Exercice 1 (7 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \((x-1)^2=4\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(|x-2|\geq1\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}5x-3y=1\\4x+2y=14\end{cases}\)
4. \(1{,}5\) est une valeur approchée par excès de \(x\) à \(0{,}1\) près.
a) Montrer que \(\dfrac{7}{5}\leq x\leq\dfrac{3}{2}\).
b) Montrer que \(\dfrac{29}{42}\) est une valeur approchée de \(\dfrac{1}{x}\) à la précision \(\dfrac{1}{42}\).
5. On considère le polynôme \(P(x)=4x^3-ax^2-(a+2)x+6\) avec \(a\in\mathbb{R}\). Déterminer \(a\) pour que \(P(x)\) soit divisible par \(x+2\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(|x-2|\geq1\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases}5x-3y=1\\4x+2y=14\end{cases}\)
4. \(1{,}5\) est une valeur approchée par excès de \(x\) à \(0{,}1\) près.
a) Montrer que \(\dfrac{7}{5}\leq x\leq\dfrac{3}{2}\).
b) Montrer que \(\dfrac{29}{42}\) est une valeur approchée de \(\dfrac{1}{x}\) à la précision \(\dfrac{1}{42}\).
5. On considère le polynôme \(P(x)=4x^3-ax^2-(a+2)x+6\) avec \(a\in\mathbb{R}\). Déterminer \(a\) pour que \(P(x)\) soit divisible par \(x+2\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(x-1=2\) ou \(x-1=-2\) :
[] \(S=\{-1;3\}\)
2. \(x-2\geq1\) ou \(x-2\leq-1\) :
[] \(S=]-\infty;1]\cup[3;+\infty[\)
💡 Méthode des déterminants : \(\Delta=ab’-a’b\), \(x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}\), \(y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}\).
3.
\(\Delta=5\times2-4\times(-3)=22\ ;\ \Delta_x=1\times2-14\times(-3)=44\ ;\ \Delta_y=5\times14-4\times1=66\)
[] \(x=2\), \(y=3\) : \(S=\{(2;3)\}\)
4. a) Par excès : \(1{,}5-0{,}1\leq x\leq1{,}5\), soit
[] \(\dfrac{7}{5}\leq x\leq\dfrac{3}{2}\)
b) \(x>0\) :
\(\dfrac{2}{3}\leq\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{5}{7}\iff\dfrac{28}{42}\leq\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{30}{42}\iff\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{29}{42}\right|\leq\dfrac{1}{42}\)
💡 \(P\) est divisible par \(x-\alpha\) si et seulement si \(P(\alpha)=0\).
5.
\(P(-2)=-32-4a+2(a+2)+6=-22-2a=0\)
[] \(a=-11\)
[] \(S=\{-1;3\}\)
2. \(x-2\geq1\) ou \(x-2\leq-1\) :
[] \(S=]-\infty;1]\cup[3;+\infty[\)
💡 Méthode des déterminants : \(\Delta=ab’-a’b\), \(x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}\), \(y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}\).
3.
\(\Delta=5\times2-4\times(-3)=22\ ;\ \Delta_x=1\times2-14\times(-3)=44\ ;\ \Delta_y=5\times14-4\times1=66\)
[] \(x=2\), \(y=3\) : \(S=\{(2;3)\}\)
4. a) Par excès : \(1{,}5-0{,}1\leq x\leq1{,}5\), soit
[] \(\dfrac{7}{5}\leq x\leq\dfrac{3}{2}\)
b) \(x>0\) :
\(\dfrac{2}{3}\leq\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{5}{7}\iff\dfrac{28}{42}\leq\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{30}{42}\iff\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{29}{42}\right|\leq\dfrac{1}{42}\)
💡 \(P\) est divisible par \(x-\alpha\) si et seulement si \(P(\alpha)=0\).
5.
\(P(-2)=-32-4a+2(a+2)+6=-22-2a=0\)
[] \(a=-11\)
Exercice 2 (5 pts)
On considère le polynôme \(P(x)=3x^3-4x^2-13x+14\).
1. a) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-1\).
b) Trouver le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2. a) Vérifier que \(-2\) est une racine de \(Q(x)\).
b) En déduire l’écriture de \(P(x)\) sous forme de produit de trois polynômes du premier degré.
c) Soit \(x\in[-3;-1]\). En déduire un encadrement de \(P(x)\) en précisant son amplitude.
