Exercice 1 (7 pts)
1. Écrire la forme canonique du trinôme \(f(x)=3x^2-\sqrt{2}x+\dfrac{1}{4}\).
2. Trouver deux réels sachant que leur somme est \(-5\) et leur produit est \(-84\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système \(\begin{cases}5x-3y=1\\7x+2y=20\end{cases}\), puis en déduire les solutions du système \(\begin{cases}5\sqrt{x}-3|y-1|=1\\7\sqrt{x}+2|y-1|=20\end{cases}\)
4. Donner une équation cartésienne de la droite \((D)\) définie par : \(\begin{cases}x=-3+2k\\y=2-3k\end{cases}\) (\(k\in\mathbb{R}\)).
5. Déterminer les valeurs du réel \(m\) pour lesquelles les vecteurs \(\vec{u}(2m-3;-2)\) et \(\vec{v}(4;2m+3)\) sont colinéaires.
6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(\dfrac{2x-1}{x-1}<\dfrac{3}{x+1}\).
2. Trouver deux réels sachant que leur somme est \(-5\) et leur produit est \(-84\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système \(\begin{cases}5x-3y=1\\7x+2y=20\end{cases}\), puis en déduire les solutions du système \(\begin{cases}5\sqrt{x}-3|y-1|=1\\7\sqrt{x}+2|y-1|=20\end{cases}\)
4. Donner une équation cartésienne de la droite \((D)\) définie par : \(\begin{cases}x=-3+2k\\y=2-3k\end{cases}\) (\(k\in\mathbb{R}\)).
5. Déterminer les valeurs du réel \(m\) pour lesquelles les vecteurs \(\vec{u}(2m-3;-2)\) et \(\vec{v}(4;2m+3)\) sont colinéaires.
6. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation : \(\dfrac{2x-1}{x-1}<\dfrac{3}{x+1}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1.
\(f(x)=3\left[\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{6}\right)^2-\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{12}\right]\)
[] \(f(x)=3\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{6}\right)^2+\dfrac{1}{12}\)
💡 Deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les solutions de \(X^2-SX+P=0\).
2. \(X^2+5X-84=0\) : \(\Delta=25+336=361=19^2\), \(X=\dfrac{-5\pm19}{2}\) :
[] les nombres \(7\) et \(-12\)
3. \(\Delta=10+21=31\), \(\Delta_x=2+60=62\), \(\Delta_y=100-7=93\) :
[] \(S=\{(2;3)\}\)
Avec \(X=\sqrt{x}\) et \(Y=|y-1|\) : \(\sqrt{x}=2\) et \(|y-1|=3\), soit \(x=4\) et \(y\in\{-2;4\}\) :
[] \(S’=\{(4;-2);(4;4)\}\)
4. \(\vec{u}(2;-3)\) dirige \((D)\) : \(3x+2y+c=0\) avec \((-3;2)\) : \(c=5\) :
[] \((D)\) : \(3x+2y+5=0\)
5. \(\det(\vec{u};\vec{v})=(2m-3)(2m+3)+8=4m^2-1=0\) :
[] \(m=-\dfrac{1}{2}\) ou \(m=\dfrac{1}{2}\)
6. Pour \(x\neq\pm1\) :
\(\dfrac{2x-1}{x-1}-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2x^2-2x+2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2\left(x^2-x+1\right)}{(x-1)(x+1)}\)
\(x^2-x+1>0\) (\(\Delta=-3<0\)) : le signe est celui de \((x-1)(x+1)\) :
[] \(S=]-1;1[\)
\(f(x)=3\left[\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{6}\right)^2-\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{12}\right]\)
[] \(f(x)=3\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{6}\right)^2+\dfrac{1}{12}\)
💡 Deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les solutions de \(X^2-SX+P=0\).
