Exercice 1 (7 pts)
1. Résoudre dans \([0;2\pi]\) : a) \(2\sin x+1=0\) ; b) \(2\cos x+\sqrt{3}\geq0\).
2. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f(x)=\sqrt{x-x^2}\).
3. Étudier la parité de la fonction \(f(x)=\dfrac{x}{2+|x|}\).
4. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\). Étudier la monotonie de \(f\) sur \(\mathbb{R}^-\).
5. Soit \(ABC\) un triangle et \(K\) le milieu du segment \([BC]\). Construire l’image du triangle \(ABC\) par la translation \(t\) de vecteur \(\overrightarrow{AK}\).
2. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f(x)=\sqrt{x-x^2}\).
3. Étudier la parité de la fonction \(f(x)=\dfrac{x}{2+|x|}\).
4. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\). Étudier la monotonie de \(f\) sur \(\mathbb{R}^-\).
5. Soit \(ABC\) un triangle et \(K\) le milieu du segment \([BC]\). Construire l’image du triangle \(ABC\) par la translation \(t\) de vecteur \(\overrightarrow{AK}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{7\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\right\}\) ; b) \(\cos x\geq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :
[] \(S=\left[0;\dfrac{5\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{6};2\pi\right]\)
2. \(x-x^2=x(1-x)\geq0\) :
[] \(D_f=[0;1]\)
3. \(D_f=\mathbb{R}\) et \(f(-x)=\dfrac{-x}{2+|x|}=-f(x)\) :
[] \(f\) est impaire
4. Si \(a<b\leq0\) : \(a^2>b^2\), donc \(a^2+1>b^2+1\) et \(f(a)<f(b)\) :
[] \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^-\)
5. \(t(A)=K\) ; \(B’=t(B)\) et \(C’=t(C)\) sont tels que \(ABB’K\) et \(ACC’K\) soient des parallélogrammes :
[] l’image est le triangle \(KB’C’\)
[] \(S=\left\{\dfrac{7\pi}{6};\dfrac{11\pi}{6}\right\}\) ; b) \(\cos x\geq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :
[] \(S=\left[0;\dfrac{5\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{6};2\pi\right]\)
2. \(x-x^2=x(1-x)\geq0\) :
[] \(D_f=[0;1]\)
3. \(D_f=\mathbb{R}\) et \(f(-x)=\dfrac{-x}{2+|x|}=-f(x)\) :
[] \(f\) est impaire
4. Si \(a<b\leq0\) : \(a^2>b^2\), donc \(a^2+1>b^2+1\) et \(f(a)<f(b)\) :
[] \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^-\)
5. \(t(A)=K\) ; \(B’=t(B)\) et \(C’=t(C)\) sont tels que \(ABB’K\) et \(ACC’K\) soient des parallélogrammes :
[] l’image est le triangle \(KB’C’\)
Exercice 2 (6.25 pts)
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par \(f(x)=-x^2-2x\) et \(g(x)=\dfrac{x}{x+1}\), et \((C_f)\), \((C_g)\) leurs courbes dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Calculer \(f(-1)\), \(f(0)\) et \(g(0)\).
2. a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)=-(x+1)^2+1\), puis en déduire la nature de \((C_f)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
b) En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) : \(g(x)=1-\dfrac{1}{x+1}\), puis en déduire la nature de \((C_g)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
b) En déduire le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
4. Tracer \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère.
5. Résoudre graphiquement l’inéquation : \(f(x)>g(x)\).
1. Calculer \(f(-1)\), \(f(0)\) et \(g(0)\).
2. a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)=-(x+1)^2+1\), puis en déduire la nature de \((C_f)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
b) En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. a) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) : \(g(x)=1-\dfrac{1}{x+1}\), puis en déduire la nature de \((C_g)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
