Exercice 1 (6 pts)
1. Calculer \(\cos x\) et \(\sin x\) sachant que \(\tan x=-\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{2}<x<\pi\).
2. Simplifier le nombre : \(A=1-(\cos x-\sin x)^2\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) par la méthode de Cramer le système : \(\begin{cases}3x-y=13\\2x+5y=3\end{cases}\)
4. Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases}x-y+2\geq0\\x-y\leq0\end{cases}\)
5. Calculer : \(A=\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\cos^2\dfrac{3\pi}{8}+\cos^2\dfrac{5\pi}{8}+\cos^2\dfrac{7\pi}{8}\).
6. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(4x^2-11x+6=0\).
b) Déterminer la longueur et la largeur d’un champ rectangulaire dont le périmètre est \(\dfrac{11}{2}\ m\) et l’aire \(\dfrac{3}{2}\ m^2\).
2. Simplifier le nombre : \(A=1-(\cos x-\sin x)^2\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) par la méthode de Cramer le système : \(\begin{cases}3x-y=13\\2x+5y=3\end{cases}\)
4. Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases}x-y+2\geq0\\x-y\leq0\end{cases}\)
5. Calculer : \(A=\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\cos^2\dfrac{3\pi}{8}+\cos^2\dfrac{5\pi}{8}+\cos^2\dfrac{7\pi}{8}\).
6. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(4x^2-11x+6=0\).
b) Déterminer la longueur et la largeur d’un champ rectangulaire dont le périmètre est \(\dfrac{11}{2}\ m\) et l’aire \(\dfrac{3}{2}\ m^2\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\frac{1}{9}}=\dfrac{9}{10}\) et \(\cos x<0\) :
[] \(\cos x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\) et \(\sin x=\tan x\cos x=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)
2. \(A=1-(1-2\sin x\cos x)\) :
[] \(A=2\sin x\cos x\)
3. \(\Delta=15+2=17\), \(\Delta_x=65+3=68\), \(\Delta_y=9-26=-17\) :
[] \(S=\{(4;-1)\}\)
4. \(x\leq y\leq x+2\) :
[] les solutions sont les points de la bande comprise entre les droites \(y=x\) et \(y=x+2\) (bords compris)
5. \(\cos\dfrac{7\pi}{8}=-\cos\dfrac{\pi}{8}\), \(\cos\dfrac{5\pi}{8}=-\cos\dfrac{3\pi}{8}\) et \(\cos\dfrac{3\pi}{8}=\sin\dfrac{\pi}{8}\) : \(A=2\left(\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\sin^2\dfrac{\pi}{8}\right)\) :
[] \(A=2\)
6. a) \(\Delta=121-96=25\) : \(x=\dfrac{11\pm5}{8}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{3}{4};2\right\}\)
b) \(L+\ell=\dfrac{11}{4}\) et \(L\ell=\dfrac{3}{2}\) : \(L\) et \(\ell\) sont les solutions de \(X^2-\dfrac{11}{4}X+\dfrac{3}{2}=0\iff4X^2-11X+6=0\) :
[] \(L=2\) m et \(\ell=\dfrac{3}{4}\) m
[] \(\cos x=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\) et \(\sin x=\tan x\cos x=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)
2. \(A=1-(1-2\sin x\cos x)\) :
[] \(A=2\sin x\cos x\)
3. \(\Delta=15+2=17\), \(\Delta_x=65+3=68\), \(\Delta_y=9-26=-17\) :
[] \(S=\{(4;-1)\}\)
4. \(x\leq y\leq x+2\) :
[] les solutions sont les points de la bande comprise entre les droites \(y=x\) et \(y=x+2\) (bords compris)
5. \(\cos\dfrac{7\pi}{8}=-\cos\dfrac{\pi}{8}\), \(\cos\dfrac{5\pi}{8}=-\cos\dfrac{3\pi}{8}\) et \(\cos\dfrac{3\pi}{8}=\sin\dfrac{\pi}{8}\) : \(A=2\left(\cos^2\dfrac{\pi}{8}+\sin^2\dfrac{\pi}{8}\right)\) :
[] \(A=2\)
6. a) \(\Delta=121-96=25\) : \(x=\dfrac{11\pm5}{8}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{3}{4};2\right\}\)
b) \(L+\ell=\dfrac{11}{4}\) et \(L\ell=\dfrac{3}{2}\) : \(L\) et \(\ell\) sont les solutions de \(X^2-\dfrac{11}{4}X+\dfrac{3}{2}=0\iff4X^2-11X+6=0\) :
[] \(L=2\) m et \(\ell=\dfrac{3}{4}\) m
Exercice 2 (5.5 pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O;\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\) et \((\mathcal{C})\) est le cercle trigonométrique associé. On considère les points \(I\left(\dfrac{16\pi}{3}\right)\) et \(J\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)\).
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(I\) et \(J\).
2. Soit \(J’\) le symétrique de \(J\) par rapport au centre \(O\). Déterminer l’abscisse curviligne principale de \(J’\).
3. Représenter les points \(I\), \(J\) et \(J’\) sur \((\mathcal{C})\).
4. Déterminer les coordonnées des points \(I\), \(J\) et \(J’\).
5. Calculer \(\tan\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)\).
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(I\) et \(J\).
2. Soit \(J’\) le symétrique de \(J\) par rapport au centre \(O\). Déterminer l’abscisse curviligne principale de \(J’\).
