Exercice 1 (5 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : \(2x^2+x-1=0\) et \(2x^2-2\sqrt{2}x+1=0\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(2x^2+x-1>0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(2\sin^2x-2\sqrt{2}\sin x+1=0\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) par la méthode des déterminants le système : \(\begin{cases}-x+2y=3\\3x-4y=-5\end{cases}\)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(2x^2+x-1>0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(2\sin^2x-2\sqrt{2}\sin x+1=0\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) par la méthode des déterminants le système : \(\begin{cases}-x+2y=3\\3x-4y=-5\end{cases}\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\Delta=1+8=9\) : \(x=\dfrac{-1\pm3}{4}\), \(S_1=\left\{-1;\dfrac{1}{2}\right\}\) ; \(\Delta=8-8=0\) :
[] \(S_2=\left\{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}\)
2. Signe de \(a=2\) à l’extérieur des racines :
[] \(S=]-\infty;-1[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\)
3. Avec \(X=\sin x\) : \(2X^2-2\sqrt{2}X+1=\left(\sqrt{2}X-1\right)^2=0\), donc \(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi;\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}\)
4.
\(\Delta=(-1)(-4)-3\times2=-2\ ;\ \Delta_x=3\times(-4)-(-5)\times2=-2\ ;\ \Delta_y=(-1)(-5)-3\times3=-4\)
[] \(S=\{(1;2)\}\)
[] \(S_2=\left\{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right\}\)
2. Signe de \(a=2\) à l’extérieur des racines :
[] \(S=]-\infty;-1[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[\)
3. Avec \(X=\sin x\) : \(2X^2-2\sqrt{2}X+1=\left(\sqrt{2}X-1\right)^2=0\), donc \(\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi;\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}\)
4.
\(\Delta=(-1)(-4)-3\times2=-2\ ;\ \Delta_x=3\times(-4)-(-5)\times2=-2\ ;\ \Delta_y=(-1)(-5)-3\times3=-4\)
[] \(S=\{(1;2)\}\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \(x\) un réel. On pose : \(A(x)=4\cos^2x+\sin^4x\).
1. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(A(x)=\left(2-\sin^2x\right)^2\).
2. Calculer \(A(0)\) et \(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
3. a) Déterminer l’abscisse curviligne principale du point \(M\) d’abscisse curviligne \(-\dfrac{2005\pi}{2}\).
b) En déduire la valeur de \(A\left(-\dfrac{2005\pi}{2}\right)\).
4. a) Montrer que \(A(x)=\left(1+\dfrac{1}{1+\tan^2x}\right)^2\) (pour \(\cos x\neq0\)).
b) Soit \(x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\). Calculer \(A(x)\) sachant que \(\tan x=1\).
1. Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(A(x)=\left(2-\sin^2x\right)^2\).
2. Calculer \(A(0)\) et \(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\).
3. a) Déterminer l’abscisse curviligne principale du point \(M\) d’abscisse curviligne \(-\dfrac{2005\pi}{2}\).
b) En déduire la valeur de \(A\left(-\dfrac{2005\pi}{2}\right)\).
4. a) Montrer que \(A(x)=\left(1+\dfrac{1}{1+\tan^2x}\right)^2\) (pour \(\cos x\neq0\)).
b) Soit \(x\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\). Calculer \(A(x)\) sachant que \(\tan x=1\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(4\cos^2x+\sin^4x=4-4\sin^2x+\sin^4x=\left(2-\sin^2x\right)^2\) ✔.
2.
[] \(A(0)=4\) et \(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=(2-1)^2=1\)
3. a) \(-\dfrac{2005\pi}{2}=-1002\pi-\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(-\dfrac{\pi}{2}\) ; b) \(\sin^2\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=1\) :
[] \(A\left(-\dfrac{2005\pi}{2}\right)=1\)
4. a) \(\dfrac{1}{1+\tan^2x}=\cos^2x\) et \(2-\sin^2x=1+\cos^2x\) ✔ ; b) \(\cos^2x=\dfrac{1}{2}\) :
[] \(A(x)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\)
2.
