Exercice 1 (8 pts)
1. Calculer \(\cos x\) et \(\tan x\) sachant que \(\sin x=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) et \(x\in\left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right[\).
2. Calculer : \(A=\cos\dfrac{\pi}{13}+\cos\dfrac{5\pi}{13}+\cos\dfrac{8\pi}{13}+\cos\dfrac{12\pi}{13}\).
3. Soit \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(\cos x+\sin x=\dfrac{4}{5}\). Calculer \(\cos x\sin x\), puis en déduire \(\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin x}\).
4. Déterminer deux réels dont la somme est \(3\sqrt{3}\) et le produit \(6\).
5. Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases}x-y+1>0\\x+2y-5<0\end{cases}\)
6. Un élève a obtenu une moyenne de \(11{,}4\) sur cinq devoirs ; après le sixième devoir sa moyenne est devenue \(12\). Quelle note a-t-il obtenue dans ce devoir ?
2. Calculer : \(A=\cos\dfrac{\pi}{13}+\cos\dfrac{5\pi}{13}+\cos\dfrac{8\pi}{13}+\cos\dfrac{12\pi}{13}\).
3. Soit \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(\cos x+\sin x=\dfrac{4}{5}\). Calculer \(\cos x\sin x\), puis en déduire \(\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin x}\).
4. Déterminer deux réels dont la somme est \(3\sqrt{3}\) et le produit \(6\).
5. Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases}x-y+1>0\\x+2y-5<0\end{cases}\)
6. Un élève a obtenu une moyenne de \(11{,}4\) sur cinq devoirs ; après le sixième devoir sa moyenne est devenue \(12\). Quelle note a-t-il obtenue dans ce devoir ?
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\cos^2x=1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}\) et \(\cos x<0\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{2}{3}\) et \(\tan x=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
2. \(\cos\dfrac{12\pi}{13}=-\cos\dfrac{\pi}{13}\) et \(\cos\dfrac{8\pi}{13}=-\cos\dfrac{5\pi}{13}\) :
[] \(A=0\)
3. \((\cos x+\sin x)^2=1+2\cos x\sin x=\dfrac{16}{25}\) : \(\cos x\sin x=-\dfrac{9}{50}\) ;
[] \(\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=-\dfrac{40}{9}\)
4. \(X^2-3\sqrt{3}X+6=0\) : \(\Delta=27-24=3\), \(X=\dfrac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{2}\) :
[] les nombres \(\sqrt{3}\) et \(2\sqrt{3}\)
5. \(O(0;0)\) vérifie les deux inéquations (\(1>0\) et \(-5<0\)) :
[] les solutions sont les points de la région ouverte contenant \(O\), sous \(y=x+1\) et sous \(y=\dfrac{5-x}{2}\)
6. Total des cinq notes \(5\times11{,}4=57\) ; total des six notes \(6\times12=72\) :
[] la note est \(72-57=15\)
[] \(\cos x=-\dfrac{2}{3}\) et \(\tan x=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
2. \(\cos\dfrac{12\pi}{13}=-\cos\dfrac{\pi}{13}\) et \(\cos\dfrac{8\pi}{13}=-\cos\dfrac{5\pi}{13}\) :
[] \(A=0\)
3. \((\cos x+\sin x)^2=1+2\cos x\sin x=\dfrac{16}{25}\) : \(\cos x\sin x=-\dfrac{9}{50}\) ;
[] \(\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}=-\dfrac{40}{9}\)
4. \(X^2-3\sqrt{3}X+6=0\) : \(\Delta=27-24=3\), \(X=\dfrac{3\sqrt{3}\pm\sqrt{3}}{2}\) :
[] les nombres \(\sqrt{3}\) et \(2\sqrt{3}\)
5. \(O(0;0)\) vérifie les deux inéquations (\(1>0\) et \(-5<0\)) :
[] les solutions sont les points de la région ouverte contenant \(O\), sous \(y=x+1\) et sous \(y=\dfrac{5-x}{2}\)
6. Total des cinq notes \(5\times11{,}4=57\) ; total des six notes \(6\times12=72\) :
[] la note est \(72-57=15\)
Exercice 2 (5 pts)
Le tableau suivant donne le nombre de ventes d’un produit par jour dans un magasin pendant \(50\) jours :
| Nombre de ventes \(x_i\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| Nombre de jours \(n_i\) | \(2\) | \(10\) | \(18\) | \(11\) | \(5\) | \(4\) |
