Exercice 1 (6 pts)
Le plan est muni d’un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Les points \(A(6;3)\), \(B(1;1)\) et \(C(-4;-2)\) sont-ils alignés ? Justifier.
2. On considère la droite \((D)\) d’équation \(2x-3y+1=0\). Donner une représentation paramétrique de \((D)\).
3. On considère les droites \((D_m)\) : \((2m-1)x-3my-2=0\) (\(m\in\mathbb{R}\)) et \((D’)\) : \(x-3y+2=0\). Déterminer \(m\) pour que \((D_m)\) et \((D’)\) soient parallèles.
4. Déterminer le réel \(k\) pour que \(2\) soit une racine du polynôme \(P(x)=3x^3-6x^2+(2+3k)x-2k\).
5. Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(x^3+2x^2-4x+1=(x-1)\left(ax^2+bx+c\right)\).
1. Les points \(A(6;3)\), \(B(1;1)\) et \(C(-4;-2)\) sont-ils alignés ? Justifier.
2. On considère la droite \((D)\) d’équation \(2x-3y+1=0\). Donner une représentation paramétrique de \((D)\).
3. On considère les droites \((D_m)\) : \((2m-1)x-3my-2=0\) (\(m\in\mathbb{R}\)) et \((D’)\) : \(x-3y+2=0\). Déterminer \(m\) pour que \((D_m)\) et \((D’)\) soient parallèles.
4. Déterminer le réel \(k\) pour que \(2\) soit une racine du polynôme \(P(x)=3x^3-6x^2+(2+3k)x-2k\).
5. Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(x^3+2x^2-4x+1=(x-1)\left(ax^2+bx+c\right)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(-5;-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(-10;-5)\) : \(\det=(-5)(-5)-(-2)(-10)=5\neq0\) :
[] non alignés
2. \(\vec{u}(3;2)\) dirige \((D)\) et \((1;1)\in(D)\) :
[] \(\begin{cases}x=1+3t\\y=1+2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
💡 \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) sont parallèles \(\iff ab’-a’b=0\).
3.
\((2m-1)(-3)-(-3m)\times1=-3m+3=0\)
[] \(m=1\)
4. \(P(2)=24-24+2(2+3k)-2k=4+4k=0\) :
[] \(k=-1\)
5. On développe :
\((x-1)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\)
[] Identification : \(a=1\), \(b=3\), \(c=-1\)
[] non alignés
2. \(\vec{u}(3;2)\) dirige \((D)\) et \((1;1)\in(D)\) :
[] \(\begin{cases}x=1+3t\\y=1+2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
💡 \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) sont parallèles \(\iff ab’-a’b=0\).
3.
\((2m-1)(-3)-(-3m)\times1=-3m+3=0\)
[] \(m=1\)
4. \(P(2)=24-24+2(2+3k)-2k=4+4k=0\) :
[] \(k=-1\)
5. On développe :
\((x-1)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\)
[] Identification : \(a=1\), \(b=3\), \(c=-1\)
Exercice 2 (6 pts)
On considère le polynôme \(P(x)=-x^3+2x^2+5x-6\).
1. Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x+2\).
2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x+2)Q(x)\).
3. a) Montrer que \(1\) est une racine de \(Q(x)\).
b) En déduire que \(Q(x)=(x-1)(3-x)\).
4. On suppose que \(\dfrac{3}{2}<x<\dfrac{5}{2}\).
a) Montrer que \(\dfrac{1}{4}<Q(x)<\dfrac{9}{4}\).
b) En déduire que \(\dfrac{5}{4}\) est une valeur approchée de \(Q(x)\) à la précision \(1\).
5. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(P(|x|)=0\).
1. Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x+2\).
2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x+2)Q(x)\).
3. a) Montrer que \(1\) est une racine de \(Q(x)\).
b) En déduire que \(Q(x)=(x-1)(3-x)\).
4. On suppose que \(\dfrac{3}{2}<x<\dfrac{5}{2}\).
a) Montrer que \(\dfrac{1}{4}<Q(x)<\dfrac{9}{4}\).
b) En déduire que \(\dfrac{5}{4}\) est une valeur approchée de \(Q(x)\) à la précision \(1\).
5. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(P(|x|)=0\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(P(-2)=8+8-10-6=0\) :
[] \(P(x)\) est divisible par \(x+2\)
2.
\((x+2)\left(-x^2+4x-3\right)=-x^3+4x^2-3x-2x^2+8x-6=P(x)\)
[] \(Q(x)=-x^2+4x-3\)
3. a) \(Q(1)=-1+4-3=0\) ✔ ; b) \((x-1)(3-x)=3x-x^2-3+x=-x^2+4x-3=Q(x)\) ✔.
4. a) \(\dfrac{1}{2}<x-1<\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{1}{2}<3-x<\dfrac{3}{2}\) (positifs) :
[] \(\dfrac{1}{4}<Q(x)<\dfrac{9}{4}\)
b) Centre \(\dfrac{5}{4}\) et rayon \(1\) : \(\left|Q(x)-\dfrac{5}{4}\right|<1\) ✔.
