Exercice 1 (6 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((E)\) : \(\sqrt{5x-1}=x-3\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(x-1>2+\sqrt{2}x\).
3. Résoudre graphiquement l’inéquation : \(x-2y-3>0\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}-x+3y=5\\5x-2y=1\end{cases}\)
5. Simplifier : \(A=\sin\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)\cos(3\pi-x)+\cos\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right)\sin(x-5\pi)\).
6. Sachant que \(\sin\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\), calculer \(\cos\dfrac{3\pi}{5}\) et \(\sin\dfrac{9\pi}{10}\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(x-1>2+\sqrt{2}x\).
3. Résoudre graphiquement l’inéquation : \(x-2y-3>0\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}-x+3y=5\\5x-2y=1\end{cases}\)
5. Simplifier : \(A=\sin\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)\cos(3\pi-x)+\cos\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right)\sin(x-5\pi)\).
6. Sachant que \(\sin\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\), calculer \(\cos\dfrac{3\pi}{5}\) et \(\sin\dfrac{9\pi}{10}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Condition : \(x\geq3\). On élève au carré : \(5x-1=x^2-6x+9\iff x^2-11x+10=0\iff x=1\) ou \(x=10\) ; \(1<3\) est rejeté :
[] \(S=\{10\}\)
2. \(\left(1-\sqrt{2}\right)x>3\) et \(1-\sqrt{2}<0\) (le sens change) : \(x<\dfrac{3}{1-\sqrt{2}}=-3\left(1+\sqrt{2}\right)\) :
[] \(S=\left]-\infty;-3-3\sqrt{2}\right[\)
3. Pour \(O(0;0)\) : \(-3>0\) est faux :
[] les solutions sont les points du demi-plan ouvert de frontière \(x-2y-3=0\) qui ne contient pas \(O\)
4.
\(\Delta=(-1)(-2)-5\times3=-13\ ;\ \Delta_x=5\times(-2)-1\times3=-13\ ;\ \Delta_y=(-1)\times1-5\times5=-26\)
[] \(S=\{(1;2)\}\)
5. \(\sin\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos x\) ; \(\cos(3\pi-x)=-\cos x\) ; \(\cos\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right)=\sin x\) ; \(\sin(x-5\pi)=-\sin x\).
[] \(A=-\cos^2x-\sin^2x=-1\)
6. \(\dfrac{3\pi}{5}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{10}\) et \(\dfrac{9\pi}{10}=\pi-\dfrac{\pi}{10}\) :
[] \(\cos\dfrac{3\pi}{5}=-\sin\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\) et \(\sin\dfrac{9\pi}{10}=\sin\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)
[] \(S=\{10\}\)
2. \(\left(1-\sqrt{2}\right)x>3\) et \(1-\sqrt{2}<0\) (le sens change) : \(x<\dfrac{3}{1-\sqrt{2}}=-3\left(1+\sqrt{2}\right)\) :
[] \(S=\left]-\infty;-3-3\sqrt{2}\right[\)
3. Pour \(O(0;0)\) : \(-3>0\) est faux :
[] les solutions sont les points du demi-plan ouvert de frontière \(x-2y-3=0\) qui ne contient pas \(O\)
4.
\(\Delta=(-1)(-2)-5\times3=-13\ ;\ \Delta_x=5\times(-2)-1\times3=-13\ ;\ \Delta_y=(-1)\times1-5\times5=-26\)
[] \(S=\{(1;2)\}\)
5. \(\sin\left(x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos x\) ; \(\cos(3\pi-x)=-\cos x\) ; \(\cos\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right)=\sin x\) ; \(\sin(x-5\pi)=-\sin x\).
[] \(A=-\cos^2x-\sin^2x=-1\)
6. \(\dfrac{3\pi}{5}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{10}\) et \(\dfrac{9\pi}{10}=\pi-\dfrac{\pi}{10}\) :
[] \(\cos\dfrac{3\pi}{5}=-\sin\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\) et \(\sin\dfrac{9\pi}{10}=\sin\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)
Exercice 2 (5 pts)
On considère le polynôme \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
1. a) Montrer que \(1\) est une racine de \(P(x)\).
b) Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^2-x-6=0\).
b) En déduire les solutions de l’équation \(P(x)=0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(P(x)<2x(x-1)(x-3)\).
1. a) Montrer que \(1\) est une racine de \(P(x)\).
b) Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^2-x-6=0\).
b) En déduire les solutions de l’équation \(P(x)=0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(P(x)<2x(x-1)(x-3)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. a) \(P(1)=1-2-5+6=0\) ✔ ; b) par identification :
[] \(Q(x)=x^2-x-6\)
2. a) \(\Delta=1+24=25\) : \(x=\dfrac{1\pm5}{2}\), \(S=\{-2;3\}\) ; b)
[] \(P(x)=0\iff x\in\{-2;1;3\}\)
3. \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\) :
\(P(x)-2x(x-1)(x-3)=(x-1)(x-3)(x+2-2x)=-(x-1)(x-2)(x-3)<0\)
\((x-1)(x-2)(x-3)>0\) : le produit est positif sur \(]1;2[\) et sur \(]3;+\infty[\) (tableau de signes) :
[] \(S=]1;2[\cup]3;+\infty[\)
[] \(Q(x)=x^2-x-6\)
2. a) \(\Delta=1+24=25\) : \(x=\dfrac{1\pm5}{2}\), \(S=\{-2;3\}\) ; b)
[] \(P(x)=0\iff x\in\{-2;1;3\}\)
3. \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\) :
\(P(x)-2x(x-1)(x-3)=(x-1)(x-3)(x+2-2x)=-(x-1)(x-2)(x-3)<0\)
\((x-1)(x-2)(x-3)>0\) : le produit est positif sur \(]1;2[\) et sur \(]3;+\infty[\) (tableau de signes) :
[] \(S=]1;2[\cup]3;+\infty[\)
Exercice 3 (5 pts)
Le tableau suivant donne la répartition de vingt élèves selon leurs notes (sur \(10\)) :
