Exercice 1 (6 pts)
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\) dans chacun des cas :
a) \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+2x}\) ; b) \(f(x)=\dfrac{3}{x^2-2}\) ; c) \(f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+4}\) ; d) \(f(x)=\sqrt{x+2}-\dfrac{3}{x}\).
a) \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2+2x}\) ; b) \(f(x)=\dfrac{3}{x^2-2}\) ; c) \(f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+4}\) ; d) \(f(x)=\sqrt{x+2}-\dfrac{3}{x}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
a) \(x(x+2)\neq0\) :
[] \(\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}\) ; b) \(x^2\neq2\) :
[] \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}\)
c) \(x^2+4>0\) :
[] \(\mathbb{R}\) ; d) \(x\geq-2\) et \(x\neq0\) :
[] \([-2;0[\cup]0;+\infty[\)
[] \(\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}\) ; b) \(x^2\neq2\) :
[] \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}\)
c) \(x^2+4>0\) :
[] \(\mathbb{R}\) ; d) \(x\geq-2\) et \(x\neq0\) :
[] \([-2;0[\cup]0;+\infty[\)
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(g\) une fonction numérique impaire telle que \(g(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}\) pour tout \(x\) de \(]-\infty;0[\).
Calculer \(g(3)\), puis déterminer \(g(x)\) en fonction de \(x\) pour tout \(x\) de \(]0;+\infty[\).
Calculer \(g(3)\), puis déterminer \(g(x)\) en fonction de \(x\) pour tout \(x\) de \(]0;+\infty[\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 \(g\) impaire : \(g(x)=-g(-x)\), et si \(x>0\) alors \(-x<0\).
\(g(3)=-g(-3)=-\dfrac{-6+3}{-3-1}=-\dfrac{3}{4}\) :
[] \(g(3)=-\dfrac{3}{4}\)
Pour \(x>0\) :
\(g(x)=-g(-x)=-\dfrac{-2x+3}{-x-1}=-\dfrac{2x-3}{x+1}\)
[] \(g(x)=\dfrac{3-2x}{x+1}\) sur \(]0;+\infty[\)
\(g(3)=-g(-3)=-\dfrac{-6+3}{-3-1}=-\dfrac{3}{4}\) :
[] \(g(3)=-\dfrac{3}{4}\)
Pour \(x>0\) :
\(g(x)=-g(-x)=-\dfrac{-2x+3}{-x-1}=-\dfrac{2x-3}{x+1}\)
[] \(g(x)=\dfrac{3-2x}{x+1}\) sur \(]0;+\infty[\)
Exercice 3 (9 pts)
On considère la fonction \(h\) définie par \(h(x)=3x^2-4x-4\).
1. Déterminer les points d’intersection de la courbe \((C_h)\) avec l’axe des abscisses.
2. a) Montrer que pour tous réels \(x\neq y\) : \(\dfrac{h(x)-h(y)}{x-y}=3(x+y)-4\).
b) Étudier la monotonie de \(h\) sur l’intervalle \(\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right]\).
3. Étudier la position relative de la courbe \((C_h)\) et de la droite \((D)\) : \(y=2x-4\).
1. Déterminer les points d’intersection de la courbe \((C_h)\) avec l’axe des abscisses.
2. a) Montrer que pour tous réels \(x\neq y\) : \(\dfrac{h(x)-h(y)}{x-y}=3(x+y)-4\).
b) Étudier la monotonie de \(h\) sur l’intervalle \(\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right]\).
3. Étudier la position relative de la courbe \((C_h)\) et de la droite \((D)\) : \(y=2x-4\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\Delta=16+48=64\) : \(x=\dfrac{4\pm8}{6}\) :
[] \(\left(-\dfrac{2}{3};0\right)\) et \((2;0)\)
2. a)
\(\dfrac{3\left(x^2-y^2\right)-4(x-y)}{x-y}=3(x+y)-4\)
b) Si \(x,y\leq\dfrac{2}{3}\) : \(x+y<\dfrac{4}{3}\), donc \(3(x+y)-4<0\) :
[] \(h\) est strictement décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right]\)
3.
\(h(x)-(2x-4)=3x^2-6x=3x(x-2)\)
[] \((C_h)\) est au-dessus de \((D)\) sur \(]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\), au-dessous sur \(]0;2[\) ; ils se coupent en \((0;-4)\) et \((2;0)\)
[] \(\left(-\dfrac{2}{3};0\right)\) et \((2;0)\)
2. a)
\(\dfrac{3\left(x^2-y^2\right)-4(x-y)}{x-y}=3(x+y)-4\)
b) Si \(x,y\leq\dfrac{2}{3}\) : \(x+y<\dfrac{4}{3}\), donc \(3(x+y)-4<0\) :
[] \(h\) est strictement décroissante sur \(\left]-\infty;\dfrac{2}{3}\right]\)
3.
\(h(x)-(2x-4)=3x^2-6x=3x(x-2)\)
[] \((C_h)\) est au-dessus de \((D)\) sur \(]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\), au-dessous sur \(]0;2[\) ; ils se coupent en \((0;-4)\) et \((2;0)\)