Exercice 1 (5 pts)
Choisir la réponse juste parmi les trois proposées pour chaque question :
| Question | (a) | (b) | (c) |
| Le terme de degré \(2\) du polynôme \(x\left(x^2-3x\right)+4x^2-1\) est | \(-3x^2\) | \(x^2\) | \(2x^2\) |
| L’une des racines de \(P(x)=x^3-2x^2+3x+6\) est | \(1\) | \(-1\) | \(2\) |
| Le reste de la division euclidienne de \(x^2-x+1\) par \(x-1\) est | \(1\) | \(0\) | \(-2\) |
| Le discriminant de l’équation \(2x^2-11x-3=0\) est | \(-97\) | \(97\) | \(145\) |
| L’ensemble des solutions de \(x^2-5x+6=0\) est | \(\{-2;-3\}\) | \(\{2;3\}\) | \(\{2\}\) |
| Question | (a) | (b) | (c) |
| Le terme de degré \(2\) du polynôme \(x\left(x^2-3x\right)+4x^2-1\) est | \(-3x^2\) | \(x^2\) | \(2x^2\) |
| L’une des racines de \(P(x)=x^3-2x^2+3x+6\) est | \(1\) | \(-1\) | \(2\) |
| Le reste de la division euclidienne de \(x^2-x+1\) par \(x-1\) est | \(1\) | \(0\) | \(-2\) |
| Le discriminant de l’équation \(2x^2-11x-3=0\) est | \(-97\) | \(97\) | \(145\) |
| L’ensemble des solutions de \(x^2-5x+6=0\) est | \(\{-2;-3\}\) | \(\{2;3\}\) | \(\{2\}\) |
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(x^3-3x^2+4x^2-1=x^3+x^2-1\) :
[] (b)
2. \(P(-1)=-1-2-3+6=0\) :
[] (b)
3. Le reste de la division par \(x-1\) est \(1-1+1=1\) :
[] (a)
4. \(\Delta=121+24=145\) :
[] (c)
5. \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) :
[] (b)
[] (b)
2. \(P(-1)=-1-2-3+6=0\) :
[] (b)
3. Le reste de la division par \(x-1\) est \(1-1+1=1\) :
[] (a)
4. \(\Delta=121+24=145\) :
[] (c)
5. \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) :
[] (b)
Exercice 2 (6 pts)
Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.
1. On considère le polynôme \(P(x)=\left[(m-1)x^3+x-1\right]\left(2x^2+5\right)\). Trouver le degré de \(P(x)\) selon les valeurs du réel \(m\).
2. a) Étudier le signe de \(\dfrac{2x-1}{3-x}\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations : (i) \(\dfrac{2x-1}{3-x}\geq0\) et (ii) \(\dfrac{5}{3-x}\leq2\).
3. On considère le polynôme \(P(x)=x^4+6x^3+15x^2+18x+9\). Trouver les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(P(x)=\left(x^2+3x\right)^2+\alpha\left(x^2+3x\right)+\beta\), puis factoriser \(P(x)\).
1. On considère le polynôme \(P(x)=\left[(m-1)x^3+x-1\right]\left(2x^2+5\right)\). Trouver le degré de \(P(x)\) selon les valeurs du réel \(m\).
2. a) Étudier le signe de \(\dfrac{2x-1}{3-x}\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations : (i) \(\dfrac{2x-1}{3-x}\geq0\) et (ii) \(\dfrac{5}{3-x}\leq2\).
3. On considère le polynôme \(P(x)=x^4+6x^3+15x^2+18x+9\). Trouver les réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(P(x)=\left(x^2+3x\right)^2+\alpha\left(x^2+3x\right)+\beta\), puis factoriser \(P(x)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\) : si \(m\neq1\),
[] \(\deg P=3+2=5\) ; si \(m=1\), \(P(x)=(x-1)\left(2x^2+5\right)\) et \(\deg P=3\)
2. b) (i)
[] \(S=\left[\dfrac{1}{2};3\right[\)
(ii) Pour \(x\neq3\) :
\(\dfrac{5}{3-x}-2=\dfrac{5-6+2x}{3-x}=\dfrac{2x-1}{3-x}\leq0\)
[] \(S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup]3;+\infty[\)
3. \(\left(x^2+3x\right)^2=x^4+6x^3+9x^2\), donc il reste :
\(6x^2+18x+9=6\left(x^2+3x\right)+9\)
[] \(\alpha=6\), \(\beta=9\) et \(P(x)=\left(x^2+3x+3\right)^2\)
[] \(\deg P=3+2=5\) ; si \(m=1\), \(P(x)=(x-1)\left(2x^2+5\right)\) et \(\deg P=3\)
2. b) (i)
[] \(S=\left[\dfrac{1}{2};3\right[\)
(ii) Pour \(x\neq3\) :
\(\dfrac{5}{3-x}-2=\dfrac{5-6+2x}{3-x}=\dfrac{2x-1}{3-x}\leq0\)
[] \(S=\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]\cup]3;+\infty[\)
3. \(\left(x^2+3x\right)^2=x^4+6x^3+9x^2\), donc il reste :
\(6x^2+18x+9=6\left(x^2+3x\right)+9\)
[] \(\alpha=6\), \(\beta=9\) et \(P(x)=\left(x^2+3x+3\right)^2\)
Exercice 3 (9 pts)
On considère le polynôme \(P(x)=2x^3+ax^2+18x-9\).
