Exercice 1 (6 pts)
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale du point dont une abscisse curviligne est \(-\dfrac{191\pi}{7}\).
2. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-7x+3}}\).
3. Calculer \(\cos x\) et \(\sin x\) sachant que \(\tan x=-\sqrt{5}\) et \(\dfrac{\pi}{2}<x<\pi\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\cos x\left(\sin x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\).
5. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation : \(2\sin x+\sqrt{3}\geq0\).
6. Simplifier : \(A=\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\cos^2\dfrac{3\pi}{8}+\cos^2\dfrac{5\pi}{8}+\cos^2\dfrac{7\pi}{8}\).
2. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-7x+3}}\).
3. Calculer \(\cos x\) et \(\sin x\) sachant que \(\tan x=-\sqrt{5}\) et \(\dfrac{\pi}{2}<x<\pi\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\cos x\left(\sin x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\).
5. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation : \(2\sin x+\sqrt{3}\geq0\).
6. Simplifier : \(A=\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\cos^2\dfrac{3\pi}{8}+\cos^2\dfrac{5\pi}{8}+\cos^2\dfrac{7\pi}{8}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(-\dfrac{191\pi}{7}=-28\pi+\dfrac{5\pi}{7}\) :
[] \(\dfrac{5\pi}{7}\)
2. \(2x^2-7x+3>0\) : racines \(\dfrac{1}{2}\) et \(3\), signe de \(a=2\) à l’extérieur :
[] \(D_f=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[\cup]3;+\infty[\)
3. \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+5}\) et \(\cos x<0\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}\) et \(\sin x=\tan x\cos x=\dfrac{\sqrt{30}}{6}\)
4. \(\cos x=0\iff x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) ; \(\sin x=\sin\dfrac{\pi}{4}\iff x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
5. \(\sin x\geq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; sur \([0;2\pi]\), \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) pour \(\dfrac{4\pi}{3}\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\) :
[] \(S=\left[0;\dfrac{4\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3};2\pi\right]\)
6. On a : \(\cos\dfrac{7\pi}{8}=-\cos\dfrac{\pi}{8}\), \(\cos\dfrac{5\pi}{8}=-\sin\dfrac{\pi}{8}\), \(\cos\dfrac{3\pi}{8}=\sin\dfrac{\pi}{8}\) :
[] \(A=2\)
[] \(\dfrac{5\pi}{7}\)
2. \(2x^2-7x+3>0\) : racines \(\dfrac{1}{2}\) et \(3\), signe de \(a=2\) à l’extérieur :
[] \(D_f=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right[\cup]3;+\infty[\)
3. \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+5}\) et \(\cos x<0\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}\) et \(\sin x=\tan x\cos x=\dfrac{\sqrt{30}}{6}\)
4. \(\cos x=0\iff x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) ; \(\sin x=\sin\dfrac{\pi}{4}\iff x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
5. \(\sin x\geq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; sur \([0;2\pi]\), \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) pour \(\dfrac{4\pi}{3}\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\) :
[] \(S=\left[0;\dfrac{4\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3};2\pi\right]\)
6. On a : \(\cos\dfrac{7\pi}{8}=-\cos\dfrac{\pi}{8}\), \(\cos\dfrac{5\pi}{8}=-\sin\dfrac{\pi}{8}\), \(\cos\dfrac{3\pi}{8}=\sin\dfrac{\pi}{8}\) :
[] \(A=2\)
Exercice 2 (5 pts)
Un surveillant général a choisi un échantillon de \(40\) élèves et a relevé leurs heures d’absence pendant le premier semestre :
| Heures d’absence \(x_i\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| Nombre d’élèves \(n_i\) | \(13\) | \(5\) | \(14\) | \(5\) | \(3\) |
1. Donner le tableau des effectifs cumulés et des fréquences.
2. Déterminer le mode et la médiane de cette série.
3. Calculer la moyenne arithmétique, l’écart moyen et la variance de cette série.
| Heures d’absence \(x_i\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
| Nombre d’élèves \(n_i\) | \(13\) | \(5\) | \(14\) | \(5\) | \(3\) |
1. Donner le tableau des effectifs cumulés et des fréquences.
2. Déterminer le mode et la médiane de cette série.
3. Calculer la moyenne arithmétique, l’écart moyen et la variance de cette série.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Effectifs cumulés : \(13\) ; \(18\) ; \(32\) ; \(37\) ; \(40\) — fréquences : \(0{,}325\) ; \(0{,}125\) ; \(0{,}35\) ; \(0{,}125\) ; \(0{,}075\).
2.
[] mode \(3\) ; \(N=40\) : les \(20\)-ième et \(21\)-ième valeurs valent \(3\) (\(18<20<21\leq32\)) :
[] \(M=3\)
3.