| Note \(x_i\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
| Effectif \(n_i\) | | \(3\) | | \(2\) | | |
| Effectif cumulé | \(1\) | | \(10\) | | \(17\) | \(20\) |
1. Recopier et compléter le tableau.
2. Déterminer le mode et la médiane \(M\).
3. Vérifier que la moyenne arithmétique \(\overline{x}\) est \(5{,}8\).
4. Calculer la variance \(V\).
5. Quel est le pourcentage des élèves dont la note dépasse la moyenne \(\overline{x}\) ?
| Note \(x_i\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
| Effectif \(n_i\) | | \(3\) | | \(2\) | | |
| Effectif cumulé | \(1\) | | \(10\) | | \(17\) | \(20\) |
1. Recopier et compléter le tableau.
2. Déterminer le mode et la médiane \(M\).
3. Vérifier que la moyenne arithmétique \(\overline{x}\) est \(5{,}8\).
4. Calculer la variance \(V\).
5. Quel est le pourcentage des élèves dont la note dépasse la moyenne \(\overline{x}\) ?
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1.
| Note \(x_i\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
| Effectif \(n_i\) | \(1\) | \(3\) | \(6\) | \(2\) | \(5\) | \(3\) |
| Effectif cumulé | \(1\) | \(4\) | \(10\) | \(12\) | \(17\) | \(20\) |
2. Le plus grand effectif est \(6\) :
[] le mode est \(5\) ; \(N=20\) : la \(10\)-ième note est \(5\) et la \(11\)-ième est \(6\) :
[] \(M=5{,}5\)
3.
\(\overline{x}=\dfrac{3+12+30+12+35+24}{20}=\dfrac{116}{20}=5{,}8\)
4. \(\sum n_ix_i^2=9+48+150+72+245+192=716\) :
\(V=\dfrac{716}{20}-5{,}8^2=35{,}8-33{,}64\)
[] \(V=2{,}16\)
5. Notes \(6\), \(7\) et \(8\) : \(2+5+3=10\) élèves :
[] \(p=\dfrac{10}{20}=50\,\%\)
| Note \(x_i\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
| Effectif \(n_i\) | \(1\) | \(3\) | \(6\) | \(2\) | \(5\) | \(3\) |
| Effectif cumulé | \(1\) | \(4\) | \(10\) | \(12\) | \(17\) | \(20\) |
2. Le plus grand effectif est \(6\) :
[] le mode est \(5\) ; \(N=20\) : la \(10\)-ième note est \(5\) et la \(11\)-ième est \(6\) :
[] \(M=5{,}5\)
3.
\(\overline{x}=\dfrac{3+12+30+12+35+24}{20}=\dfrac{116}{20}=5{,}8\)
4. \(\sum n_ix_i^2=9+48+150+72+245+192=716\) :
\(V=\dfrac{716}{20}-5{,}8^2=35{,}8-33{,}64\)
[] \(V=2{,}16\)
5. Notes \(6\), \(7\) et \(8\) : \(2+5+3=10\) élèves :
[] \(p=\dfrac{10}{20}=50\,\%\)
Exercice 4 (4 pts)
On considère sur le cercle trigonométrique \((\mathcal{C})\) associé au repère orthonormé direct \(\left(O;\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OJ}\right)\) les points \(A\) et \(B\) d’abscisses curvilignes respectives \(-\dfrac{31\pi}{6}\) et \(\dfrac{15\pi}{4}\).
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(A\) et \(B\), puis les représenter sur \((\mathcal{C})\).
2. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\).
3. Déterminer les coordonnées de chacun des points \(A\) et \(B\).
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(A\) et \(B\), puis les représenter sur \((\mathcal{C})\).
2. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\).
3. Déterminer les coordonnées de chacun des points \(A\) et \(B\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
💡 On retranche un multiple de \(2\pi\) pour obtenir un nombre de \(]-\pi;\pi]\).
1. \(-\dfrac{31\pi}{6}=-6\pi+\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\dfrac{15\pi}{4}=4\pi-\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(A\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) et \(B\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
2. \(-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{13\pi}{12}\equiv\dfrac{11\pi}{12}\ [2\pi]\) :
[] mesure principale \(\dfrac{11\pi}{12}\)
3.
[] \(A\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) et \(B\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
1. \(-\dfrac{31\pi}{6}=-6\pi+\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\dfrac{15\pi}{4}=4\pi-\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(A\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) et \(B\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
2. \(-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{13\pi}{12}\equiv\dfrac{11\pi}{12}\ [2\pi]\) :
[] mesure principale \(\dfrac{11\pi}{12}\)
3.
[] \(A\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) et \(B\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)