Exercice 1 (5.5 pts)
1. On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^2-4x+7\). Montrer que \(3\) est la valeur minimale de \(f\).
2. Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=8\), \(AC=3\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(BC\).
3. Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). On pose \(AB=4\) et \(AH=2\sqrt{3}\). Calculer les distances \(BH\), \(BC\) et \(AC\).
4. Soient \(A\), \(B\) et \(M\) trois points tels que \(M\in[AB]\), et \(A’\), \(B’\), \(M’\) leurs images respectives par une homothétie de rapport \(k=-\dfrac{2}{5}\). Montrer que \(A’M’+M’B’=A’B’\).
2. Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=8\), \(AC=3\) et \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(BC\).
3. Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\). On pose \(AB=4\) et \(AH=2\sqrt{3}\). Calculer les distances \(BH\), \(BC\) et \(AC\).
4. Soient \(A\), \(B\) et \(M\) trois points tels que \(M\in[AB]\), et \(A’\), \(B’\), \(M’\) leurs images respectives par une homothétie de rapport \(k=-\dfrac{2}{5}\). Montrer que \(A’M’+M’B’=A’B’\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(f(x)=(x-2)^2+3\geq3=f(2)\) :
[] \(3\) est la valeur minimale de \(f\) (atteinte en \(2\))
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\times3\times\dfrac{1}{2}=12\) ; \(BC^2=64+9-2\times12=49\) :
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12\) et \(BC=7\)
3. Pythagore dans \(ABH\) : \(BH^2=16-12=4\), \(BH=2\) ; relation \(AB^2=BH\times BC\) : \(BC=8\) ; \(AC^2=64-16=48\) :
[] \(BH=2\), \(BC=8\), \(AC=4\sqrt{3}\)
4. L’homothétie multiplie les distances par \(|k|=\dfrac{2}{5}\) : \(A’M’+M’B’=\dfrac{2}{5}(AM+MB)=\dfrac{2}{5}AB=A’B’\) ✔ (car \(M\in[AB]\)).
[] \(3\) est la valeur minimale de \(f\) (atteinte en \(2\))
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8\times3\times\dfrac{1}{2}=12\) ; \(BC^2=64+9-2\times12=49\) :
[] \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12\) et \(BC=7\)
3. Pythagore dans \(ABH\) : \(BH^2=16-12=4\), \(BH=2\) ; relation \(AB^2=BH\times BC\) : \(BC=8\) ; \(AC^2=64-16=48\) :
[] \(BH=2\), \(BC=8\), \(AC=4\sqrt{3}\)
4. L’homothétie multiplie les distances par \(|k|=\dfrac{2}{5}\) : \(A’M’+M’B’=\dfrac{2}{5}(AM+MB)=\dfrac{2}{5}AB=A’B’\) ✔ (car \(M\in[AB]\)).
Exercice 2 (7 pts)
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x)=x^2-2x-3\) et \(g(x)=\dfrac{-2x-2}{x-1}\).
1. Montrer que \(f(x)=(x-1)^2-4\) et \(g(x)=\dfrac{-4}{x-1}-2\).
2. Déterminer la nature de chacune des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) en précisant leurs éléments caractéristiques.
3. Donner le tableau de variations de chacune des fonctions \(f\) et \(g\).
4. a) Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\).
b) Montrer que \((C_f)\) et \((C_g)\) coupent l’axe des abscisses au point d’abscisse \(-1\).
5. Tracer \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\leq g(x)\).
1. Montrer que \(f(x)=(x-1)^2-4\) et \(g(x)=\dfrac{-4}{x-1}-2\).
2. Déterminer la nature de chacune des courbes \((C_f)\) et \((C_g)\) en précisant leurs éléments caractéristiques.
3. Donner le tableau de variations de chacune des fonctions \(f\) et \(g\).
4. a) Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\).
b) Montrer que \((C_f)\) et \((C_g)\) coupent l’axe des abscisses au point d’abscisse \(-1\).
5. Tracer \((C_f)\) et \((C_g)\) dans le même repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
6. Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\leq g(x)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-1)^2-4=x^2-2x-3\) ✔ ; \(\dfrac{-4}{x-1}-2=\dfrac{-4-2x+2}{x-1}=\dfrac{-2x-2}{x-1}\) ✔.
2.
[] \((C_f)\) : parabole de sommet \(S(1;-4)\) et d’axe \(x=1\) ; \((C_g)\) : hyperbole de centre \(\Omega(1;-2)\) et d’asymptotes \(x=1\), \(y=-2\)
3. \(f\) : décroissante sur \(]-\infty;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\) ; \(g\) : \(\begin{vmatrix}-2&-2\\1&-1\end{vmatrix}=4>0\), croissante sur chaque intervalle.
4. a)
[] \(f(0)=-3\) et \(g(0)=2\) ; b) \(f(-1)=1+2-3=0\) et \(g(-1)=\dfrac{0}{-2}=0\) ✔.