2. \(X^2+5X-84=0\) : \(\Delta=25+336=361=19^2\), \(X=\dfrac{-5\pm19}{2}\) :
[] les nombres \(7\) et \(-12\)
3. \(\Delta=10+21=31\), \(\Delta_x=2+60=62\), \(\Delta_y=100-7=93\) :
[] \(S=\{(2;3)\}\)
Avec \(X=\sqrt{x}\) et \(Y=|y-1|\) : \(\sqrt{x}=2\) et \(|y-1|=3\), soit \(x=4\) et \(y\in\{-2;4\}\) :
[] \(S’=\{(4;-2);(4;4)\}\)
4. \(\vec{u}(2;-3)\) dirige \((D)\) : \(3x+2y+c=0\) avec \((-3;2)\) : \(c=5\) :
[] \((D)\) : \(3x+2y+5=0\)
5. \(\det(\vec{u};\vec{v})=(2m-3)(2m+3)+8=4m^2-1=0\) :
[] \(m=-\dfrac{1}{2}\) ou \(m=\dfrac{1}{2}\)
6. Pour \(x\neq\pm1\) :
\(\dfrac{2x-1}{x-1}-\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{2x^2-2x+2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2\left(x^2-x+1\right)}{(x-1)(x+1)}\)
\(x^2-x+1>0\) (\(\Delta=-3<0\)) : le signe est celui de \((x-1)(x+1)\) :
[] \(S=]-1;1[\)
Exercice 2 (6 pts)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les points \(A(1;3)\), \(B(3;5)\) et \(C(5;3)\).
1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Montrer que \(x-y-2=0\) est une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\overrightarrow{BC}\).
4. a) Montrer que les droites \((D)\) et \((\Delta)\) se coupent en un point \(I\).
b) Déterminer les coordonnées du point \(I\).
5. Soit \((L)\) la droite d’équation \(mx-(m-3)y+2=0\), où \(m\in\mathbb{R}\). Déterminer \(m\) pour que \((L)\) et \((D)\) soient perpendiculaires.
1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Montrer que \(x-y-2=0\) est une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\overrightarrow{BC}\).
4. a) Montrer que les droites \((D)\) et \((\Delta)\) se coupent en un point \(I\).
b) Déterminer les coordonnées du point \(I\).
5. Soit \((L)\) la droite d’équation \(mx-(m-3)y+2=0\), où \(m\in\mathbb{R}\). Déterminer \(m\) pour que \((L)\) et \((D)\) soient perpendiculaires.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(2;2)\) et \(\overrightarrow{AC}(4;0)\) : \(\det=2\times0-2\times4=-8\neq0\) :
[] non alignés
2. \(5-3-2=0\) donc \(C\in(D)\) ; \((D)\) est dirigée par \((1;1)\), colinéaire à \(\overrightarrow{AB}(2;2)\) ✔.
3. \(\overrightarrow{BC}(2;-2)\) :
[] \((\Delta)\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=3-2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
4. a) \(\det\left((1;1);(2;-2)\right)=-2-2=-4\neq0\) : les droites sont sécantes.
b)
\((1+2t)-(3-2t)-2=0\iff4t=4\iff t=1\)
[] \(I(3;1)\)
💡 Dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs \(a\) et \(a’\) sont perpendiculaires si et seulement si \(aa’=-1\).
5. \((D)\) : \(y=x-2\) (coefficient \(1\)) ; pour \(m\neq3\), \((L)\) : \(y=\dfrac{m}{m-3}x+\dfrac{2}{m-3}\). (\(m=3\) donne une droite verticale, non perpendiculaire à \((D)\).)
\(\dfrac{m}{m-3}\times1=-1\iff m=-m+3\)
[] \(m=\dfrac{3}{2}\)
[] non alignés
2. \(5-3-2=0\) donc \(C\in(D)\) ; \((D)\) est dirigée par \((1;1)\), colinéaire à \(\overrightarrow{AB}(2;2)\) ✔.