b) En déduire le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
4. Tracer \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère.
5. Résoudre graphiquement l’inéquation : \(f(x)>g(x)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1.
[] \(f(-1)=1\) ; \(f(0)=0\) ; \(g(0)=0\)
2. a) \(-(x+1)^2+1=-x^2-2x\) ✔ :
[] parabole de sommet \(S(-1;1)\), d’axe \(x=-1\), tournée vers le bas
3. a) \(1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}\) ✔ :
[] hyperbole de centre \(\Omega(-1;1)\) et d’asymptotes \(x=-1\), \(y=1\)
b) \(x\mapsto-\dfrac{1}{x+1}\) est croissante sur chaque intervalle :
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
5. Vérification par le calcul :
\(f(x)-g(x)=-x(x+2)-\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{-x\left(x^2+3x+3\right)}{x+1}\)
\(x^2+3x+3>0\) (\(\Delta=-3\)) : le signe est celui de \(\dfrac{-x}{x+1}\) :
[] \(S=]-1;0[\)
[] \(f(-1)=1\) ; \(f(0)=0\) ; \(g(0)=0\)
2. a) \(-(x+1)^2+1=-x^2-2x\) ✔ :
[] parabole de sommet \(S(-1;1)\), d’axe \(x=-1\), tournée vers le bas
3. a) \(1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}\) ✔ :
[] hyperbole de centre \(\Omega(-1;1)\) et d’asymptotes \(x=-1\), \(y=1\)
b) \(x\mapsto-\dfrac{1}{x+1}\) est croissante sur chaque intervalle :
[] \(g\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
5. Vérification par le calcul :
\(f(x)-g(x)=-x(x+2)-\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{-x\left(x^2+3x+3\right)}{x+1}\)
\(x^2+3x+3>0\) (\(\Delta=-3\)) : le signe est celui de \(\dfrac{-x}{x+1}\) :
[] \(S=]-1;0[\)
Exercice 3 (3 pts)
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=1\), \(AC=3\) et \(\widehat{A}=\dfrac{2\pi}{3}\), et soit \(E\) le milieu du segment \([AB]\).
1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2. En utilisant le théorème d’Al Kashi, montrer que \(BC=\sqrt{13}\).
3. En utilisant le théorème de la médiane, calculer \(CE\).
1. Calculer le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2. En utilisant le théorème d’Al Kashi, montrer que \(BC=\sqrt{13}\).
3. En utilisant le théorème de la médiane, calculer \(CE\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times3\times\cos\dfrac{2\pi}{3}\) :
[] \(-\dfrac{3}{2}\)
2. \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1+9+3=13\) :
[] \(BC=\sqrt{13}\)
3. \(E\) milieu de \([AB]\) :
\(CA^2+CB^2=2CE^2+\dfrac{AB^2}{2}\iff9+13=2CE^2+\dfrac{1}{2}\)
[] \(CE^2=\dfrac{43}{4}\), \(CE=\dfrac{\sqrt{43}}{2}\)
[] \(-\dfrac{3}{2}\)
2. \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1+9+3=13\) :
[] \(BC=\sqrt{13}\)
3. \(E\) milieu de \([AB]\) :
\(CA^2+CB^2=2CE^2+\dfrac{AB^2}{2}\iff9+13=2CE^2+\dfrac{1}{2}\)
[] \(CE^2=\dfrac{43}{4}\), \(CE=\dfrac{\sqrt{43}}{2}\)
Exercice 4 (3.75 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(E\) le point tel que \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(F\) le point tel que \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). On considère l’homothétie \(h\) qui transforme \(A\) en \(E\) et \(B\) en \(F\).
1. Construire les points \(E\) et \(F\).
2. Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie \(h\).
3. La droite passant par \(F\) et parallèle à \((BE)\) coupe \((AC)\) en \(K\).
a) Déterminer l’image de la droite \((BE)\) par \(h\).
b) Montrer que \(h(E)=K\).
1. Construire les points \(E\) et \(F\).
2. Déterminer le rapport et le centre de l’homothétie \(h\).
3. La droite passant par \(F\) et parallèle à \((BE)\) coupe \((AC)\) en \(K\).
a) Déterminer l’image de la droite \((BE)\) par \(h\).
b) Montrer que \(h(E)=K\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
2. \(\overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}\), donc \(\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) : le rapport est \(\dfrac{1}{3}\) et \((AE)\), \((BF)\) se coupent en \(C\).
[] \(h\) est l’homothétie de centre \(C\) et de rapport \(\dfrac{1}{3}\)
3. a) L’image d’une droite est une droite parallèle passant par l’image d’un de ses points : \(h(B)=F\), donc
[] \(h((BE))\) est la parallèle à \((BE)\) passant par \(F\), c’est-à-dire \((FK)\)
b) \(E\in(BE)\) donc \(h(E)\in(FK)\) ; \(E\in(AC)\) qui passe par le centre \(C\), donc \(h(E)\in(AC)\) :
[] \(h(E)=(FK)\cap(AC)=K\)