Exercice 1 (5 pts)
1. Simplifier : \(A(x)=\cos\left(\dfrac{17\pi}{2}-x\right)-\sin(x+3\pi)+\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)-\sin(13\pi-x)\).
2. Simplifier : \(B(x)=\dfrac{\sin^2x-\sin^4x}{\cos^2x-\cos^4x}\) (pour \(\sin x\cos x\neq0\)).
3. Montrer que : \(\cos^2\dfrac{\pi}{5}+\cos^2\dfrac{3\pi}{10}=1\).
4. \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(A\) tel que \(\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{5}\ [2\pi]\). Déterminer la mesure principale de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CB}\right)\).
5. Soit \(x\) un réel tel que \(\cos x\neq0\).
a) Montrer que \(\sin^2x=\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2x}\).
b) Calculer \(\sin x\) puis \(\cos x\) sachant que \(\tan x=\dfrac{1}{3}\) et \(-\pi<x<-\dfrac{\pi}{2}\).
2. Simplifier : \(B(x)=\dfrac{\sin^2x-\sin^4x}{\cos^2x-\cos^4x}\) (pour \(\sin x\cos x\neq0\)).
3. Montrer que : \(\cos^2\dfrac{\pi}{5}+\cos^2\dfrac{3\pi}{10}=1\).
4. \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(A\) tel que \(\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{5}\ [2\pi]\). Déterminer la mesure principale de l’angle orienté \(\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CB}\right)\).
5. Soit \(x\) un réel tel que \(\cos x\neq0\).
a) Montrer que \(\sin^2x=\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2x}\).
b) Calculer \(\sin x\) puis \(\cos x\) sachant que \(\tan x=\dfrac{1}{3}\) et \(-\pi<x<-\dfrac{\pi}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\cos\left(\dfrac{17\pi}{2}-x\right)=\sin x\) ; \(\sin(x+3\pi)=-\sin x\) ; \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=-\sin x\) ; \(\sin(13\pi-x)=\sin x\) :
[] \(A(x)=\sin x+\sin x-\sin x-\sin x=0\)
2. \(B(x)=\dfrac{\sin^2x\left(1-\sin^2x\right)}{\cos^2x\left(1-\cos^2x\right)}=\dfrac{\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x\sin^2x}\) :
[] \(B(x)=1\)
3. \(\dfrac{3\pi}{10}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{5}\), donc \(\cos\dfrac{3\pi}{10}=\sin\dfrac{\pi}{5}\) et la somme vaut \(\cos^2\dfrac{\pi}{5}+\sin^2\dfrac{\pi}{5}=1\) ✔.
4. Isocèle en \(A\) : \(\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{\pi}{5}\) ; comme \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=-\dfrac{\pi}{5}\), le triangle est indirect et \(\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{\pi}{5}\).
[] \(\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CB}\right)=\pi+\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right)=\pi-\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{4\pi}{5}\)
5. a) \(\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2x}=\tan^2x\cos^2x=\sin^2x\) ✔.
b) \(\sin^2x=\dfrac{1/9}{10/9}=\dfrac{1}{10}\) et \(\sin x<0\) :
[] \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\) et \(\cos x=\dfrac{\sin x}{\tan x}=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
[] \(A(x)=\sin x+\sin x-\sin x-\sin x=0\)
2. \(B(x)=\dfrac{\sin^2x\left(1-\sin^2x\right)}{\cos^2x\left(1-\cos^2x\right)}=\dfrac{\sin^2x\cos^2x}{\cos^2x\sin^2x}\) :
[] \(B(x)=1\)
3. \(\dfrac{3\pi}{10}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{5}\), donc \(\cos\dfrac{3\pi}{10}=\sin\dfrac{\pi}{5}\) et la somme vaut \(\cos^2\dfrac{\pi}{5}+\sin^2\dfrac{\pi}{5}=1\) ✔.
4. Isocèle en \(A\) : \(\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{\pi}{5}\) ; comme \(\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=-\dfrac{\pi}{5}\), le triangle est indirect et \(\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right)=-\dfrac{\pi}{5}\).
