Exercice 1 (8 pts)
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(A\left(\dfrac{23\pi}{4}\right)\) et \(B\left(-\dfrac{19\pi}{6}\right)\).
2. Représenter sur le cercle trigonométrique les points \(M(x)\) dont les abscisses curvilignes \(x\) vérifient : \(3x\equiv0\ [2\pi]\).
3. Calculer \(\sin x\) puis \(\cos x\) sachant que \(\tan x=-\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{2}<x<\pi\).
4. Simplifier : \(A=1-(\cos x+\sin x)^2\).
5. On sait que \(\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\). Calculer \(\cos\dfrac{3\pi}{5}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{10}\).
6. \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(B\) tel que \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\).
a) Déterminer la mesure principale de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}\right)\).
b) Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AB}\right)\).
7. Résoudre dans \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right[\) l’inéquation : \(1-\tan x\geq0\).
2. Représenter sur le cercle trigonométrique les points \(M(x)\) dont les abscisses curvilignes \(x\) vérifient : \(3x\equiv0\ [2\pi]\).
3. Calculer \(\sin x\) puis \(\cos x\) sachant que \(\tan x=-\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{2}<x<\pi\).
4. Simplifier : \(A=1-(\cos x+\sin x)^2\).
5. On sait que \(\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\). Calculer \(\cos\dfrac{3\pi}{5}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{10}\).
6. \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(B\) tel que \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\).
a) Déterminer la mesure principale de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}\right)\).
b) Déterminer une mesure de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AB}\right)\).
7. Résoudre dans \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right[\) l’inéquation : \(1-\tan x\geq0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\dfrac{23\pi}{4}=6\pi-\dfrac{\pi}{4}\) et \(-\dfrac{19\pi}{6}=-4\pi+\dfrac{5\pi}{6}\) :
[] \(A\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(B\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\)
2. \(x=\dfrac{2k\pi}{3}\) :
[] trois points d’abscisses \(0\), \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(-\dfrac{2\pi}{3}\) (triangle équilatéral)
3. \(\cos^2x=\dfrac{9}{10}\) et \(\cos x<0\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\) et \(\sin x=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)
4.
[] \(A=1-(1+2\sin x\cos x)=-2\sin x\cos x\)
5. \(\dfrac{3\pi}{5}=\pi-\dfrac{2\pi}{5}\) et \(\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{5}\) :
[] \(\cos\dfrac{3\pi}{5}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{10}=\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)
6. Les angles géométriques : \(\widehat{A}=\widehat{C}=\dfrac{\pi}{6}\) et \(\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{3}\) ; le triangle est de sens indirect, donc \(\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{\pi}{6}\) et \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=-\dfrac{2\pi}{3}\).
a) \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}\right)=\pi+\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}\) :
[] mesure principale \(-\dfrac{5\pi}{6}\)
b) \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=-\dfrac{2\pi}{3}\) (on change le sens des deux vecteurs) :
[] \(-\dfrac{2\pi}{3}\)
7. \(\tan x\leq1\) ; \(\tan x=1\) pour \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{5\pi}{4}\), \(\tan\) n’est pas définie en \(\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(S=\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left]\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{4}\right]\)
[] \(A\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(B\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\)
2. \(x=\dfrac{2k\pi}{3}\) :
[] trois points d’abscisses \(0\), \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(-\dfrac{2\pi}{3}\) (triangle équilatéral)
3. \(\cos^2x=\dfrac{9}{10}\) et \(\cos x<0\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\) et \(\sin x=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)
4.
[] \(A=1-(1+2\sin x\cos x)=-2\sin x\cos x\)
5. \(\dfrac{3\pi}{5}=\pi-\dfrac{2\pi}{5}\) et \(\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{5}\) :
[] \(\cos\dfrac{3\pi}{5}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{10}=\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)
6. Les angles géométriques : \(\widehat{A}=\widehat{C}=\dfrac{\pi}{6}\) et \(\widehat{B}=\dfrac{2\pi}{3}\) ; le triangle est de sens indirect, donc \(\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{\pi}{6}\) et \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=-\dfrac{2\pi}{3}\).
a) \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA}\right)=\pi+\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}\) :
[] mesure principale \(-\dfrac{5\pi}{6}\)
b) \(\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=-\dfrac{2\pi}{3}\) (on change le sens des deux vecteurs) :
[] \(-\dfrac{2\pi}{3}\)
7. \(\tan x\leq1\) ; \(\tan x=1\) pour \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{5\pi}{4}\), \(\tan\) n’est pas définie en \(\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(S=\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left]\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{4}\right]\)
Exercice 2 (8 pts)
Le tableau suivant donne les notes (sur \(10\)) d’un devoir pour \(n\) élèves d’une classe de tronc commun scientifique :
| Note \(x_i\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(x\) |
| Fréquence \(f_i\) | \(0{,}1\) | \(0{,}1\) | \(0{,}2\) | \(0{,}2\) | \(0{,}3\) | \(f\) |
1. a) Déterminer la fréquence \(f\) de la note \(x\).
b) Calculer \(x\) sachant que la moyenne de la classe est \(5\).