3. Représenter les points \(I\), \(J\) et \(J’\) sur \((\mathcal{C})\).
4. Déterminer les coordonnées des points \(I\), \(J\) et \(J’\).
5. Calculer \(\tan\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\dfrac{16\pi}{3}=6\pi-\dfrac{2\pi}{3}\) et \(-\dfrac{17\pi}{4}=-4\pi-\dfrac{\pi}{4}\) :
[] \(I\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\) et \(J\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
2. La symétrie de centre \(O\) ajoute \(\pi\) : \(-\dfrac{\pi}{4}+\pi\) :
[] \(J’\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
4.
[] \(I\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) ; \(J\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) ; \(J’\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
5.
[] \(\tan\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)=\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\)
[] \(I\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\) et \(J\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
2. La symétrie de centre \(O\) ajoute \(\pi\) : \(-\dfrac{\pi}{4}+\pi\) :
[] \(J’\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
4.
[] \(I\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) ; \(J\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) ; \(J’\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
5.
[] \(\tan\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)=\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\)
Exercice 3 (5.5 pts)
On considère la série statistique \((x_i;n_i)\) qui donne le nombre de membres de chaque famille d’un quartier :
| Nombre de membres \(x_i\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| Nombre de familles \(n_i\) | \(2\) | \(3\) | \(7\) | \(4\) | \(4\) |
1. Dresser un tableau comportant les effectifs cumulés.
2. Quel est le mode de cette série ?
3. Calculer la fréquence \(f\) et le pourcentage \(p\) correspondant à la valeur \(5\).
4. Calculer la moyenne \(\overline{x}\) du nombre de membres par famille.
5. Calculer la médiane \(M\).
6. Calculer la variance \(V\).
| Nombre de membres \(x_i\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
| Nombre de familles \(n_i\) | \(2\) | \(3\) | \(7\) | \(4\) | \(4\) |
1. Dresser un tableau comportant les effectifs cumulés.
2. Quel est le mode de cette série ?
3. Calculer la fréquence \(f\) et le pourcentage \(p\) correspondant à la valeur \(5\).
4. Calculer la moyenne \(\overline{x}\) du nombre de membres par famille.
5. Calculer la médiane \(M\).
6. Calculer la variance \(V\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(N=20\) ; effectifs cumulés : \(2\) ; \(5\) ; \(12\) ; \(16\) ; \(20\).
2.
[] le mode est \(4\) ; 3.
[] \(f=\dfrac{4}{20}=0{,}2\) et \(p=20\,\%\)
4.
\(\overline{x}=\dfrac{2+6+28+20+24}{20}=\dfrac{80}{20}=4\)
5. Les \(10\)-ième et \(11\)-ième valeurs valent \(4\) (\(5<10<11\leq12\)) :
[] \(M=4\)
6. \(\sum n_ix_i^2=2+12+112+100+144=370\) : \(V=\dfrac{370}{20}-4^2\) :
[] \(V=2{,}5\)
2.
[] le mode est \(4\) ; 3.
[] \(f=\dfrac{4}{20}=0{,}2\) et \(p=20\,\%\)
4.
\(\overline{x}=\dfrac{2+6+28+20+24}{20}=\dfrac{80}{20}=4\)
5. Les \(10\)-ième et \(11\)-ième valeurs valent \(4\) (\(5<10<11\leq12\)) :
[] \(M=4\)
6. \(\sum n_ix_i^2=2+12+112+100+144=370\) : \(V=\dfrac{370}{20}-4^2\) :
[] \(V=2{,}5\)
Exercice 4 (3 pts)
Pour \(x\in\mathbb{R}\), on pose : \(P(x)=\cos^6x+\sin^6x-\dfrac{1}{4}\).
1. Montrer que \(P(x)=\dfrac{3}{4}\left(2\cos^2x-1\right)^2\).
2. Écrire \(P(x)\) en fonction de \(\tan x\), pour \(x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
3. Calculer \(P(x)\) sachant que \(\tan x=-\sqrt{2}\).
1. Montrer que \(P(x)=\dfrac{3}{4}\left(2\cos^2x-1\right)^2\).
2. Écrire \(P(x)\) en fonction de \(\tan x\), pour \(x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).
3. Calculer \(P(x)\) sachant que \(\tan x=-\sqrt{2}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(\cos^6x+\sin^6x=1-3\cos^2x\sin^2x\), donc \(P(x)=\dfrac{3}{4}-3\cos^2x\left(1-\cos^2x\right)=3\cos^4x-3\cos^2x+\dfrac{3}{4}\).
[] \(\dfrac{3}{4}\left(4\cos^4x-4\cos^2x+1\right)=\dfrac{3}{4}\left(2\cos^2x-1\right)^2\) ✔
2. \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}\) :
\(2\cos^2x-1=\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}\ ;\ P(x)=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}\right)^2\)
3. \(\dfrac{1-2}{1+2}=-\dfrac{1}{3}\) :
[] \(P(x)=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{12}\)
[] \(\dfrac{3}{4}\left(4\cos^4x-4\cos^2x+1\right)=\dfrac{3}{4}\left(2\cos^2x-1\right)^2\) ✔
2. \(\cos^2x=\dfrac{1}{1+\tan^2x}\) :
\(2\cos^2x-1=\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}\ ;\ P(x)=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}\right)^2\)
3. \(\dfrac{1-2}{1+2}=-\dfrac{1}{3}\) :
[] \(P(x)=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{12}\)