\(\overline{x}=\dfrac{13+10+42+20+15}{40}=\dfrac{100}{40}=2{,}5\)
\(e=\dfrac{13\times1{,}5+5\times0{,}5+14\times0{,}5+5\times1{,}5+3\times2{,}5}{40}=\dfrac{44}{40}=1{,}1\)
\(\sum n_ix_i^2=13+20+126+80+75=314\) : \(V=\dfrac{314}{40}-2{,}5^2=7{,}85-6{,}25\) :
[] \(\overline{x}=2{,}5\) ; \(e=1{,}1\) ; \(V=1{,}6\)
2.
[] mode \(3\) ; \(N=40\) : les \(20\)-ième et \(21\)-ième valeurs valent \(3\) (\(18<20<21\leq32\)) :
[] \(M=3\)
3.
\(\overline{x}=\dfrac{13+10+42+20+15}{40}=\dfrac{100}{40}=2{,}5\)
\(e=\dfrac{13\times1{,}5+5\times0{,}5+14\times0{,}5+5\times1{,}5+3\times2{,}5}{40}=\dfrac{44}{40}=1{,}1\)
\(\sum n_ix_i^2=13+20+126+80+75=314\) : \(V=\dfrac{314}{40}-2{,}5^2=7{,}85-6{,}25\) :
[] \(\overline{x}=2{,}5\) ; \(e=1{,}1\) ; \(V=1{,}6\)
Exercice 3 (4.5 pts)
On considère la fonction numérique \(f\) définie par \(f(x)=x^3-3x\).
1. Étudier la parité de la fonction \(f\).
2. a) Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts. Calculer et simplifier \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}\).
b) Étudier la monotonie de \(f\) sur chacun des intervalles \([0;1]\) et \([1;+\infty[\).
3. Donner le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Étudier la parité de la fonction \(f\).
2. a) Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts. Calculer et simplifier \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}\).
b) Étudier la monotonie de \(f\) sur chacun des intervalles \([0;1]\) et \([1;+\infty[\).
3. Donner le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\mathbb{R}\) est symétrique et \(f(-x)=-x^3+3x=-f(x)\) :
[] \(f\) est impaire
2. a)
\(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{\left(a^3-b^3\right)-3(a-b)}{a-b}=a^2+ab+b^2-3\)
b) Sur \([0;1]\) (\(a\neq b\)) : \(a^2+ab+b^2<3\), le taux est négatif : \(f\) décroissante ; sur \([1;+\infty[\) : \(a^2+ab+b^2>3\) : \(f\) croissante.
3. \(f\) étant impaire, elle a les mêmes variations sur les intervalles symétriques ; \(f(-1)=2\) et \(f(1)=-2\) :
[] \(f\) est impaire
2. a)
\(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=\dfrac{\left(a^3-b^3\right)-3(a-b)}{a-b}=a^2+ab+b^2-3\)
b) Sur \([0;1]\) (\(a\neq b\)) : \(a^2+ab+b^2<3\), le taux est négatif : \(f\) décroissante ; sur \([1;+\infty[\) : \(a^2+ab+b^2>3\) : \(f\) croissante.
3. \(f\) étant impaire, elle a les mêmes variations sur les intervalles symétriques ; \(f(-1)=2\) et \(f(1)=-2\) :
Exercice 4 (4.5 pts)
Soit \(x\) un réel. On considère l’expression : \(P(x)=\cos^6x+\sin^6x+3\cos^2x\sin^2x-2\sin x\cos x\).
1. Montrer que \(P(x)=1-2\sin x\cos x\).
2. a) Construire sur un cercle trigonométrique les points d’abscisses curvilignes \(x\) qui vérifient \(\cos x=\sin x\).
b) Calculer \((\cos x-\sin x)^2\).
3. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’équation \(P(x)=0\).
1. Montrer que \(P(x)=1-2\sin x\cos x\).
2. a) Construire sur un cercle trigonométrique les points d’abscisses curvilignes \(x\) qui vérifient \(\cos x=\sin x\).
b) Calculer \((\cos x-\sin x)^2\).
3. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’équation \(P(x)=0\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(\cos^6x+\sin^6x+3\cos^2x\sin^2x=\left(\cos^2x+\sin^2x\right)^3=1\) :
[] \(P(x)=1-2\sin x\cos x\)
2. a) \(\cos x=\sin x\iff x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) : deux points diamétralement opposés.
b)
[] \((\cos x-\sin x)^2=1-2\sin x\cos x=P(x)\)
3. \(P(x)=0\iff\cos x=\sin x\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right\}\)
[] \(P(x)=1-2\sin x\cos x\)
2. a) \(\cos x=\sin x\iff x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) : deux points diamétralement opposés.
b)
[] \((\cos x-\sin x)^2=1-2\sin x\cos x=P(x)\)
3. \(P(x)=0\iff\cos x=\sin x\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right\}\)