6. Vérification :
\(f(x)-g(x)=(x+1)(x-3)+\dfrac{2(x+1)}{x-1}=\dfrac{(x+1)\left(x^2-4x+5\right)}{x-1}\)
\(x^2-4x+5>0\) : \(f(x)\leq g(x)\iff\dfrac{x+1}{x-1}\leq0\) :
[] \(S=[-1;1[\)
2.
[] \((C_f)\) : parabole de sommet \(S(1;-4)\) et d’axe \(x=1\) ; \((C_g)\) : hyperbole de centre \(\Omega(1;-2)\) et d’asymptotes \(x=1\), \(y=-2\)
3. \(f\) : décroissante sur \(]-\infty;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\) ; \(g\) : \(\begin{vmatrix}-2&-2\\1&-1\end{vmatrix}=4>0\), croissante sur chaque intervalle.
4. a)
[] \(f(0)=-3\) et \(g(0)=2\) ; b) \(f(-1)=1+2-3=0\) et \(g(-1)=\dfrac{0}{-2}=0\) ✔.
6. Vérification :
\(f(x)-g(x)=(x+1)(x-3)+\dfrac{2(x+1)}{x-1}=\dfrac{(x+1)\left(x^2-4x+5\right)}{x-1}\)
\(x^2-4x+5>0\) : \(f(x)\leq g(x)\iff\dfrac{x+1}{x-1}\leq0\) :
[] \(S=[-1;1[\)
Exercice 3 (3.5 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(E\) le point tel que \(\overrightarrow{EB}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{DB}\). Soit \(h\) l’homothétie de centre \(E\) qui transforme \(B\) en \(D\).
1. Montrer que le rapport de \(h\) est \(-3\).
2. La droite \((AE)\) coupe la droite \((CD)\) au point \(G\).
a) Déterminer l’image de la droite \((AB)\) par \(h\).
b) En déduire que \(h(A)=G\).
3. Soit \(F\) le point tel que \(h(F)=A\). Montrer que \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}\).
1. Montrer que le rapport de \(h\) est \(-3\).
2. La droite \((AE)\) coupe la droite \((CD)\) au point \(G\).
a) Déterminer l’image de la droite \((AB)\) par \(h\).
b) En déduire que \(h(A)=G\).
3. Soit \(F\) le point tel que \(h(F)=A\). Montrer que \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DB}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{DB}=-3\overrightarrow{EB}\) :
[] \(k=-3\)
2. a) \(h((AB))\) est la parallèle à \((AB)\) passant par \(h(B)=D\) :
[] c’est la droite \((CD)\)
b) \(h(A)\in(CD)\) et \(h(A)\in(EA)\) (droite passant par le centre) :
[] \(h(A)=(EA)\cap(CD)=G\)
3. \(\overrightarrow{EA}=-3\overrightarrow{EF}\), donc \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AE}\) ; et \(\overrightarrow{EG}=-3\overrightarrow{EA}\), donc \(\overrightarrow{AG}=4\overrightarrow{AE}\) :
[] \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}\)
[] \(k=-3\)
2. a) \(h((AB))\) est la parallèle à \((AB)\) passant par \(h(B)=D\) :
[] c’est la droite \((CD)\)
b) \(h(A)\in(CD)\) et \(h(A)\in(EA)\) (droite passant par le centre) :
[] \(h(A)=(EA)\cap(CD)=G\)
3. \(\overrightarrow{EA}=-3\overrightarrow{EF}\), donc \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AE}\) ; et \(\overrightarrow{EG}=-3\overrightarrow{EA}\), donc \(\overrightarrow{AG}=4\overrightarrow{AE}\) :
[] \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AG}\)
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=8\), \(\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=24\).
1. Calculer \(AC\) puis montrer que \(BC=2\sqrt{13}\).
2. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\). Montrer que \(AH=4\) puis calculer \(BH\).
3. Soit \(I\) le milieu du segment \([AC]\). Montrer que \(IB=7\).
1. Calculer \(AC\) puis montrer que \(BC=2\sqrt{13}\).
2. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\). Montrer que \(AH=4\) puis calculer \(BH\).
3. Soit \(I\) le milieu du segment \([AC]\). Montrer que \(IB=7\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(8\times AC\times\dfrac{1}{2}=24\) :
[] \(AC=6\) ; \(BC^2=64+36-2\times24=52\) :
[] \(BC=2\sqrt{13}\)
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}=AH\times AC\) (angle aigu) : \(AH=\dfrac{24}{6}=4\) ; \(BH^2=64-16=48\) :
[] \(BH=4\sqrt{3}\)
3. Médiane : \(BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac{AC^2}{2}\iff64+52=2BI^2+18\iff BI^2=49\) :
[] \(IB=7\)
[] \(AC=6\) ; \(BC^2=64+36-2\times24=52\) :
[] \(BC=2\sqrt{13}\)
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}=AH\times AC\) (angle aigu) : \(AH=\dfrac{24}{6}=4\) ; \(BH^2=64-16=48\) :
[] \(BH=4\sqrt{3}\)
3. Médiane : \(BA^2+BC^2=2BI^2+\dfrac{AC^2}{2}\iff64+52=2BI^2+18\iff BI^2=49\) :
[] \(IB=7\)