Exercice 1 (3 pts)
1. Calculer : \(A=\sqrt{45-20\sqrt{5}}-5\) et \(B=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\).
2. Factoriser : \(P(x)=x^3+125+5\left(x^2-25\right)\).
2. Factoriser : \(P(x)=x^3+125+5\left(x^2-25\right)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\left(5-2\sqrt{5}\right)^2=25-20\sqrt{5}+20=45-20\sqrt{5}\) et \(5-2\sqrt{5}>0\) (\(20<25\)) : \(A=5-2\sqrt{5}-5\) :
[] \(A=-2\sqrt{5}\)
Même dénominateur \(\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)=3\) :
\(B=\dfrac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^2}{3}=\dfrac{-4\sqrt{10}}{3}\)
2. \(x^3+125=(x+5)\left(x^2-5x+25\right)\) :
\(P(x)=(x+5)\left(x^2-5x+25+5x-25\right)\)
[] \(P(x)=x^2(x+5)\)
[] \(A=-2\sqrt{5}\)
Même dénominateur \(\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)=3\) :
\(B=\dfrac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)^2}{3}=\dfrac{-4\sqrt{10}}{3}\)
2. \(x^3+125=(x+5)\left(x^2-5x+25\right)\) :
\(P(x)=(x+5)\left(x^2-5x+25+5x-25\right)\)
[] \(P(x)=x^2(x+5)\)
Exercice 2 (5 pts)
1. Soient les intervalles \(I=]-\infty;3[\) et \(J=]-3;18]\). Représenter \(I\) et \(J\), puis déterminer \(I\cup J\) et \(I\cap J\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\left|\dfrac{3x-2}{5}\right|=4\) ; \(\left||2x+7|+1\right|=5\) ; \(|3x+5|<4\) ; \(\left|\dfrac{2x+5}{4}\right|\geq2\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\left|\dfrac{3x-2}{5}\right|=4\) ; \(\left||2x+7|+1\right|=5\) ; \(|3x+5|<4\) ; \(\left|\dfrac{2x+5}{4}\right|\geq2\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1.
[] \(I\cup J=]-\infty;18]\) et \(I\cap J=]-3;3[\)
2. \(3x-2=\pm20\) : \(S_1=\left\{-6;\dfrac{22}{3}\right\}\) ; \(|2x+7|+1>0\) donc \(|2x+7|=4\) : \(S_2=\left\{-\dfrac{11}{2};-\dfrac{3}{2}\right\}\).
\(-4<3x+5<4\iff-3<x<-\dfrac{1}{3}\) : \(S_3=\left]-3;-\dfrac{1}{3}\right[\) ; \(|2x+5|\geq8\) :
[] \(S_4=\left]-\infty;-\dfrac{13}{2}\right]\cup\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[\)
[] \(I\cup J=]-\infty;18]\) et \(I\cap J=]-3;3[\)
2. \(3x-2=\pm20\) : \(S_1=\left\{-6;\dfrac{22}{3}\right\}\) ; \(|2x+7|+1>0\) donc \(|2x+7|=4\) : \(S_2=\left\{-\dfrac{11}{2};-\dfrac{3}{2}\right\}\).
\(-4<3x+5<4\iff-3<x<-\dfrac{1}{3}\) : \(S_3=\left]-3;-\dfrac{1}{3}\right[\) ; \(|2x+5|\geq8\) :
[] \(S_4=\left]-\infty;-\dfrac{13}{2}\right]\cup\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[\)
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(x\in[2;3]\). On pose \(A=\dfrac{2x+1}{x+1}\).
1. Donner un encadrement de \(\dfrac{1}{x+1}\).
2. En déduire que \(\dfrac{5}{4}\leq A\leq\dfrac{7}{3}\).
3. a) Vérifier que \(A=2-\dfrac{1}{x+1}\).
b) En déduire un encadrement de \(A\) d’amplitude \(\dfrac{1}{12}\).
c) Montrer que \(\left|A-\dfrac{41}{24}\right|\leq\dfrac{1}{24}\).
d) En déduire une valeur approchée de \(A\) à \(\dfrac{1}{24}\) près.
1. Donner un encadrement de \(\dfrac{1}{x+1}\).
2. En déduire que \(\dfrac{5}{4}\leq A\leq\dfrac{7}{3}\).
3. a) Vérifier que \(A=2-\dfrac{1}{x+1}\).
b) En déduire un encadrement de \(A\) d’amplitude \(\dfrac{1}{12}\).
c) Montrer que \(\left|A-\dfrac{41}{24}\right|\leq\dfrac{1}{24}\).
d) En déduire une valeur approchée de \(A\) à \(\dfrac{1}{24}\) près.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(3\leq x+1\leq4\) :
[] \(\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x+1}\leq\dfrac{1}{3}\)
2. \(5\leq2x+1\leq7\) (positifs) : \(\dfrac{5}{4}\leq A\leq\dfrac{7}{3}\) ✔.
