Exercice 1 (8 pts)
1. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(x^2+2x-8=0\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(\dfrac{2x^2+x-10}{x^2-4}\leq\dfrac{3}{2}\).
2. On considère le polynôme \(P(x)=2x^3+x^2-22x+24\).
a) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-\dfrac{3}{2}\).
b) En déduire l’écriture de \(P(x)\) sous forme de produit de trois polynômes du premier degré.
c) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(P(x)>0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(2|x|^3+x^2-22|x|+24=0\).
4. Soit \(\alpha\) un réel tel que \(-2\leq\alpha\leq0\). Montrer que \(24\leq P(\alpha)\leq72\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(\dfrac{2x^2+x-10}{x^2-4}\leq\dfrac{3}{2}\).
2. On considère le polynôme \(P(x)=2x^3+x^2-22x+24\).
a) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-\dfrac{3}{2}\).
b) En déduire l’écriture de \(P(x)\) sous forme de produit de trois polynômes du premier degré.
c) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(P(x)>0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(2|x|^3+x^2-22|x|+24=0\).
4. Soit \(\alpha\) un réel tel que \(-2\leq\alpha\leq0\). Montrer que \(24\leq P(\alpha)\leq72\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\) :
[] \(S=\{-4;2\}\)
b) \(x\neq\pm2\) et \(2x^2+x-10=(x-2)(2x+5)\), donc pour \(x\neq\pm2\) :
\(\dfrac{2x+5}{x+2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{4x+10-3x-6}{2(x+2)}=\dfrac{x+4}{2(x+2)}\leq0\)
[] \(S=[-4;-2[\)
2. a) \(P\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{27}{4}+\dfrac{9}{4}-33+24=0\) ✔ ; b) \(P(x)=(2x-3)\left(x^2+2x-8\right)\) :
[] \(P(x)=(2x-3)(x+4)(x-2)\)
c) Racines \(-4\), \(\dfrac{3}{2}\), \(2\) ; tableau de signes :
[] \(S=\left]-4;\dfrac{3}{2}\right[\cup]2;+\infty[\)
3. Avec \(X=|x|\) (\(x^2=X^2\)) : \(P(X)=0\) et \(X\geq0\), donc \(|x|=\dfrac{3}{2}\) ou \(|x|=2\) :
[] \(S=\left\{-2;-\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};2\right\}\)
4. \(P(\alpha)-24=\alpha\left(2\alpha^2+\alpha-22\right)\) avec \(\alpha\leq0\) et \(2\alpha^2+\alpha-22\leq8-22<0\) : \(P(\alpha)\geq24\).
\(2\alpha^3\leq0\), \(\alpha^2\leq4\) et \(-22\alpha\leq44\) : \(P(\alpha)\leq0+4+44+24\).
[] \(24\leq P(\alpha)\leq72\)
[] \(S=\{-4;2\}\)
b) \(x\neq\pm2\) et \(2x^2+x-10=(x-2)(2x+5)\), donc pour \(x\neq\pm2\) :
\(\dfrac{2x+5}{x+2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{4x+10-3x-6}{2(x+2)}=\dfrac{x+4}{2(x+2)}\leq0\)
[] \(S=[-4;-2[\)
2. a) \(P\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{27}{4}+\dfrac{9}{4}-33+24=0\) ✔ ; b) \(P(x)=(2x-3)\left(x^2+2x-8\right)\) :
[] \(P(x)=(2x-3)(x+4)(x-2)\)
c) Racines \(-4\), \(\dfrac{3}{2}\), \(2\) ; tableau de signes :
[] \(S=\left]-4;\dfrac{3}{2}\right[\cup]2;+\infty[\)
3. Avec \(X=|x|\) (\(x^2=X^2\)) : \(P(X)=0\) et \(X\geq0\), donc \(|x|=\dfrac{3}{2}\) ou \(|x|=2\) :
[] \(S=\left\{-2;-\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};2\right\}\)
4. \(P(\alpha)-24=\alpha\left(2\alpha^2+\alpha-22\right)\) avec \(\alpha\leq0\) et \(2\alpha^2+\alpha-22\leq8-22<0\) : \(P(\alpha)\geq24\).
\(2\alpha^3\leq0\), \(\alpha^2\leq4\) et \(-22\alpha\leq44\) : \(P(\alpha)\leq0+4+44+24\).
[] \(24\leq P(\alpha)\leq72\)
Exercice 2 (8 pts)
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale associée à l’abscisse \(-\dfrac{23\pi}{6}\).
2. Soit \(\alpha\) un réel tel que \(0\leq\alpha\leq\dfrac{\pi}{2}\) et \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\). Calculer \(\cos\alpha\) et \(\tan\alpha\).
3. Montrer que : \(\cos^6x+\sin^6x+3\cos^2x\sin^2x=1\).
4. Vérifier que \((\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2=2\), puis calculer \(\cos x\), \(\sin x\) et \(\tan x\) sachant que \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\).
5. Montrer que : \(\tan^2x-\sin^2x=\tan^2x\times\sin^2x\) (pour \(\cos x\neq0\)).
6. Montrer que les nombres \(\dfrac{25\pi}{6}\), \(-\dfrac{143\pi}{6}\) et \(\dfrac{601\pi}{6}\) sont des abscisses curvilignes d’un même point.
2. Soit \(\alpha\) un réel tel que \(0\leq\alpha\leq\dfrac{\pi}{2}\) et \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\). Calculer \(\cos\alpha\) et \(\tan\alpha\).