5. \(P(X)=(X+2)(X-1)(3-X)\) s’annule pour \(X\in\{-2;1;3\}\) ; \(|x|\geq0\) donc \(|x|=1\) ou \(|x|=3\) :
[] \(S=\{-3;-1;1;3\}\)
[] \(P(x)\) est divisible par \(x+2\)
2.
\((x+2)\left(-x^2+4x-3\right)=-x^3+4x^2-3x-2x^2+8x-6=P(x)\)
[] \(Q(x)=-x^2+4x-3\)
3. a) \(Q(1)=-1+4-3=0\) ✔ ; b) \((x-1)(3-x)=3x-x^2-3+x=-x^2+4x-3=Q(x)\) ✔.
4. a) \(\dfrac{1}{2}<x-1<\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{1}{2}<3-x<\dfrac{3}{2}\) (positifs) :
[] \(\dfrac{1}{4}<Q(x)<\dfrac{9}{4}\)
b) Centre \(\dfrac{5}{4}\) et rayon \(1\) : \(\left|Q(x)-\dfrac{5}{4}\right|<1\) ✔.
5. \(P(X)=(X+2)(X-1)(3-X)\) s’annule pour \(X\in\{-2;1;3\}\) ; \(|x|\geq0\) donc \(|x|=1\) ou \(|x|=3\) :
[] \(S=\{-3;-1;1;3\}\)
Exercice 3 (6 pts)
Le plan est muni d’un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les points \(A(1;1)\), \(B(2;-1)\) et le vecteur \(\vec{u}(1;1)\).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\).
2. Soit \((\Delta)\) la droite de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=t\\y=-3+t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)). Montrer que \((D)\) et \((\Delta)\) sont parallèles.
3. Soit \((D’)\) la droite d’équation \(x-4y+3=0\). Montrer que \((D’)\) et \((\Delta)\) sont sécantes en un point \(C\) dont on déterminera les coordonnées.
4. a) Déterminer les coordonnées du point \(E\) tel que \(ABCE\) soit un parallélogramme.
b) Vérifier que le point \(E\) appartient à la droite \((D)\).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\).
2. Soit \((\Delta)\) la droite de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=t\\y=-3+t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)). Montrer que \((D)\) et \((\Delta)\) sont parallèles.
3. Soit \((D’)\) la droite d’équation \(x-4y+3=0\). Montrer que \((D’)\) et \((\Delta)\) sont sécantes en un point \(C\) dont on déterminera les coordonnées.
4. a) Déterminer les coordonnées du point \(E\) tel que \(ABCE\) soit un parallélogramme.
b) Vérifier que le point \(E\) appartient à la droite \((D)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\begin{vmatrix}x-1&1\\y-1&1\end{vmatrix}=x-1-(y-1)=0\) :
[] \((D)\) : \(x-y=0\)
2. \((\Delta)\) est dirigée par \((1;1)=\vec{u}\) :
[] \((D)\parallel(\Delta)\) (strictement, car \(A\notin(\Delta)\))
3. On remplace dans \((D’)\) :
\(t-4(-3+t)+3=0\iff-3t+15=0\iff t=5\)
[] \(C(5;2)\)
4. a) \(ABCE\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}\) : \(\overrightarrow{AB}(1;-2)\), donc \(E(5-1;2+2)\) :
[] \(E(4;4)\)
b) \(4-4=0\) :
[] \(E\in(D)\)
[] \((D)\) : \(x-y=0\)
2. \((\Delta)\) est dirigée par \((1;1)=\vec{u}\) :
[] \((D)\parallel(\Delta)\) (strictement, car \(A\notin(\Delta)\))
3. On remplace dans \((D’)\) :
\(t-4(-3+t)+3=0\iff-3t+15=0\iff t=5\)
[] \(C(5;2)\)
4. a) \(ABCE\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EC}\) : \(\overrightarrow{AB}(1;-2)\), donc \(E(5-1;2+2)\) :
[] \(E(4;4)\)
b) \(4-4=0\) :
[] \(E\in(D)\)
Exercice 4 (2 pts)
\(ABC\) est un triangle, \(R\) et \(S\) deux points tels que \(\overrightarrow{BR}=2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AS}=2\overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\). On munit le plan du repère \(\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\).
1. Déterminer les coordonnées de \(R\) et \(S\).
2. Montrer que les droites \((AB)\) et \((RS)\) sont parallèles.
1. Déterminer les coordonnées de \(R\) et \(S\).
2. Montrer que les droites \((AB)\) et \((RS)\) sont parallèles.
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1.
\(\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AB}+2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}\)
[] \(R(0;2)\) et \(S(-3;2)\)
2. \(\overrightarrow{RS}(-3;0)=-3\overrightarrow{AB}\) :
[] \((RS)\parallel(AB)\)
\(\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AB}+2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}\)
[] \(R(0;2)\) et \(S(-3;2)\)
2. \(\overrightarrow{RS}(-3;0)=-3\overrightarrow{AB}\) :
[] \((RS)\parallel(AB)\)