1. Trouver le réel \(a\) tel que \(P(x)\) soit divisible par \(x-3\). Dans toute la suite, on prend \(a=-11\).
2. Trouver le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : (i) \(P(x)=0\) ; (ii) \(2x^2|x|-11x^2+18|x|-9=0\) ; (iii) \(2x^6-11x^4+18x^2-9=0\).
4. a) Vérifier que \(Q(x)=2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\).
b) Soit \(\alpha\) un réel tel que \(\left|\alpha-\dfrac{9}{4}\right|<\dfrac{3}{4}\). Montrer que \(-9<P(\alpha)<0\).
1. Trouver le réel \(a\) tel que \(P(x)\) soit divisible par \(x-3\). Dans toute la suite, on prend \(a=-11\).
2. Trouver le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : (i) \(P(x)=0\) ; (ii) \(2x^2|x|-11x^2+18|x|-9=0\) ; (iii) \(2x^6-11x^4+18x^2-9=0\).
4. a) Vérifier que \(Q(x)=2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\).
b) Soit \(\alpha\) un réel tel que \(\left|\alpha-\dfrac{9}{4}\right|<\dfrac{3}{4}\). Montrer que \(-9<P(\alpha)<0\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(P(3)=54+9a+54-9=99+9a=0\) :
[] \(a=-11\)
2. \(P(1)=2-11+18-9=0\) et :
\((x-1)\left(2x^2-9x+9\right)=2x^3-9x^2+9x-2x^2+9x-9=P(x)\)
[] \(Q(x)=2x^2-9x+9\)
3. (i) \(Q\) : \(\Delta=81-72=9\), \(x=\dfrac{9\pm3}{4}\) :
[] \(S=\left\{1;\dfrac{3}{2};3\right\}\)
(ii) Avec \(X=|x|\) (\(x^2=X^2\)) : \(P(X)=0\), \(|x|\in\left\{1;\dfrac{3}{2};3\right\}\) :
[] \(S=\left\{\pm1;\pm\dfrac{3}{2};\pm3\right\}\)
(iii) Avec \(X=x^2\) : \(x^2\in\left\{1;\dfrac{3}{2};3\right\}\) :
[] \(S=\left\{\pm1;\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2};\pm\sqrt{3}\right\}\)
4. a)
\(2\left(x^2-\dfrac{9}{2}x+\dfrac{81}{16}\right)-\dfrac{9}{8}=2x^2-9x+\dfrac{81}{8}-\dfrac{9}{8}=2x^2-9x+9=Q(x)\)
b) \(0\leq\left(\alpha-\dfrac{9}{4}\right)^2<\dfrac{9}{16}\), donc \(-\dfrac{9}{8}\leq Q(\alpha)<0\) ; et \(\dfrac{3}{2}<\alpha<3\) donne \(\dfrac{1}{2}<\alpha-1<2\).
[] \(P(\alpha)=(\alpha-1)Q(\alpha)\) : \(-\dfrac{9}{4}<P(\alpha)<0\), donc \(-9<P(\alpha)<0\)
[] \(a=-11\)
2. \(P(1)=2-11+18-9=0\) et :
\((x-1)\left(2x^2-9x+9\right)=2x^3-9x^2+9x-2x^2+9x-9=P(x)\)
[] \(Q(x)=2x^2-9x+9\)
3. (i) \(Q\) : \(\Delta=81-72=9\), \(x=\dfrac{9\pm3}{4}\) :
[] \(S=\left\{1;\dfrac{3}{2};3\right\}\)
(ii) Avec \(X=|x|\) (\(x^2=X^2\)) : \(P(X)=0\), \(|x|\in\left\{1;\dfrac{3}{2};3\right\}\) :
[] \(S=\left\{\pm1;\pm\dfrac{3}{2};\pm3\right\}\)
(iii) Avec \(X=x^2\) : \(x^2\in\left\{1;\dfrac{3}{2};3\right\}\) :
[] \(S=\left\{\pm1;\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2};\pm\sqrt{3}\right\}\)
4. a)
\(2\left(x^2-\dfrac{9}{2}x+\dfrac{81}{16}\right)-\dfrac{9}{8}=2x^2-9x+\dfrac{81}{8}-\dfrac{9}{8}=2x^2-9x+9=Q(x)\)
b) \(0\leq\left(\alpha-\dfrac{9}{4}\right)^2<\dfrac{9}{16}\), donc \(-\dfrac{9}{8}\leq Q(\alpha)<0\) ; et \(\dfrac{3}{2}<\alpha<3\) donne \(\dfrac{1}{2}<\alpha-1<2\).
[] \(P(\alpha)=(\alpha-1)Q(\alpha)\) : \(-\dfrac{9}{4}<P(\alpha)<0\), donc \(-9<P(\alpha)<0\)