Exercice 1 (5.5 pts)
1. Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x-2}}\) et \(g(x)=\sqrt{x^2-x-2}\).
2. Résoudre dans \(]-\pi;2\pi]\) l’équation : \(\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=0\).
3. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation : \(2\cos x-1\geq0\).
4. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) l’équation : \(\tan x-1=0\).
2. Résoudre dans \(]-\pi;2\pi]\) l’équation : \(\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=0\).
3. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation : \(2\cos x-1\geq0\).
4. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) l’équation : \(\tan x-1=0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(x-2>0\) :
[] \(D_f=]2;+\infty[\) ; \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\geq0\) :
[] \(D_g=]-\infty;-1]\cup[2;+\infty[\)
2. \(x-\dfrac{\pi}{6}=k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{7\pi}{6}\right\}\)
3. \(\cos x\geq\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3};2\pi\right]\)
4. \(\tan x=\tan\dfrac{\pi}{4}\iff x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right\}\)
[] \(D_f=]2;+\infty[\) ; \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\geq0\) :
[] \(D_g=]-\infty;-1]\cup[2;+\infty[\)
2. \(x-\dfrac{\pi}{6}=k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{7\pi}{6}\right\}\)
3. \(\cos x\geq\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\left[0;\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3};2\pi\right]\)
4. \(\tan x=\tan\dfrac{\pi}{4}\iff x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right\}\)
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=x+\dfrac{4}{x}\).
1. Montrer que \(f\) est impaire.
2. Montrer que pour tous \(a\neq b\) de \(\mathbb{R}^*\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=1-\dfrac{4}{ab}\).
3. En déduire les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \(]0;2]\) et \([2;+\infty[\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^*\).
5. Montrer que pour tout \(x\) de \([1;2]\) : \(4\leq f(x)\leq5\).
1. Montrer que \(f\) est impaire.
2. Montrer que pour tous \(a\neq b\) de \(\mathbb{R}^*\) : \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=1-\dfrac{4}{ab}\).
3. En déduire les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \(]0;2]\) et \([2;+\infty[\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^*\).
5. Montrer que pour tout \(x\) de \([1;2]\) : \(4\leq f(x)\leq5\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\mathbb{R}^*\) est symétrique et \(f(-x)=-x-\dfrac{4}{x}=-f(x)\) :
[] \(f\) est impaire
2.
\(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{(a-b)+4\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)}{a-b}=1+\dfrac{4}{a-b}\times\dfrac{b-a}{ab}=1-\dfrac{4}{ab}\)
3. Sur \(]0;2]\) : \(0<ab<4\), \(\dfrac{4}{ab}>1\), taux négatif :
[] \(f\) décroissante ; sur \([2;+\infty[\) : \(ab>4\), taux positif :
[] \(f\) croissante
4. \(f\) impaire : mêmes variations sur les intervalles symétriques ; \(f(2)=4\) et \(f(-2)=-4\) :
5. \(f\) est décroissante sur \([1;2]\) : \(f(2)\leq f(x)\leq f(1)\) :
[] \(4\leq f(x)\leq5\)
[] \(f\) est impaire
2.
\(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{(a-b)+4\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)}{a-b}=1+\dfrac{4}{a-b}\times\dfrac{b-a}{ab}=1-\dfrac{4}{ab}\)
3. Sur \(]0;2]\) : \(0<ab<4\), \(\dfrac{4}{ab}>1\), taux négatif :
[] \(f\) décroissante ; sur \([2;+\infty[\) : \(ab>4\), taux positif :
[] \(f\) croissante
4. \(f\) impaire : mêmes variations sur les intervalles symétriques ; \(f(2)=4\) et \(f(-2)=-4\) :
5. \(f\) est décroissante sur \([1;2]\) : \(f(2)\leq f(x)\leq f(1)\) :
[] \(4\leq f(x)\leq5\)
Exercice 3 (7.5 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-6x+5\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Déterminer la nature de \((C_f)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
4. Tracer la courbe \((C_f)\).
5. a) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\geq0\).
b) Déterminer, suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=m\).
6. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=|f(x)|\).
a) Tracer la courbe \((C_g)\) dans le même repère.
b) Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Déterminer la nature de \((C_f)\) en précisant ses éléments caractéristiques.
2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
4. Tracer la courbe \((C_f)\).
5. a) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\geq0\).
b) Déterminer, suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=m\).
6. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=|f(x)|\).
a) Tracer la courbe \((C_g)\) dans le même repère.
b) Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(f(x)=(x-3)^2-4\) :
[] parabole de sommet \(S(3;-4)\) et d’axe \(x=3\), tournée vers le haut
3. \(f(x)=(x-1)(x-5)\) et \(f(0)=5\) :
[] \((1;0)\), \((5;0)\) et \((0;5)\)
5. a)
[] \(S=]-\infty;1]\cup[5;+\infty[\) ; b)
[] \(m<-4\) : aucune ; \(m=-4\) : une ; \(m>-4\) : deux solutions
6. a) \((C_g)\) coïncide avec \((C_f)\) hors de \([1;5]\) ; sur \([1;5]\) c’est le symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses (pointillés).
[] parabole de sommet \(S(3;-4)\) et d’axe \(x=3\), tournée vers le haut
3. \(f(x)=(x-1)(x-5)\) et \(f(0)=5\) :
[] \((1;0)\), \((5;0)\) et \((0;5)\)
5. a)
[] \(S=]-\infty;1]\cup[5;+\infty[\) ; b)
[] \(m<-4\) : aucune ; \(m=-4\) : une ; \(m>-4\) : deux solutions
6. a) \((C_g)\) coïncide avec \((C_f)\) hors de \([1;5]\) ; sur \([1;5]\) c’est le symétrique de \((C_f)\) par rapport à l’axe des abscisses (pointillés).
Exercice 4 (2 pts)
Soit \(x\) un réel de l’intervalle \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\) tel que \(\cos x\sin x=\dfrac{1}{2}\).
1. Montrer que \(\cos x=\sin x\).
2. En déduire la valeur de \(x\) en justifiant.
1. Montrer que \(\cos x=\sin x\).
2. En déduire la valeur de \(x\) en justifiant.
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \((\cos x-\sin x)^2=1-2\sin x\cos x=1-1=0\) :
[] \(\cos x=\sin x\)
2. Sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\cos x=\sin x\iff\tan x=1\) :
[] \(x=\dfrac{\pi}{4}\)
[] \(\cos x=\sin x\)
2. Sur \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\cos x=\sin x\iff\tan x=1\) :
[] \(x=\dfrac{\pi}{4}\)