Exercice 1 (5 pts)
1. Étudier la parité des fonctions : a) \(f(x)=x^2-|x|-1\) ; b) \(g(x)=\dfrac{-x^3}{\sqrt{1-|x|}}\) ; c) \(h(x)=2\sqrt{x^2-1}\).
2. Déterminer \(D_f\) dans chacun des cas : a) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-3}\) ; b) \(f(x)=\dfrac{x}{2x^2-5x+2}\) ; c) \(f(x)=\dfrac{2}{x^2-|x|}\).
3. Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=\dfrac{3}{x^2+2}\). Montrer que \(\dfrac{3}{2}\) est la valeur maximale de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Déterminer \(D_f\) dans chacun des cas : a) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-3}\) ; b) \(f(x)=\dfrac{x}{2x^2-5x+2}\) ; c) \(f(x)=\dfrac{2}{x^2-|x|}\).
3. Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=\dfrac{3}{x^2+2}\). Montrer que \(\dfrac{3}{2}\) est la valeur maximale de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(D=\mathbb{R}\), \(f(-x)=f(x)\) :
[] paire ; b) \(D_g=]-1;1[\), \(g(-x)=-g(x)\) :
[] impaire ; c) \(D_h=]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\), \(h(-x)=h(x)\) :
[] paire
2. a) \(x\geq0\) et \(x\neq3\) :
[] \(D_f=[0;3[\cup]3;+\infty[\)
b) \(\Delta=25-16=9\), racines \(\dfrac{1}{2}\) et \(2\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{2};2\right\}\) ; c) \(x^2-|x|=|x|(|x|-1)\neq0\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;0;1\}\)
3. \(x^2+2\geq2\), donc \(g(x)\leq\dfrac{3}{2}=g(0)\) :
[] \(\dfrac{3}{2}\) est la valeur maximale de \(g\) (atteinte en \(0\))
[] paire ; b) \(D_g=]-1;1[\), \(g(-x)=-g(x)\) :
[] impaire ; c) \(D_h=]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\), \(h(-x)=h(x)\) :
[] paire
2. a) \(x\geq0\) et \(x\neq3\) :
[] \(D_f=[0;3[\cup]3;+\infty[\)
b) \(\Delta=25-16=9\), racines \(\dfrac{1}{2}\) et \(2\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{1}{2};2\right\}\) ; c) \(x^2-|x|=|x|(|x|-1)\neq0\) :
[] \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;0;1\}\)
3. \(x^2+2\geq2\), donc \(g(x)\leq\dfrac{3}{2}=g(0)\) :
[] \(\dfrac{3}{2}\) est la valeur maximale de \(g\) (atteinte en \(0\))
Exercice 2 (7.5 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^2+4x+3\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) et des axes du repère.
2. a) Étudier les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;-2]\) et \([-2;+\infty[\).
b) En déduire le tableau de variations de \(f\).
3. Tracer la courbe \((C_f)\).
4. a) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\geq0\).
b) Montrer que la droite \((\Delta)\) : \(y=3\) coupe \((C_f)\) aux points \(A(0;3)\) et \(B(-4;3)\), et résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)<3\).
1. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) et des axes du repère.
2. a) Étudier les variations de \(f\) sur chacun des intervalles \(]-\infty;-2]\) et \([-2;+\infty[\).
b) En déduire le tableau de variations de \(f\).
3. Tracer la courbe \((C_f)\).
4. a) Résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)\geq0\).
b) Montrer que la droite \((\Delta)\) : \(y=3\) coupe \((C_f)\) aux points \(A(0;3)\) et \(B(-4;3)\), et résoudre graphiquement l’inéquation \(f(x)<3\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(f(x)=(x+1)(x+3)\) et \(f(0)=3\) :
[] \((-3;0)\), \((-1;0)\) et \((0;3)\)
2. a) \(f(x)=(x+2)^2-1\) ; le taux \(a+b+4\) est négatif sur \(]-\infty;-2]\) et positif sur \([-2;+\infty[\) :
[] \(f\) décroissante puis croissante, minimum \(f(-2)=-1\)
4. a)
[] \(S=]-\infty;-3]\cup[-1;+\infty[\)
b) \(f(x)=3\iff x^2+4x=0\iff x=0\) ou \(x=-4\) ; \((C_f)\) est sous \((\Delta)\) entre ces points :
[] \(S=]-4;0[\)
[] \((-3;0)\), \((-1;0)\) et \((0;3)\)
2. a) \(f(x)=(x+2)^2-1\) ; le taux \(a+b+4\) est négatif sur \(]-\infty;-2]\) et positif sur \([-2;+\infty[\) :
[] \(f\) décroissante puis croissante, minimum \(f(-2)=-1\)
4. a)
[] \(S=]-\infty;-3]\cup[-1;+\infty[\)
b) \(f(x)=3\iff x^2+4x=0\iff x=0\) ou \(x=-4\) ; \((C_f)\) est sous \((\Delta)\) entre ces points :
[] \(S=]-4;0[\)
Exercice 3 (7.5 pts)
Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) et \((C_g)\) sa courbe.
1. Déterminer \(D_g\).
2. Étudier les variations de \(g\), puis dresser son tableau de variations.
3. Déterminer les points d’intersection de \((C_g)\) et des axes du repère.
4. Tracer la courbe \((C_g)\).
5. a) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)<0\).
b) Montrer que la droite \((D)\) : \(y=x-1\) coupe \((C_g)\) en deux points \(M(4;3)\) et \(N(0;-1)\).
c) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\geq x-1\).
1. Déterminer \(D_g\).
2. Étudier les variations de \(g\), puis dresser son tableau de variations.
3. Déterminer les points d’intersection de \((C_g)\) et des axes du repère.
4. Tracer la courbe \((C_g)\).
5. a) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)<0\).
b) Montrer que la droite \((D)\) : \(y=x-1\) coupe \((C_g)\) en deux points \(M(4;3)\) et \(N(0;-1)\).
c) Résoudre graphiquement l’inéquation \(g(x)\geq x-1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1.
[] \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; \(g(x)=2+\dfrac{3}{x-1}\)
2. \(\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3<0\) :
[] \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\)
3.
[] \(\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\) et \((0;-1)\)
5. a) \((C_g)\) est sous l’axe des abscisses :
[] \(S=\left]-\dfrac{1}{2};1\right[\)
b) \(\dfrac{2x+1}{x-1}=x-1\iff2x+1=(x-1)^2\iff x^2-4x=0\iff x=0\) ou \(x=4\) :
[] \(N(0;-1)\) et \(M(4;3)\)
c) \((C_g)\) est au-dessus de \((D)\) pour \(x\leq0\) et pour \(1<x\leq4\) :
[] \(S=]-\infty;0]\cup]1;4]\)
[] \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; \(g(x)=2+\dfrac{3}{x-1}\)
2. \(\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}=-3<0\) :
[] \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\)
3.
[] \(\left(-\dfrac{1}{2};0\right)\) et \((0;-1)\)
5. a) \((C_g)\) est sous l’axe des abscisses :
[] \(S=\left]-\dfrac{1}{2};1\right[\)
b) \(\dfrac{2x+1}{x-1}=x-1\iff2x+1=(x-1)^2\iff x^2-4x=0\iff x=0\) ou \(x=4\) :
[] \(N(0;-1)\) et \(M(4;3)\)
c) \((C_g)\) est au-dessus de \((D)\) pour \(x\leq0\) et pour \(1<x\leq4\) :
[] \(S=]-\infty;0]\cup]1;4]\)