Exercice 1 (4.5 pts)
Dans un cercle trigonométrique associé à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j})\), on considère deux points \(A\) et \(B\) d’abscisses curvilignes respectives \(\dfrac{267\pi}{6}\) et \(-\dfrac{236\pi}{3}\).
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(A\) et \(B\), puis les représenter sur le cercle trigonométrique.
2. Déterminer la mesure principale de l’angle \(\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\), puis le couple des coordonnées de chacun des points \(A\) et \(B\).
3. Calculer \(\cos x\) sachant que \(\tan x=\dfrac{1}{3}\) et \(5\pi<x<\dfrac{11\pi}{2}\).
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(A\) et \(B\), puis les représenter sur le cercle trigonométrique.
2. Déterminer la mesure principale de l’angle \(\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\), puis le couple des coordonnées de chacun des points \(A\) et \(B\).
3. Calculer \(\cos x\) sachant que \(\tan x=\dfrac{1}{3}\) et \(5\pi<x<\dfrac{11\pi}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\dfrac{267\pi}{6}=44\pi+\dfrac{\pi}{2}\) et \(-\dfrac{236\pi}{3}=-78\pi-\dfrac{2\pi}{3}\) :
[] \(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(B\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
2. \(-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{7\pi}{6}\equiv\dfrac{5\pi}{6}\) :
[] \(\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(A(0;1)\) et \(B\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
3. \(x-4\pi\in\left]\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right[\), donc \(\cos x<0\) ; \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\frac{1}{9}}=\dfrac{9}{10}\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
[] \(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) et \(B\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
2. \(-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{7\pi}{6}\equiv\dfrac{5\pi}{6}\) :
[] \(\dfrac{5\pi}{6}\) ; \(A(0;1)\) et \(B\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
3. \(x-4\pi\in\left]\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right[\), donc \(\cos x<0\) ; \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\frac{1}{9}}=\dfrac{9}{10}\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
Exercice 2 (3 pts)
Soit \(x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\). On considère : \(E=\cos^2x+\sin(3\pi-x)\sin(4\pi+x)+2\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)\cos x\).
1. Montrer que \(E=1-2\sin x\cos x\).
2. Calculer \(E\) pour \(x=\dfrac{\pi}{4}\).
3. Montrer que \(E=1-\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}\).
1. Montrer que \(E=1-2\sin x\cos x\).
2. Calculer \(E\) pour \(x=\dfrac{\pi}{4}\).
3. Montrer que \(E=1-\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\sin(3\pi-x)=\sin x\), \(\sin(4\pi+x)=\sin x\), \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{2}+x\right)=-\sin x\) : \(E=\cos^2x+\sin^2x-2\sin x\cos x\) :
[] \(E=1-2\sin x\cos x\)
2.
[] \(E=1-2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0\)
3. \(2\sin x\cos x=2\tan x\cos^2x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}\) ✔.
[] \(E=1-2\sin x\cos x\)
2.
[] \(E=1-2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0\)
3. \(2\sin x\cos x=2\tan x\cos^2x=\dfrac{2\tan x}{1+\tan^2x}\) ✔.
Exercice 3 (6.5 pts)
Un enseignant rend les copies d’un devoir aux quinze élèves de sa classe. La liste des notes obtenues est : \(18\) ; \(15\) ; \(7\) ; \(6\) ; \(18\) ; \(14\) ; \(7\) ; \(15\) ; \(15\) ; \(6\) ; \(15\) ; \(14\) ; \(6\) ; \(15\) ; \(6\).
1. Dresser le tableau des effectifs et des effectifs cumulés.
2. Déterminer le mode et la médiane \(M\) de cette série.
3. Calculer la moyenne arithmétique de cette classe.
4. Calculer la variance \(V\) de cette classe.
5. Calculer l’écart moyen \(e\) de cette classe.
6. Calculer la fréquence \(f\) et le pourcentage \(p\) des élèves qui n’ont pas la moyenne.
1. Dresser le tableau des effectifs et des effectifs cumulés.
2. Déterminer le mode et la médiane \(M\) de cette série.
3. Calculer la moyenne arithmétique de cette classe.
4. Calculer la variance \(V\) de cette classe.
5. Calculer l’écart moyen \(e\) de cette classe.
6. Calculer la fréquence \(f\) et le pourcentage \(p\) des élèves qui n’ont pas la moyenne.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1.
| Note | \(6\) | \(7\) | \(14\) | \(15\) | \(18\) |
| Effectif | \(4\) | \(2\) | \(2\) | \(5\) | \(2\) |
| Effectif cumulé | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(13\) | \(15\) |
2.