2. On pose \(x=9\), \(f=0{,}1\) et \(n=20\).
a) Dresser le tableau des effectifs et des effectifs cumulés.
b) Déterminer le mode et la médiane \(M\).
c) Calculer l’écart-type \(\sigma\).
| Note \(x_i\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(x\) |
| Fréquence \(f_i\) | \(0{,}1\) | \(0{,}1\) | \(0{,}2\) | \(0{,}2\) | \(0{,}3\) | \(f\) |
1. a) Déterminer la fréquence \(f\) de la note \(x\).
b) Calculer \(x\) sachant que la moyenne de la classe est \(5\).
2. On pose \(x=9\), \(f=0{,}1\) et \(n=20\).
a) Dresser le tableau des effectifs et des effectifs cumulés.
b) Déterminer le mode et la médiane \(M\).
c) Calculer l’écart-type \(\sigma\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. a) \(\sum f_i=1\) : \(f=1-0{,}9\) :
[] \(f=0{,}1\)
b) \(\overline{x}=\sum f_ix_i=0{,}2+0{,}3+0{,}8+1+1{,}8+0{,}1x=4{,}1+0{,}1x=5\) :
[] \(x=9\)
2. a) \(n_i=20f_i\) : effectifs \(2\) ; \(2\) ; \(4\) ; \(4\) ; \(6\) ; \(2\) et effectifs cumulés \(2\) ; \(4\) ; \(8\) ; \(12\) ; \(18\) ; \(20\).
b)
[] mode \(6\) ; les \(10\)-ième et \(11\)-ième notes valent \(5\) :
[] \(M=5\)
c)
\(V=\sum f_ix_i^2-\overline{x}^2=0{,}4+0{,}9+3{,}2+5+10{,}8+8{,}1-25=3{,}4\)
[] \(\sigma=\sqrt{3{,}4}\approx1{,}84\)
[] \(f=0{,}1\)
b) \(\overline{x}=\sum f_ix_i=0{,}2+0{,}3+0{,}8+1+1{,}8+0{,}1x=4{,}1+0{,}1x=5\) :
[] \(x=9\)
2. a) \(n_i=20f_i\) : effectifs \(2\) ; \(2\) ; \(4\) ; \(4\) ; \(6\) ; \(2\) et effectifs cumulés \(2\) ; \(4\) ; \(8\) ; \(12\) ; \(18\) ; \(20\).
b)
[] mode \(6\) ; les \(10\)-ième et \(11\)-ième notes valent \(5\) :
[] \(M=5\)
c)
\(V=\sum f_ix_i^2-\overline{x}^2=0{,}4+0{,}9+3{,}2+5+10{,}8+8{,}1-25=3{,}4\)
[] \(\sigma=\sqrt{3{,}4}\approx1{,}84\)
Exercice 3 (4 pts)
A. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on pose : \(P(x)=\cos(x-3\pi)-\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{2}\right)\).
1. Calculer \(P(0)\).
2. Montrer que \(P(x)=-2\cos x\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation : \(2\cos x=\sqrt{2}\).
4. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’inéquation : \(2\cos x<\sqrt{2}\).
B. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’inéquation : \((2\sin x-1)(1-2\cos x)\geq0\).
1. Calculer \(P(0)\).
2. Montrer que \(P(x)=-2\cos x\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation : \(2\cos x=\sqrt{2}\).
4. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’inéquation : \(2\cos x<\sqrt{2}\).
B. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’inéquation : \((2\sin x-1)(1-2\cos x)\geq0\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
A. 1. \(P(0)=\cos(-3\pi)-\sin\dfrac{5\pi}{2}=-1-1\) :
[] \(P(0)=-2\)
2. \(\cos(x-3\pi)=\cos(x-\pi)=-\cos x\) et \(\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\) :
[] \(P(x)=-2\cos x\)
3. \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right\}\)
4. \(\cos x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : points à gauche de \(x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :
[] \(S=\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{4};\pi\right]\)
B. \(2\sin x-1\geq0\iff x\in\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right]\) et \(1-2\cos x\geq0\iff x\in\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{3};\pi\right]\) :
[] \(S=\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{6}\right]\)
[] \(P(0)=-2\)
2. \(\cos(x-3\pi)=\cos(x-\pi)=-\cos x\) et \(\sin\left(x+\dfrac{5\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\) :
[] \(P(x)=-2\cos x\)
3. \(\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4}\right\}\)
4. \(\cos x<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : points à gauche de \(x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :
[] \(S=\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{4}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{4};\pi\right]\)
B. \(2\sin x-1\geq0\iff x\in\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right]\) et \(1-2\cos x\geq0\iff x\in\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{3};\pi\right]\) :
[] \(S=\left[-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{6}\right]\)