1. a) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-1\).
b) Trouver le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2. a) Vérifier que \(-2\) est une racine de \(Q(x)\).
b) En déduire l’écriture de \(P(x)\) sous forme de produit de trois polynômes du premier degré.
c) Soit \(x\in[-3;-1]\). En déduire un encadrement de \(P(x)\) en précisant son amplitude.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. a) \(P(1)=3-4-13+14=0\) :
[] \(P(x)\) est divisible par \(x-1\)
b) Par identification ou division euclidienne :
\((x-1)\left(3x^2-x-14\right)=3x^3-x^2-14x-3x^2+x+14=P(x)\)
[] \(Q(x)=3x^2-x-14\)
2. a) \(Q(-2)=12+2-14=0\) ✔ ; b) \(Q(x)=(x+2)(3x-7)\), donc
[] \(P(x)=(x-1)(x+2)(3x-7)\)
c) \(-4\leq x-1\leq-2\) et \(-16\leq3x-7\leq-10\) (négatifs) : \(20\leq(x-1)(3x-7)\leq64\) ; et \(-1\leq x+2\leq1\).
[] \(-64\leq P(x)\leq64\), d’amplitude \(128\)
[] \(P(x)\) est divisible par \(x-1\)
b) Par identification ou division euclidienne :
\((x-1)\left(3x^2-x-14\right)=3x^3-x^2-14x-3x^2+x+14=P(x)\)
[] \(Q(x)=3x^2-x-14\)
2. a) \(Q(-2)=12+2-14=0\) ✔ ; b) \(Q(x)=(x+2)(3x-7)\), donc
[] \(P(x)=(x-1)(x+2)(3x-7)\)
c) \(-4\leq x-1\leq-2\) et \(-16\leq3x-7\leq-10\) (négatifs) : \(20\leq(x-1)(3x-7)\leq64\) ; et \(-1\leq x+2\leq1\).
[] \(-64\leq P(x)\leq64\), d’amplitude \(128\)
Exercice 3 (5 pts)
Dans le plan rapporté à un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\), on considère la droite \((\Delta)\) : \(\begin{cases}x=-2+4t\\y=3t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)) et les points \(A(4;1)\) et \(B(3;-3)\).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(C(0;-2)\) et parallèle à \((\Delta)\).
3. Montrer que les droites \((AB)\) et \((D)\) se coupent en un point \(I\) dont on déterminera les coordonnées.
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(C(0;-2)\) et parallèle à \((\Delta)\).
3. Montrer que les droites \((AB)\) et \((D)\) se coupent en un point \(I\) dont on déterminera les coordonnées.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 \(M(x;y)\in(AB)\iff\det\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}\right)=0\).
1. \(\overrightarrow{AB}(-1;-4)\) :
\(\begin{vmatrix}x-4&-1\\y-1&-4\end{vmatrix}=-4(x-4)+(y-1)=0\)
[] \((AB)\) : \(4x-y-15=0\)
2. \(\vec{u}(4;3)\) dirige \((\Delta)\) donc \((D)\) :
[] \(\begin{cases}x=4t\\y=-2+3t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
3. \(\det\left(\overrightarrow{AB};\vec{u}\right)=(-1)\times3-(-4)\times4=13\neq0\) : les droites sont sécantes.
\(4(4t)-(-2+3t)-15=0\iff13t=13\iff t=1\)
[] \(I(4;1)\) (c’est le point \(A\))
1. \(\overrightarrow{AB}(-1;-4)\) :
\(\begin{vmatrix}x-4&-1\\y-1&-4\end{vmatrix}=-4(x-4)+(y-1)=0\)
[] \((AB)\) : \(4x-y-15=0\)
2. \(\vec{u}(4;3)\) dirige \((\Delta)\) donc \((D)\) :
[] \(\begin{cases}x=4t\\y=-2+3t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
3. \(\det\left(\overrightarrow{AB};\vec{u}\right)=(-1)\times3-(-4)\times4=13\neq0\) : les droites sont sécantes.
\(4(4t)-(-2+3t)-15=0\iff13t=13\iff t=1\)
[] \(I(4;1)\) (c’est le point \(A\))
Exercice 4 (3 pts)
\(ABCD\) est un parallélogramme, \(M\) le milieu de \([AB]\) et \(E\) le point tel que \(\overrightarrow{ME}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MD}\). Le plan est rapporté au repère \(\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)\).
1. Déterminer les coordonnées des points \(A\), \(C\) et \(M\).
2. Écrire \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AD}\), puis en déduire les coordonnées de \(E\).
3. Montrer que les points \(A\), \(C\) et \(E\) sont alignés.
1. Déterminer les coordonnées des points \(A\), \(C\) et \(M\).
2. Écrire \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AD}\), puis en déduire les coordonnées de \(E\).
3. Montrer que les points \(A\), \(C\) et \(E\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1.
[] \(A(0;0)\) ; \(C(1;1)\) car \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) ; \(M\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
2.
\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}\right)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)
[] \(E\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
3. \(\overrightarrow{AE}\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\) et \(\overrightarrow{AC}(1;1)\) : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) :
[] \(A\), \(C\) et \(E\) sont alignés
[] \(A(0;0)\) ; \(C(1;1)\) car \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) ; \(M\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)
2.
\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}\right)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)
[] \(E\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
3. \(\overrightarrow{AE}\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\) et \(\overrightarrow{AC}(1;1)\) : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) :
[] \(A\), \(C\) et \(E\) sont alignés