1. Donner le tableau des effectifs cumulés et des pourcentages.
2. Déterminer le mode et calculer la médiane et la moyenne arithmétique.
3. Calculer l’écart moyen, la variance et l’écart-type.
| Nombre de ventes \(x_i\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| Nombre de jours \(n_i\) | \(2\) | \(10\) | \(18\) | \(11\) | \(5\) | \(4\) |
1. Donner le tableau des effectifs cumulés et des pourcentages.
2. Déterminer le mode et calculer la médiane et la moyenne arithmétique.
3. Calculer l’écart moyen, la variance et l’écart-type.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Effectifs cumulés : \(2\) ; \(12\) ; \(30\) ; \(41\) ; \(46\) ; \(50\) — pourcentages : \(4\) ; \(20\) ; \(36\) ; \(22\) ; \(10\) ; \(8\) (\(\%\)).
2.
[] mode \(2\) ; les \(25\)-ième et \(26\)-ième valeurs valent \(2\) :
[] \(M=2\)
\(\overline{x}=\dfrac{0+10+36+33+20+20}{50}=\dfrac{119}{50}=2{,}38\)
3.
\(e=\dfrac{2\times2{,}38+10\times1{,}38+18\times0{,}38+11\times0{,}62+5\times1{,}62+4\times2{,}62}{50}=\dfrac{50{,}8}{50}=1{,}016\)
\(\sum n_ix_i^2=0+10+72+99+80+100=361\) : \(V=\dfrac{361}{50}-2{,}38^2=7{,}22-5{,}6644\) :
[] \(V=1{,}5556\) et \(\sigma\approx1{,}25\)
2.
[] mode \(2\) ; les \(25\)-ième et \(26\)-ième valeurs valent \(2\) :
[] \(M=2\)
\(\overline{x}=\dfrac{0+10+36+33+20+20}{50}=\dfrac{119}{50}=2{,}38\)
3.
\(e=\dfrac{2\times2{,}38+10\times1{,}38+18\times0{,}38+11\times0{,}62+5\times1{,}62+4\times2{,}62}{50}=\dfrac{50{,}8}{50}=1{,}016\)
\(\sum n_ix_i^2=0+10+72+99+80+100=361\) : \(V=\dfrac{361}{50}-2{,}38^2=7{,}22-5{,}6644\) :
[] \(V=1{,}5556\) et \(\sigma\approx1{,}25\)
Exercice 3 (4 pts)
Soit \(x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\). On considère : \(E=\cos^2x+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\sin x+2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\sin x\).
1. Montrer que \(E=1+2\sin x\cos x\).
2. Calculer \(E\) pour \(x=\dfrac{\pi}{4}\).
3. Montrer que pour tout \(x\) de \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\) : \(E=1+\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}\).
1. Montrer que \(E=1+2\sin x\cos x\).
2. Calculer \(E\) pour \(x=\dfrac{\pi}{4}\).
3. Montrer que pour tout \(x\) de \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\) : \(E=1+\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) et \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\) : \(E=\cos^2x+\sin^2x+2\sin x\cos x\) :
[] \(E=1+2\sin x\cos x\)
2.
[] \(E=1+2\times\dfrac{1}{2}=2\) ; 3. \(2\sin x\cos x=2\tan x\cos^2x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}\) ✔.
[] \(E=1+2\sin x\cos x\)
2.
[] \(E=1+2\times\dfrac{1}{2}=2\) ; 3. \(2\sin x\cos x=2\tan x\cos^2x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}\) ✔.
Exercice 4 (3 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(0<x<\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{\pi}{2}<y<\pi\) et \(x+y=\pi\). On pose \(\tan x\cdot\tan y=2\sqrt{2}-3\).
1. Montrer que \(\tan x=\sqrt{2}-1\).
2. Calculer \(\cos x\), puis en déduire que \(\cos y=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\).
1. Montrer que \(\tan x=\sqrt{2}-1\).
2. Calculer \(\cos x\), puis en déduire que \(\cos y=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(\tan y=\tan(\pi-x)=-\tan x\), donc \(-\tan^2x=2\sqrt{2}-3\) et \(\tan^2x=3-2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\) ; \(\tan x>0\) :
[] \(\tan x=\sqrt{2}-1\)
2.
\(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}=\dfrac{1}{4-2\sqrt{2}}=\dfrac{4+2\sqrt{2}}{8}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\)
[] \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\) et \(\cos y=\cos(\pi-x)=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)
[] \(\tan x=\sqrt{2}-1\)
2.
\(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}=\dfrac{1}{4-2\sqrt{2}}=\dfrac{4+2\sqrt{2}}{8}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\)
[] \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\) et \(\cos y=\cos(\pi-x)=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\)