Exercice 1 (7 pts)
On considère le polynôme \(P(x)=3x^4-4x^3-11x^2+16x-4\).
1. Vérifier que les nombres \(1\) et \(2\) sont des racines de \(P(x)\).
2. Montrer que \(P(x)=(x-1)Q(x)\) avec \(Q(x)=3x^3-x^2-12x+4\).
3. En utilisant l’égalité de deux polynômes, trouver trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(Q(x)=(x-2)\left(ax^2+bx+c\right)\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(3x^2+5x-2=0\).
5. En déduire une factorisation de \(P(x)\) en produit de quatre polynômes du premier degré.
1. Vérifier que les nombres \(1\) et \(2\) sont des racines de \(P(x)\).
2. Montrer que \(P(x)=(x-1)Q(x)\) avec \(Q(x)=3x^3-x^2-12x+4\).
3. En utilisant l’égalité de deux polynômes, trouver trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(Q(x)=(x-2)\left(ax^2+bx+c\right)\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(3x^2+5x-2=0\).
5. En déduire une factorisation de \(P(x)\) en produit de quatre polynômes du premier degré.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(P(1)=3-4-11+16-4=0\) et \(P(2)=48-32-44+32-4=0\) ✔.
2.
\((x-1)\left(3x^3-x^2-12x+4\right)=3x^4-x^3-12x^2+4x-3x^3+x^2+12x-4=P(x)\)
3.
\((x-2)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\)
[] \(a=3\) ; \(b-6=-1\) donc \(b=5\) ; \(-2c=4\) donc \(c=-2\) (et \(c-2b=-12\) ✔)
4. \(\Delta=25+24=49\) : \(x=\dfrac{-5\pm7}{6}\) :
[] \(S=\left\{-2;\dfrac{1}{3}\right\}\)
5. \(3x^2+5x-2=(x+2)(3x-1)\) :
[] \(P(x)=(x-1)(x-2)(x+2)(3x-1)\)
2.
\((x-1)\left(3x^3-x^2-12x+4\right)=3x^4-x^3-12x^2+4x-3x^3+x^2+12x-4=P(x)\)
3.
\((x-2)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\)
[] \(a=3\) ; \(b-6=-1\) donc \(b=5\) ; \(-2c=4\) donc \(c=-2\) (et \(c-2b=-12\) ✔)
4. \(\Delta=25+24=49\) : \(x=\dfrac{-5\pm7}{6}\) :
[] \(S=\left\{-2;\dfrac{1}{3}\right\}\)
5. \(3x^2+5x-2=(x+2)(3x-1)\) :
[] \(P(x)=(x-1)(x-2)(x+2)(3x-1)\)
Exercice 2 (8 pts)
On considère les équations \((E_1)\) : \(2x^2-3x-2=0\) et \((E_2)\) : \(-9x^2-4x+5=0\), et l’inéquation \((F)\) : \(\dfrac{-9x^2-4x+5}{2x^2-3x-2}\leq0\).
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((E_1)\), puis en déduire le domaine de définition de \((F)\).
2. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((E_2)\).
b) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \((E_3)\) : \(-9x^4-4x^2+5=0\).
3. a) Dresser le tableau de signes du quotient \(\dfrac{-9x^2-4x+5}{2x^2-3x-2}\).
b) En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation \((F)\).
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((E_1)\), puis en déduire le domaine de définition de \((F)\).
2. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((E_2)\).
b) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation \((E_3)\) : \(-9x^4-4x^2+5=0\).
3. a) Dresser le tableau de signes du quotient \(\dfrac{-9x^2-4x+5}{2x^2-3x-2}\).
b) En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation \((F)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\Delta=9+16=25\) : \(x=\dfrac{3\pm5}{4}\), \(S_1=\left\{-\dfrac{1}{2};2\right\}\) :
[] \(D_F=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{2};2\right\}\)
2. a) \(9x^2+4x-5=0\) : \(\Delta=16+180=196\), \(x=\dfrac{-4\pm14}{18}\) :
[] \(S_2=\left\{-1;\dfrac{5}{9}\right\}\)
b) On pose \(X=x^2\geq0\) : \(X=\dfrac{5}{9}\) (\(X=-1\) rejeté) :
[] \(S_3=\left\{-\dfrac{\sqrt{5}}{3};\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right\}\)
3. a) Un trinôme a le signe de \(a\) à l’extérieur de ses racines :
[] b) \(S=]-\infty;-1]\cup\left]-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{9}\right]\cup]2;+\infty[\)
[] \(D_F=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{2};2\right\}\)
2. a) \(9x^2+4x-5=0\) : \(\Delta=16+180=196\), \(x=\dfrac{-4\pm14}{18}\) :
[] \(S_2=\left\{-1;\dfrac{5}{9}\right\}\)
b) On pose \(X=x^2\geq0\) : \(X=\dfrac{5}{9}\) (\(X=-1\) rejeté) :
[] \(S_3=\left\{-\dfrac{\sqrt{5}}{3};\dfrac{\sqrt{5}}{3}\right\}\)
3. a) Un trinôme a le signe de \(a\) à l’extérieur de ses racines :
[] b) \(S=]-\infty;-1]\cup\left]-\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{9}\right]\cup]2;+\infty[\)
Exercice 3 (5 pts)
1. En utilisant la méthode des déterminants, résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}2x-3y=1\\6x-4y=8\end{cases}\)
2. En déduire les solutions du système : \(\begin{cases}2(3x-1)-3|y|=1\\6(3x-1)-4|y|=8\end{cases}\)
2. En déduire les solutions du système : \(\begin{cases}2(3x-1)-3|y|=1\\6(3x-1)-4|y|=8\end{cases}\)
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1.
\(\Delta=2\times(-4)-6\times(-3)=10\ ;\ \Delta_x=1\times(-4)-8\times(-3)=20\ ;\ \Delta_y=2\times8-6\times1=10\)
[] \(S=\{(2;1)\}\)
2. On pose \(X=3x-1\) et \(Y=|y|\) : \(X=2\) et \(Y=1\), donc \(x=1\) et \(y=\pm1\) :
[] \(S=\{(1;1);(1;-1)\}\)
\(\Delta=2\times(-4)-6\times(-3)=10\ ;\ \Delta_x=1\times(-4)-8\times(-3)=20\ ;\ \Delta_y=2\times8-6\times1=10\)
[] \(S=\{(2;1)\}\)
2. On pose \(X=3x-1\) et \(Y=|y|\) : \(X=2\) et \(Y=1\), donc \(x=1\) et \(y=\pm1\) :
[] \(S=\{(1;1);(1;-1)\}\)