis comparer \(f(-x)\) avec \(f(x)\) et \(-f(x)\).
2. a) \(f(-x)=-x^3-2x|x|=-f(x)\) :
[] impaire ; b) \(f(-x)=f(x)\) :
[] paire ; c) \(D=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\) symétrique et \(f(-x)=-f(x)\) :
[] impaire
3. a)
[] \(h(1)=2\) ; \(h\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) ; \(h(2)=\dfrac{5}{2}\) ; \(h\left(-\sqrt{2}\right)=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
b) Pour \(x>0\) : \(h(x)-2=\dfrac{x^2-2x+1}{x}=\dfrac{(x-1)^2}{x}\geq0\) et \(h(1)=2\) :
[] \(2\) est la valeur minimale de \(h\) sur \(I\)
Exercice 2 (7.5 pts)
Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=x^2-3x+\dfrac{5}{4}\) et \((C_g)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Déterminer les points d’intersection de \((C_g)\) avec l’axe des abscisses.
2. Vérifier que pour tout réel \(x\) : \(g(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-1\).
3. Déterminer les variations de \(g\) sur les intervalles \(\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]\) et \(\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[\).
4. Tracer la courbe \((C_g)\).
5. Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\geq0\).
6. Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du paramètre \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(g(x)=m\).
1. Déterminer les points d’intersection de \((C_g)\) avec l’axe des abscisses.
2. Vérifier que pour tout réel \(x\) : \(g(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-1\).
3. Déterminer les variations de \(g\) sur les intervalles \(\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]\) et \(\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[\).
4. Tracer la courbe \((C_g)\).
5. Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\geq0\).
6. Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du paramètre \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(g(x)=m\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=9-5=4\) : \(x=\dfrac{3\pm2}{2}\) :
[] les points \(\left(\dfrac{1}{2};0\right)\) et \(\left(\dfrac{5}{2};0\right)\)
2. \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-1=x^2-3x+\dfrac{9}{4}-1=g(x)\) ✔.
3. Pour \(a\neq b\) : \(\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=a+b-3\) ; \(<0\) si \(a,b\leq\dfrac{3}{2}\) et \(>0\) si \(a,b\geq\dfrac{3}{2}\) :
[] \(g\) décroissante puis croissante
4. Parabole de sommet \(S\left(\dfrac{3}{2};-1\right)\) et d’axe \(x=\dfrac{3}{2}\) :
5. \((C_g)\) est au-dessus de l’axe des abscisses :
[] \(S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{2};+\infty\right[\)
6.
[] si \(m<-1\) : aucune solution ; si \(m=-1\) : une solution ; si \(m>-1\) : deux solutions
[] les points \(\left(\dfrac{1}{2};0\right)\) et \(\left(\dfrac{5}{2};0\right)\)
2. \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-1=x^2-3x+\dfrac{9}{4}-1=g(x)\) ✔.
3. Pour \(a\neq b\) : \(\dfrac{g(a)-g(b)}{a-b}=a+b-3\) ; \(<0\) si \(a,b\leq\dfrac{3}{2}\) et \(>0\) si \(a,b\geq\dfrac{3}{2}\) :
[] \(g\) décroissante puis croissante
4. Parabole de sommet \(S\left(\dfrac{3}{2};-1\right)\) et d’axe \(x=\dfrac{3}{2}\) :
5. \((C_g)\) est au-dessus de l’axe des abscisses :
[] \(S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{5}{2};+\infty\right[\)
6.
[] si \(m<-1\) : aucune solution ; si \(m=-1\) : une solution ; si \(m>-1\) : deux solutions
Exercice 3 (6.5 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et vérifier que pour tout \(x\) de \(D_f\) : \(f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}\).
2. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
3. Étudier les variations de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\) et dresser son tableau de variations.
4. Tracer la courbe \((C_f)\).
1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et vérifier que pour tout \(x\) de \(D_f\) : \(f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}\).
2. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
3. Étudier les variations de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\) et dresser son tableau de variations.
4. Tracer la courbe \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1.
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) ; \(2-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2x+2-3}{x+1}=f(x)\) ✔
2. \(f(x)=0\iff x=\dfrac{1}{2}\) et \(f(0)=-1\) :
[] \(\left(\dfrac{1}{2};0\right)\) et \((0;-1)\)
3. \(\begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}=2+1=3>0\) :
[] \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
4. Hyperbole de centre \(\Omega(-1;2)\), d’asymptotes \(x=-1\) et \(y=2\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) ; \(2-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2x+2-3}{x+1}=f(x)\) ✔
2. \(f(x)=0\iff x=\dfrac{1}{2}\) et \(f(0)=-1\) :
[] \(\left(\dfrac{1}{2};0\right)\) et \((0;-1)\)
3. \(\begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}=2+1=3>0\) :
[] \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
4. Hyperbole de centre \(\Omega(-1;2)\), d’asymptotes \(x=-1\) et \(y=2\) :