[] \(\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CB}\right)=\pi+\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right)=\pi-\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{4\pi}{5}\)
5. a) \(\dfrac{\tan^2x}{1+\tan^2x}=\tan^2x\cos^2x=\sin^2x\) ✔.
b) \(\sin^2x=\dfrac{1/9}{10/9}=\dfrac{1}{10}\) et \(\sin x<0\) :
[] \(\sin x=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\) et \(\cos x=\dfrac{\sin x}{\tan x}=-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)
Exercice 2 (4.5 pts)
Soit \((\mathcal{U})\) un cercle trigonométrique associé au repère orthonormé \(\left(O;\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)\). On considère les points \(E\) et \(F\) d’abscisses curvilignes respectives \(-\dfrac{152\pi}{3}\) et \(\dfrac{460\pi}{6}\).
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(E\) et \(F\), puis les représenter sur \((\mathcal{U})\).
2. Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés \(\left(\overrightarrow{OE};\overrightarrow{OF}\right)\) puis \(\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right)\).
3. Montrer que la droite \((OA)\) est la médiatrice du segment \([EF]\) et en déduire la nature du triangle \(AEF\).
1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des points \(E\) et \(F\), puis les représenter sur \((\mathcal{U})\).
2. Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés \(\left(\overrightarrow{OE};\overrightarrow{OF}\right)\) puis \(\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right)\).
3. Montrer que la droite \((OA)\) est la médiatrice du segment \([EF]\) et en déduire la nature du triangle \(AEF\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(-\dfrac{152\pi}{3}=-50\pi-\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\dfrac{460\pi}{6}=\dfrac{230\pi}{3}=76\pi+\dfrac{2\pi}{3}\) :
[] \(E\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\) et \(F\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
2. \(\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\equiv-\dfrac{2\pi}{3}\) :
[] \(\left(\overrightarrow{OE};\overrightarrow{OF}\right)=-\dfrac{2\pi}{3}\)
\(A(1;0)\), \(E\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(F\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) : \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AF}\) font avec \(\vec{i}\) des angles \(-\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\dfrac{5\pi}{6}\), donc \(\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right)=\dfrac{5\pi}{3}\equiv-\dfrac{\pi}{3}\) :
[] \(-\dfrac{\pi}{3}\)
3. \(E\) et \(F\) ont la même abscisse et des ordonnées opposées : elles sont symétriques par rapport à \((OA)\), qui est donc la médiatrice de \([EF]\). Ainsi \(AE=AF\) et \(\widehat{EAF}=\dfrac{\pi}{3}\) :
[] \(AEF\) est équilatéral
[] \(E\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\) et \(F\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\)
2. \(\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\equiv-\dfrac{2\pi}{3}\) :
[] \(\left(\overrightarrow{OE};\overrightarrow{OF}\right)=-\dfrac{2\pi}{3}\)
\(A(1;0)\), \(E\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), \(F\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) : \(\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AF}\) font avec \(\vec{i}\) des angles \(-\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\dfrac{5\pi}{6}\), donc \(\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right)=\dfrac{5\pi}{3}\equiv-\dfrac{\pi}{3}\) :
[] \(-\dfrac{\pi}{3}\)
3. \(E\) et \(F\) ont la même abscisse et des ordonnées opposées : elles sont symétriques par rapport à \((OA)\), qui est donc la médiatrice de \([EF]\). Ainsi \(AE=AF\) et \(\widehat{EAF}=\dfrac{\pi}{3}\) :
[] \(AEF\) est équilatéral
Exercice 3 (6 pts)
1. Recopier et compléter le tableau suivant d’une série statistique de \(50\) élèves qui empruntent des livres à la bibliothèque scolaire pendant une année :
| Nombre de livres \(x_i\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(10\) | Total |
| Nombre d’élèves \(n_i\) | \(12\) | | | | \(3\) | \(50\) |
| Fréquence \(f_i\) | | | | \(0{,}02\) | | |
| Pourcentage \(p_i\) | | \(40\,\%\) | | | | |
2. Déterminer le mode et la médiane \(M\) de cette série statistique.
3. Calculer la moyenne arithmétique \(m\) de cette série statistique.
4. Quel est le pourcentage des élèves qui empruntent au moins \(4\) livres ?
5. Calculer la variance \(V\) de cette série statistique.
| Nombre de livres \(x_i\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(10\) | Total |
| Nombre d’élèves \(n_i\) | \(12\) | | | | \(3\) | \(50\) |
| Fréquence \(f_i\) | | | | \(0{,}02\) | | |
| Pourcentage \(p_i\) | | \(40\,\%\) | | | | |
2. Déterminer le mode et la médiane \(M\) de cette série statistique.
3. Calculer la moyenne arithmétique \(m\) de cette série statistique.
4. Quel est le pourcentage des élèves qui empruntent au moins \(4\) livres ?
5. Calculer la variance \(V\) de cette série statistique.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(n=50\times0{,}4=20\) (pour \(3\)) ; \(n=50\times0{,}02=1\) (pour \(7\)) ; pour \(5\) : \(50-12-20-1-3=14\).