[] mode \(15\) ; \(N=15\) impair : la médiane est la \(8\)-ième valeur :
[] \(M=14\)
3.
\(\overline{x}=\dfrac{24+14+28+75+36}{15}=\dfrac{177}{15}=11{,}8\)
4. \(\sum n_ix_i^2=144+98+392+1125+648=2407\) : \(V=\dfrac{2407}{15}-11{,}8^2\) :
[] \(V\approx21{,}23\)
5.
\(e=\dfrac{4\times5{,}8+2\times4{,}8+2\times2{,}2+5\times3{,}2+2\times6{,}2}{15}=\dfrac{65{,}6}{15}\approx4{,}37\)
6. Notes inférieures à \(10\) : \(6\) élèves :
[] \(f=\dfrac{6}{15}=0{,}4\) et \(p=40\,\%\)
| Note | \(6\) | \(7\) | \(14\) | \(15\) | \(18\) |
| Effectif | \(4\) | \(2\) | \(2\) | \(5\) | \(2\) |
| Effectif cumulé | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(13\) | \(15\) |
2.
[] mode \(15\) ; \(N=15\) impair : la médiane est la \(8\)-ième valeur :
[] \(M=14\)
3.
\(\overline{x}=\dfrac{24+14+28+75+36}{15}=\dfrac{177}{15}=11{,}8\)
4. \(\sum n_ix_i^2=144+98+392+1125+648=2407\) : \(V=\dfrac{2407}{15}-11{,}8^2\) :
[] \(V\approx21{,}23\)
5.
\(e=\dfrac{4\times5{,}8+2\times4{,}8+2\times2{,}2+5\times3{,}2+2\times6{,}2}{15}=\dfrac{65{,}6}{15}\approx4{,}37\)
6. Notes inférieures à \(10\) : \(6\) élèves :
[] \(f=\dfrac{6}{15}=0{,}4\) et \(p=40\,\%\)
Exercice 4 (6 pts)
Soit \(x\in\mathbb{R}\). On considère l’expression : \(f(x)=4\cos^2x+2\sin^2x-5\cos x\).
1. Calculer \(f(0)\) ; \(f(\pi)\) et \(f\left(\dfrac{2015\pi}{3}\right)\).
2. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)=(2\cos x-1)(\cos x-2)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\), puis dans \(]0;2\pi]\), l’équation \(f(x)=0\).
4. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) l’inéquation : \(2\cos x-1\leq0\) (la construction est obligatoire).
1. Calculer \(f(0)\) ; \(f(\pi)\) et \(f\left(\dfrac{2015\pi}{3}\right)\).
2. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(f(x)=(2\cos x-1)(\cos x-2)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\), puis dans \(]0;2\pi]\), l’équation \(f(x)=0\).
4. Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) l’inéquation : \(2\cos x-1\leq0\) (la construction est obligatoire).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
\(\sin^2x=1-\cos^2x\) donne \(f(x)=2\cos^2x-5\cos x+2\).
1.
[] \(f(0)=2-5+2=-1\) ; \(f(\pi)=2+5+2=9\) ; \(\dfrac{2015\pi}{3}=672\pi-\dfrac{\pi}{3}\) donc \(\cos=\dfrac{1}{2}\) et \(f\left(\dfrac{2015\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}+2=0\)
2. \((2\cos x-1)(\cos x-2)=2\cos^2x-4\cos x-\cos x+2=f(x)\) ✔.
3. \(\cos x=2\) est impossible ; \(\cos x=\dfrac{1}{2}\iff x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) :
[] dans \(]0;2\pi]\) : \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)
4. \(\cos x\leq\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{3};\pi\right]\)
1.
[] \(f(0)=2-5+2=-1\) ; \(f(\pi)=2+5+2=9\) ; \(\dfrac{2015\pi}{3}=672\pi-\dfrac{\pi}{3}\) donc \(\cos=\dfrac{1}{2}\) et \(f\left(\dfrac{2015\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}+2=0\)
2. \((2\cos x-1)(\cos x-2)=2\cos^2x-4\cos x-\cos x+2=f(x)\) ✔.
3. \(\cos x=2\) est impossible ; \(\cos x=\dfrac{1}{2}\iff x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) :
[] dans \(]0;2\pi]\) : \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)
4. \(\cos x\leq\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{3};\pi\right]\)