3. a) \(2-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x+2-1}{x+1}=A\) ✔ ; b) \(-\dfrac{1}{3}\leq-\dfrac{1}{x+1}\leq-\dfrac{1}{4}\) :
[] \(\dfrac{5}{3}\leq A\leq\dfrac{7}{4}\) (amplitude \(\dfrac{21-20}{12}=\dfrac{1}{12}\))
c) Centre \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{40}{24}+\dfrac{42}{24}\right)=\dfrac{41}{24}\) et rayon \(\dfrac{1}{24}\) : \(\left|A-\dfrac{41}{24}\right|\leq\dfrac{1}{24}\) ✔.
[] d) \(\dfrac{41}{24}\) est une valeur approchée de \(A\) à \(\dfrac{1}{24}\) près
[] \(\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x+1}\leq\dfrac{1}{3}\)
2. \(5\leq2x+1\leq7\) (positifs) : \(\dfrac{5}{4}\leq A\leq\dfrac{7}{3}\) ✔.
3. a) \(2-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x+2-1}{x+1}=A\) ✔ ; b) \(-\dfrac{1}{3}\leq-\dfrac{1}{x+1}\leq-\dfrac{1}{4}\) :
[] \(\dfrac{5}{3}\leq A\leq\dfrac{7}{4}\) (amplitude \(\dfrac{21-20}{12}=\dfrac{1}{12}\))
c) Centre \(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{40}{24}+\dfrac{42}{24}\right)=\dfrac{41}{24}\) et rayon \(\dfrac{1}{24}\) : \(\left|A-\dfrac{41}{24}\right|\leq\dfrac{1}{24}\) ✔.
[] d) \(\dfrac{41}{24}\) est une valeur approchée de \(A\) à \(\dfrac{1}{24}\) près
Exercice 4 (4 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(x\geq\dfrac{1}{5}\) ; \(y\leq3\) et \(x-y=2\).
1. Calculer : \(A=\sqrt{(5x-1)^2}+\sqrt{(5y-15)^2}\).
2. Montrer que \(\dfrac{1}{5}\leq x\leq5\) et \(-\dfrac{9}{5}\leq y\leq3\).
3. Calculer : \(B=|x+y-8|+\left|x+y+\dfrac{8}{5}\right|\).
1. Calculer : \(A=\sqrt{(5x-1)^2}+\sqrt{(5y-15)^2}\).
2. Montrer que \(\dfrac{1}{5}\leq x\leq5\) et \(-\dfrac{9}{5}\leq y\leq3\).
3. Calculer : \(B=|x+y-8|+\left|x+y+\dfrac{8}{5}\right|\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(5x-1\geq0\) et \(5y-15\leq0\) : \(A=5x-1+15-5y=5(x-y)+14\) :
[] \(A=24\)
2. \(x=y+2\leq5\) et \(y=x-2\geq\dfrac{1}{5}-2=-\dfrac{9}{5}\) ✔.
3. \(x+y=2y+2\in\left[-\dfrac{8}{5};8\right]\) : \(B=8-x-y+x+y+\dfrac{8}{5}\) :
[] \(B=\dfrac{48}{5}\)
[] \(A=24\)
2. \(x=y+2\leq5\) et \(y=x-2\geq\dfrac{1}{5}-2=-\dfrac{9}{5}\) ✔.
3. \(x+y=2y+2\in\left[-\dfrac{8}{5};8\right]\) : \(B=8-x-y+x+y+\dfrac{8}{5}\) :
[] \(B=\dfrac{48}{5}\)
Exercice 5 (2 pts)
1. Soit \(a\in[1;2]\). Montrer que \(\dfrac{a^3+2}{a^2+1}\in\left[\dfrac{3}{5};5\right]\).
2. Montrer que pour tout \(x\in[0;1]\) : \(\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+3}\geq x\).
3. Comparer \(a=\sqrt{6}\) et \(b=\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\).
2. Montrer que pour tout \(x\in[0;1]\) : \(\dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+3}\geq x\).
3. Comparer \(a=\sqrt{6}\) et \(b=\sqrt{3}-\sqrt{2}+1\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
1. \(3\leq a^3+2\leq10\) et \(\dfrac{1}{5}\leq\dfrac{1}{a^2+1}\leq\dfrac{1}{2}\) (positifs) : produit dans \(\left[\dfrac{3}{5};5\right]\) ✔.
2. Nombres positifs : \(\sqrt{x^2+3}\geq2x\iff x^2+3\geq4x^2\iff x^2\leq1\), vrai sur \([0;1]\) ✔.
3.
\(a-b=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-1=\sqrt{3}\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(\sqrt{2}-1\right)=\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)>0\)
[] \(a>b\)
2. Nombres positifs : \(\sqrt{x^2+3}\geq2x\iff x^2+3\geq4x^2\iff x^2\leq1\), vrai sur \([0;1]\) ✔.
3.
\(a-b=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-1=\sqrt{3}\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(\sqrt{2}-1\right)=\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)>0\)
[] \(a>b\)