| \(x_i\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(10\) |
| \(n_i\) | \(12\) | \(20\) | \(14\) | \(1\) | \(3\) |
| \(f_i\) | \(0{,}24\) | \(0{,}4\) | \(0{,}28\) | \(0{,}02\) | \(0{,}06\) |
| \(p_i\) | \(24\,\%\) | \(40\,\%\) | \(28\,\%\) | \(2\,\%\) | \(6\,\%\) |
2.
[] le mode est \(3\) ; effectifs cumulés \(12\) ; \(32\) ; … : les \(25\)-ième et \(26\)-ième valeurs valent \(3\) :
[] \(M=3\)
3.
\(m=\dfrac{24+60+70+7+30}{50}=\dfrac{191}{50}=3{,}82\)
4. \(x_i\geq4\) : \(14+1+3=18\) élèves :
[] \(\dfrac{18}{50}=36\,\%\)
5. \(\sum n_ix_i^2=48+180+350+49+300=927\) : \(V=\dfrac{927}{50}-3{,}82^2=18{,}54-14{,}5924\) :
[] \(V=3{,}9476\)
| \(x_i\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) | \(10\) |
| \(n_i\) | \(12\) | \(20\) | \(14\) | \(1\) | \(3\) |
| \(f_i\) | \(0{,}24\) | \(0{,}4\) | \(0{,}28\) | \(0{,}02\) | \(0{,}06\) |
| \(p_i\) | \(24\,\%\) | \(40\,\%\) | \(28\,\%\) | \(2\,\%\) | \(6\,\%\) |
2.
[] le mode est \(3\) ; effectifs cumulés \(12\) ; \(32\) ; … : les \(25\)-ième et \(26\)-ième valeurs valent \(3\) :
[] \(M=3\)
3.
\(m=\dfrac{24+60+70+7+30}{50}=\dfrac{191}{50}=3{,}82\)
4. \(x_i\geq4\) : \(14+1+3=18\) élèves :
[] \(\dfrac{18}{50}=36\,\%\)
5. \(\sum n_ix_i^2=48+180+350+49+300=927\) : \(V=\dfrac{927}{50}-3{,}82^2=18{,}54-14{,}5924\) :
[] \(V=3{,}9476\)
Exercice 4 (4.5 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(2\sin x-\sqrt{3}=0\).
2. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation : \(2\sin(2x)-\sqrt{3}=0\) et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
3. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’inéquation : \(2\cos x-\sqrt{3}\leq0\).
4. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation : \(\sqrt{3}\tan x+3>0\).
2. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation : \(2\sin(2x)-\sqrt{3}=0\) et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
3. Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’inéquation : \(2\cos x-\sqrt{3}\leq0\).
4. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation : \(\sqrt{3}\tan x+3>0\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(\sin x=\sin\dfrac{\pi}{3}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}+2k\pi;\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}\)
2. \(2x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(2x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) ou \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}{6};-\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right\}\)
3. \(\cos x\leq\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :
[] \(S=\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{6};\pi\right]\)
4. \(\tan x>-\sqrt{3}\) ; \(\tan x=-\sqrt{3}\) pour \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\), et \(\tan\) n’est pas définie en \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\) :
[] \(S=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{3\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{5\pi}{3};2\pi\right]\)
[] \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}+2k\pi;\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi/k\in\mathbb{Z}\right\}\)
2. \(2x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(2x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\) ou \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\) :
[] \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}{6};-\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right\}\)
3. \(\cos x\leq\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :
[] \(S=\left[-\pi;-\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{\pi}{6};\pi\right]\)
4. \(\tan x>-\sqrt{3}\) ; \(\tan x=-\sqrt{3}\) pour \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\), et \(\tan\) n’est pas définie en \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\) :
[] \(S=\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{3\pi}{2}\right[\cup\left]\dfrac{5\pi}{3};2\pi\right]\)