3. \(\overrightarrow{BC}(2;-2)\) :
[] \((\Delta)\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=3-2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
4. a) \(\det\left((1;1);(2;-2)\right)=-2-2=-4\neq0\) : les droites sont sécantes.
b)
\((1+2t)-(3-2t)-2=0\iff4t=4\iff t=1\)
[] \(I(3;1)\)
💡 Dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs \(a\) et \(a’\) sont perpendiculaires si et seulement si \(aa’=-1\).
5. \((D)\) : \(y=x-2\) (coefficient \(1\)) ; pour \(m\neq3\), \((L)\) : \(y=\dfrac{m}{m-3}x+\dfrac{2}{m-3}\). (\(m=3\) donne une droite verticale, non perpendiculaire à \((D)\).)
\(\dfrac{m}{m-3}\times1=-1\iff m=-m+3\)
[] \(m=\dfrac{3}{2}\)
Exercice 3 (7 pts)
On considère le polynôme \(P(x)=2x^3-x^2-7x+6\).
1. a) Vérifier que \(-2\) est une racine de \(P(x)\).
b) Trouver le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(Q(x)=0\), puis l’équation \(P(x)=0\).
3. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(P(x)\leq0\).
b) En déduire les solutions de l’inéquation : \(2(3x-5)^3-7(3x-5)\leq(3x-5)^2-6\).
1. a) Vérifier que \(-2\) est une racine de \(P(x)\).
b) Trouver le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(Q(x)=0\), puis l’équation \(P(x)=0\).
3. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(P(x)\leq0\).
b) En déduire les solutions de l’inéquation : \(2(3x-5)^3-7(3x-5)\leq(3x-5)^2-6\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(P(-2)=-16-4+14+6=0\) ✔ ; et \(P(1)=2-1-7+6=0\).
b)
\((x-1)\left(2x^2+x-6\right)=2x^3+x^2-6x-2x^2-x+6=P(x)\)
[] \(Q(x)=2x^2+x-6\)
2. \(\Delta=1+48=49\) : \(x=\dfrac{-1\pm7}{4}\), \(Q(x)=0\iff x\in\left\{-2;\dfrac{3}{2}\right\}\) ;
[] \(P(x)=0\iff x\in\left\{-2;1;\dfrac{3}{2}\right\}\)
3. a) \(P(x)=(x+2)(x-1)(2x-3)\) :
[] \(S=]-\infty;-2]\cup\left[1;\dfrac{3}{2}\right]\)
b) Avec \(X=3x-5\), l’inéquation s’écrit \(2X^3-X^2-7X+6\leq0\), soit \(P(X)\leq0\) : \(X\leq-2\) ou \(1\leq X\leq\dfrac{3}{2}\).
[] \(x\leq1\) ou \(2\leq x\leq\dfrac{13}{6}\) : \(S=]-\infty;1]\cup\left[2;\dfrac{13}{6}\right]\)
b)
\((x-1)\left(2x^2+x-6\right)=2x^3+x^2-6x-2x^2-x+6=P(x)\)
[] \(Q(x)=2x^2+x-6\)
2. \(\Delta=1+48=49\) : \(x=\dfrac{-1\pm7}{4}\), \(Q(x)=0\iff x\in\left\{-2;\dfrac{3}{2}\right\}\) ;
[] \(P(x)=0\iff x\in\left\{-2;1;\dfrac{3}{2}\right\}\)
3. a) \(P(x)=(x+2)(x-1)(2x-3)\) :
[] \(S=]-\infty;-2]\cup\left[1;\dfrac{3}{2}\right]\)
b) Avec \(X=3x-5\), l’inéquation s’écrit \(2X^3-X^2-7X+6\leq0\), soit \(P(X)\leq0\) : \(X\leq-2\) ou \(1\leq X\leq\dfrac{3}{2}\).
[] \(x\leq1\) ou \(2\leq x\leq\dfrac{13}{6}\) : \(S=]-\infty;1]\cup\left[2;\dfrac{13}{6}\right]\)