3. Montrer que : \(\cos^6x+\sin^6x+3\cos^2x\sin^2x=1\).
4. Vérifier que \((\cos x+\sin x)^2+(\cos x-\sin x)^2=2\), puis calculer \(\cos x\), \(\sin x\) et \(\tan x\) sachant que \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\).
5. Montrer que : \(\tan^2x-\sin^2x=\tan^2x\times\sin^2x\) (pour \(\cos x\neq0\)).
6. Montrer que les nombres \(\dfrac{25\pi}{6}\), \(-\dfrac{143\pi}{6}\) et \(\dfrac{601\pi}{6}\) sont des abscisses curvilignes d’un même point.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(-\dfrac{23\pi}{6}=-4\pi+\dfrac{\pi}{6}\) :
[] \(\dfrac{\pi}{6}\)
2. \(\cos^2\alpha=1-\dfrac{10}{100}=\dfrac{90}{100}\) et \(\cos\alpha\geq0\) :
[] \(\cos\alpha=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\) et \(\tan\alpha=\dfrac{1}{3}\)
💡 Avec \(a=\cos^2x\), \(b=\sin^2x\) et \(a+b=1\) : \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\).
3. \(\cos^6x+\sin^6x=1-3\cos^2x\sin^2x\), d’où l’égalité ✔.
4. Avec \(c=\cos x\) et \(s=\sin x\) : \((c+s)^2+(c-s)^2=2\left(c^2+s^2\right)=2\) ✔. Si \(c-s=\sqrt{2}\) : \((c+s)^2=0\), donc \(c=-s\) et \(2c=\sqrt{2}\).
[] \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\tan x=-1\)
5.
\(\tan^2x-\sin^2x=\dfrac{\sin^2x-\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x}=\dfrac{\sin^2x\left(1-\cos^2x\right)}{\cos^2x}=\tan^2x\sin^2x\)
6. \(\dfrac{25\pi}{6}-\left(-\dfrac{143\pi}{6}\right)=28\pi=14\times2\pi\) et \(\dfrac{601\pi}{6}-\dfrac{25\pi}{6}=96\pi=48\times2\pi\) :
[] même point
[] \(\dfrac{\pi}{6}\)
2. \(\cos^2\alpha=1-\dfrac{10}{100}=\dfrac{90}{100}\) et \(\cos\alpha\geq0\) :
[] \(\cos\alpha=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\) et \(\tan\alpha=\dfrac{1}{3}\)
💡 Avec \(a=\cos^2x\), \(b=\sin^2x\) et \(a+b=1\) : \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\).
3. \(\cos^6x+\sin^6x=1-3\cos^2x\sin^2x\), d’où l’égalité ✔.
4. Avec \(c=\cos x\) et \(s=\sin x\) : \((c+s)^2+(c-s)^2=2\left(c^2+s^2\right)=2\) ✔. Si \(c-s=\sqrt{2}\) : \((c+s)^2=0\), donc \(c=-s\) et \(2c=\sqrt{2}\).
[] \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\tan x=-1\)
5.
\(\tan^2x-\sin^2x=\dfrac{\sin^2x-\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x}=\dfrac{\sin^2x\left(1-\cos^2x\right)}{\cos^2x}=\tan^2x\sin^2x\)
6. \(\dfrac{25\pi}{6}-\left(-\dfrac{143\pi}{6}\right)=28\pi=14\times2\pi\) et \(\dfrac{601\pi}{6}-\dfrac{25\pi}{6}=96\pi=48\times2\pi\) :
[] même point
Exercice 3 (4 pts)
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) les deux solutions de l’équation \((E)\) : \(x^2+x-1=0\). On pose \(s_n=\alpha^n+\beta^n\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\).
1. Montrer que \(s_{n+2}+s_{n+1}=s_n\).
2. Calculer \(s_2\), \(s_3\), \(s_4\), \(s_5\), \(s_6\), \(s_7\) et \(s_8\).
3. En déduire que : \(\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^8+\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^8=47\).
1. Montrer que \(s_{n+2}+s_{n+1}=s_n\).
2. Calculer \(s_2\), \(s_3\), \(s_4\), \(s_5\), \(s_6\), \(s_7\) et \(s_8\).
3. En déduire que : \(\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^8+\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^8=47\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\alpha^2+\alpha=1\) et \(\beta^2+\beta=1\) : \(s_{n+2}+s_{n+1}=\alpha^n\left(\alpha^2+\alpha\right)+\beta^n\left(\beta^2+\beta\right)=s_n\) ✔.
2. \(s_1=\alpha+\beta=-1\) et \(\alpha\beta=-1\) : \(s_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3\) ; puis \(s_{n+2}=s_n-s_{n+1}\) :
[] \(s_3=-4\) ; \(s_4=7\) ; \(s_5=-11\) ; \(s_6=18\) ; \(s_7=-29\) ; \(s_8=47\)
3. \(\Delta=5\) : \(\alpha=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) et \(\beta=-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\) ; puissance paire : \(\beta^8=\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^8\), donc la somme vaut \(s_8=47\) ✔.
2. \(s_1=\alpha+\beta=-1\) et \(\alpha\beta=-1\) : \(s_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3\) ; puis \(s_{n+2}=s_n-s_{n+1}\) :
[] \(s_3=-4\) ; \(s_4=7\) ; \(s_5=-11\) ; \(s_6=18\) ; \(s_7=-29\) ; \(s_8=47\)
3. \(\Delta=5\) : \(\alpha=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) et \(\beta=-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\) ; puissance paire : \(\beta^8=\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^8\), donc la somme vaut \(s_8=47\) ✔.