Exercice 1 (10 pts)
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale associée à \(-\dfrac{115\pi}{3}\).
2. Représenter sur le cercle trigonométrique les points \(A\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\) et \(B\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\), puis déterminer la mesure principale de l’angle \(\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\).
3. Calculer \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\), \(\cos\left(-\dfrac{37\pi}{4}\right)\) et \(\tan\left(\dfrac{40\pi}{3}\right)\).
4. Calculer \(\cos x\) puis \(\sin x\) sachant que \(\tan x=\sqrt{2}\) et \(x\in\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right[\).
2. Représenter sur le cercle trigonométrique les points \(A\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)\) et \(B\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\), puis déterminer la mesure principale de l’angle \(\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\).
3. Calculer \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\), \(\cos\left(-\dfrac{37\pi}{4}\right)\) et \(\tan\left(\dfrac{40\pi}{3}\right)\).
4. Calculer \(\cos x\) puis \(\sin x\) sachant que \(\tan x=\sqrt{2}\) et \(x\in\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right[\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(-\dfrac{115\pi}{3}=-38\pi-\dfrac{\pi}{3}\) :
[] \(-\dfrac{\pi}{3}\)
2. \(\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{17\pi}{12}\equiv-\dfrac{7\pi}{12}\ [2\pi]\) :
[] \(-\dfrac{7\pi}{12}\)
3.
[] \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{37\pi}{4}=8\pi+\dfrac{5\pi}{4}\) : \(\cos\left(-\dfrac{37\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(\tan\dfrac{40\pi}{3}=\tan\left(13\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\)
4. \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}=\dfrac{1}{3}\) et \(\cos x<0\) sur cet intervalle :
[] \(\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) et \(\sin x=\tan x\cos x=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
[] \(-\dfrac{\pi}{3}\)
2. \(\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{17\pi}{12}\equiv-\dfrac{7\pi}{12}\ [2\pi]\) :
[] \(-\dfrac{7\pi}{12}\)
3.
[] \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{37\pi}{4}=8\pi+\dfrac{5\pi}{4}\) : \(\cos\left(-\dfrac{37\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{5\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(\tan\dfrac{40\pi}{3}=\tan\left(13\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\)
4. \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}=\dfrac{1}{3}\) et \(\cos x<0\) sur cet intervalle :
[] \(\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) et \(\sin x=\tan x\cos x=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
Exercice 2 (10 pts)
On considère, pour les réels \(x\) où elles sont définies, les expressions :
\(A(x)=\sin\left(\dfrac{17\pi}{2}+x\right)\tan(\pi+x)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\)
\(B(x)=\tan\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right)\sin(\pi-x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\tan(13\pi-x)\)
1. Montrer que \(A(x)=\sin x-\cos x\) et \(B(x)=\cos x+\sin x\).
2. Montrer que \(A(x)\times B(x)=1-2\cos^2x\).
3. Calculer \(\cos x\) sachant que \(A(x)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\), \(B(x)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) et \(x\in\left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right[\).
\(A(x)=\sin\left(\dfrac{17\pi}{2}+x\right)\tan(\pi+x)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\)
\(B(x)=\tan\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right)\sin(\pi-x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\tan(13\pi-x)\)
1. Montrer que \(A(x)=\sin x-\cos x\) et \(B(x)=\cos x+\sin x\).
2. Montrer que \(A(x)\times B(x)=1-2\cos^2x\).
3. Calculer \(\cos x\) sachant que \(A(x)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\), \(B(x)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) et \(x\in\left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right[\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\sin\left(\dfrac{17\pi}{2}+x\right)=\cos x\), \(\tan(\pi+x)=\tan x\), \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\), \(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\dfrac{\cos x}{\sin x}\) :
[] \(A(x)=\cos x\tan x-\cos x=\sin x-\cos x\)
\(\tan\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\), \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\), \(\tan(13\pi-x)=-\tan x\) :
[] \(B(x)=\cos x+\cos x\tan x=\cos x+\sin x\)
2. \(A(x)B(x)=\sin^2x-\cos^2x=1-\cos^2x-\cos^2x=1-2\cos^2x\) ✔.
3. \(B(x)-A(x)=2\cos x=\dfrac{\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1}{2}=-1\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{1}{2}\) (et \(x=\dfrac{2\pi}{3}\))
[] \(A(x)=\cos x\tan x-\cos x=\sin x-\cos x\)
\(\tan\left(\dfrac{13\pi}{2}-x\right)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\), \(\sin(\pi-x)=\sin x\), \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\), \(\tan(13\pi-x)=-\tan x\) :
[] \(B(x)=\cos x+\cos x\tan x=\cos x+\sin x\)
2. \(A(x)B(x)=\sin^2x-\cos^2x=1-\cos^2x-\cos^2x=1-2\cos^2x\) ✔.
3. \(B(x)-A(x)=2\cos x=\dfrac{\sqrt{3}-1-\sqrt{3}-1}{2}=-1\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{1}{2}\) (et \(x=\dfrac{2\pi}{3}\))