[] \(A(0)=4\) et \(A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=(2-1)^2=1\)
3. a) \(-\dfrac{2005\pi}{2}=-1002\pi-\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(-\dfrac{\pi}{2}\) ; b) \(\sin^2\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=1\) :
[] \(A\left(-\dfrac{2005\pi}{2}\right)=1\)
4. a) \(\dfrac{1}{1+\tan^2x}=\cos^2x\) et \(2-\sin^2x=1+\cos^2x\) ✔ ; b) \(\cos^2x=\dfrac{1}{2}\) :
[] \(A(x)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\)
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(x\) un réel.
1. Calculer : \(\sin\left(\dfrac{52\pi}{3}\right)\) ; \(\cos\left(-\dfrac{39\pi}{2}\right)\) ; \(\tan\left(-\dfrac{413\pi}{4}\right)\).
2. Simplifier : \(B=\cos\left(3x+\dfrac{41\pi}{2}\right)+\sin(3x+305\pi)+\cos\left(3x+\dfrac{19\pi}{2}\right)\).
3. En déduire la valeur de \(B\) pour \(x=\dfrac{\pi}{9}\).
1. Calculer : \(\sin\left(\dfrac{52\pi}{3}\right)\) ; \(\cos\left(-\dfrac{39\pi}{2}\right)\) ; \(\tan\left(-\dfrac{413\pi}{4}\right)\).
2. Simplifier : \(B=\cos\left(3x+\dfrac{41\pi}{2}\right)+\sin(3x+305\pi)+\cos\left(3x+\dfrac{19\pi}{2}\right)\).
3. En déduire la valeur de \(B\) pour \(x=\dfrac{\pi}{9}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\dfrac{52\pi}{3}=18\pi-\dfrac{2\pi}{3}\) :
[] \(\sin=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(\dfrac{39\pi}{2}=20\pi-\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(\cos=0\) ; \(-\dfrac{413\pi}{4}=-103\pi-\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(\tan=-1\)
2. \(\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin3x\) ; \(\sin(3x+\pi)=-\sin3x\) ; \(\cos\left(3x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin3x\) :
[] \(B=-\sin3x\)
3.
[] \(B=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
[] \(\sin=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; \(\dfrac{39\pi}{2}=20\pi-\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(\cos=0\) ; \(-\dfrac{413\pi}{4}=-103\pi-\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(\tan=-1\)
2. \(\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin3x\) ; \(\sin(3x+\pi)=-\sin3x\) ; \(\cos\left(3x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\sin3x\) :
[] \(B=-\sin3x\)
3.
[] \(B=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(x\in\mathbb{R}\). On pose : \(F(x)=\sqrt{2}\cos^2x-\left(\sqrt{2}+1\right)\cos x+1\).
1. Montrer que \(F(x)=(\cos x-1)\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)\).
2. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation \(F(x)=0\).
3. Étudier le signe de \(F(x)\) sur \([-\pi;\pi]\).
4. En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation \(F(x)\leq0\).
1. Montrer que \(F(x)=(\cos x-1)\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)\).
2. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation \(F(x)=0\).
3. Étudier le signe de \(F(x)\) sur \([-\pi;\pi]\).
4. En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation \(F(x)\leq0\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \((\cos x-1)\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)=\sqrt{2}\cos^2x-\cos x-\sqrt{2}\cos x+1=F(x)\) ✔.
2. \(\cos x=1\iff x=0\) ; \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\iff x=\pm\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{4};0;\dfrac{\pi}{4}\right\}\)
3. \(\cos x-1\leq0\) toujours ; \(\sqrt{2}\cos x-1\geq0\iff x\in\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]\) :
[] 4. \(F(x)\leq0\iff x\in\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]\)
2. \(\cos x=1\iff x=0\) ; \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\iff x=\pm\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{4};0;\dfrac{\pi}{4}\right\}\)
3. \(\cos x-1\leq0\) toujours ; \(\sqrt{2}\cos x-1\geq0\iff x\in\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]\) :
[] 4. \(F(x)\leq0\iff x\in\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right]\)