Exercice 1 (4 pts)
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions :
\(f(x)=x^3-3x^2+1\) ; \(g(x)=\dfrac{x^2-3x}{|x|+2}\) ; \(h(x)=2\sqrt{x-1}\) ; \(k(x)=\dfrac{x^2+2}{x^2-2x+1}\).
\(f(x)=x^3-3x^2+1\) ; \(g(x)=\dfrac{x^2-3x}{|x|+2}\) ; \(h(x)=2\sqrt{x-1}\) ; \(k(x)=\dfrac{x^2+2}{x^2-2x+1}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
[] \(D_f=\mathbb{R}\) (polynôme) ; \(|x|+2\geq2>0\) :
[] \(D_g=\mathbb{R}\)
\(x-1\geq0\) :
[] \(D_h=[1;+\infty[\) ; \(x^2-2x+1=(x-1)^2\neq0\) :
[] \(D_k=\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
[] \(D_g=\mathbb{R}\)
\(x-1\geq0\) :
[] \(D_h=[1;+\infty[\) ; \(x^2-2x+1=(x-1)^2\neq0\) :
[] \(D_k=\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
Exercice 2 (3 pts)
Étudier la parité des fonctions : \(f(x)=3x^2+|x|\) ; \(g(x)=|x+3|-|x-3|\) ; \(h(x)=x+\dfrac{1}{x}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
\(D_f=\mathbb{R}\), \(f(-x)=3x^2+|x|=f(x)\) :
[] \(f\) paire
\(D_g=\mathbb{R}\), \(g(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-g(x)\) :
[] \(g\) impaire
\(D_h=\mathbb{R}^*\) symétrique, \(h(-x)=-h(x)\) :
[] \(h\) impaire
[] \(f\) paire
\(D_g=\mathbb{R}\), \(g(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-g(x)\) :
[] \(g\) impaire
\(D_h=\mathbb{R}^*\) symétrique, \(h(-x)=-h(x)\) :
[] \(h\) impaire
Exercice 3 (2.5 pts)
On considère la fonction \(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\).
1. Déterminer \(D_f\).
2. Déterminer les variations de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\).
1. Déterminer \(D_f\).
2. Déterminer les variations de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1.
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
2. Pour \(a\neq b\) dans le même intervalle :
\(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}>0\)
[] \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\)
2. Pour \(a\neq b\) dans le même intervalle :
\(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}>0\)
[] \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\)
Exercice 4 (6 pts)
1. \(f\) est la fonction définie par \(f(x)=x+\dfrac{1}{x}\).
a) Montrer que \(f(x)\leq-2\) pour tout \(x\) de \(]-\infty;0[\).
b) Montrer que \(-2\) est la valeur maximale de \(f\) sur \(]-\infty;0[\).
2. \(g\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x^2-4x+9\).
a) Montrer que \(g(x)=(x-2)^2+5\), puis en déduire que \(g(x)\geq5\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\).
b) Calculer \(g(2)\), puis en déduire que \(g\) admet une valeur minimale sur \(\mathbb{R}\).
a) Montrer que \(f(x)\leq-2\) pour tout \(x\) de \(]-\infty;0[\).
b) Montrer que \(-2\) est la valeur maximale de \(f\) sur \(]-\infty;0[\).
2. \(g\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x^2-4x+9\).
a) Montrer que \(g(x)=(x-2)^2+5\), puis en déduire que \(g(x)\geq5\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\).
b) Calculer \(g(2)\), puis en déduire que \(g\) admet une valeur minimale sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. a) \(x<0\) : \(f(x)+2=\dfrac{x^2+2x+1}{x}=\dfrac{(x+1)^2}{x}\leq0\) ✔ ; b) \(f(-1)=-2\) :
[] \(-2\) est la valeur maximale de \(f\) sur \(]-\infty;0[\)
2. a) \((x-2)^2+5=x^2-4x+9\) ✔ et \((x-2)^2\geq0\) ; b) \(g(2)=5\) :
[] \(5\) est la valeur minimale de \(g\) sur \(\mathbb{R}\)
[] \(-2\) est la valeur maximale de \(f\) sur \(]-\infty;0[\)
2. a) \((x-2)^2+5=x^2-4x+9\) ✔ et \((x-2)^2\geq0\) ; b) \(g(2)=5\) :
[] \(5\) est la valeur minimale de \(g\) sur \(\mathbb{R}\)
Exercice 5 (4.5 pts)
On considère la fonction numérique \(f(x)=2x^2\).
1. Déterminer \(D_f\).
2. Montrer que la fonction \(f\) est paire.
3. Déterminer les variations de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;0]\) et \([0;+\infty[\).
4. En déduire le tableau de variations de \(f\).
5. Construire \((C_f)\) dans un repère orthonormé.
1. Déterminer \(D_f\).
2. Montrer que la fonction \(f\) est paire.
3. Déterminer les variations de \(f\) sur les intervalles \(]-\infty;0]\) et \([0;+\infty[\).
4. En déduire le tableau de variations de \(f\).
5. Construire \((C_f)\) dans un repère orthonormé.
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
1.
[] \(D_f=\mathbb{R}\) ; 2. \(f(-x)=2x^2=f(x)\) :
[] \(f\) paire
3. Si \(0\leq a<b\) : \(a^2<b^2\) donc \(f(a)<f(b)\) : \(f\) croissante sur \([0;+\infty[\) ; par parité, \(f\) décroissante sur \(]-\infty;0]\).
[] \(D_f=\mathbb{R}\) ; 2. \(f(-x)=2x^2=f(x)\) :
[] \(f\) paire
3. Si \(0\leq a<b\) : \(a^2<b^2\) donc \(f(a)<f(b)\) : \(f\) croissante sur \([0;+\infty[\) ; par parité, \(f\) décroissante sur \(]-\infty;0]\).