Exercice 1 (8 pts)
On considère le polynôme \(P(x)=2x^3-x^2-7x+6\).
1. Montrer que \(-2\) est une racine de \(P(x)\).
2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x+2)Q(x)\) (en utilisant la division euclidienne).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(2x^2-5x+3=0\).
4. Écrire \(P(x)\) sous forme de produit de trois polynômes du premier degré.
5. Résoudre l’inéquation \(2\left(x^3+3\right)<x^2+7x\), puis en déduire les solutions de l’inéquation \(2(x-1)^3-(x-1)^2-7(x-1)+6<0\).
1. Montrer que \(-2\) est une racine de \(P(x)\).
2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x+2)Q(x)\) (en utilisant la division euclidienne).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(2x^2-5x+3=0\).
4. Écrire \(P(x)\) sous forme de produit de trois polynômes du premier degré.
5. Résoudre l’inéquation \(2\left(x^3+3\right)<x^2+7x\), puis en déduire les solutions de l’inéquation \(2(x-1)^3-(x-1)^2-7(x-1)+6<0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(P(-2)=-16-4+14+6=0\) ✔.
2. Division euclidienne de \(P(x)\) par \(x+2\) :
| Quotient | On soustrait | Reste |
| \(2x^2\) | \(2x^3+4x^2\) | \(-5x^2-7x+6\) |
| \(-5x\) | \(-5x^2-10x\) | \(3x+6\) |
| \(3\) | \(3x+6\) | \(0\) |
[] \(Q(x)=2x^2-5x+3\)
3. \(\Delta=25-24=1\) : \(x=\dfrac{5\pm1}{4}\) :
[] \(S=\left\{1;\dfrac{3}{2}\right\}\)
4. \(2x^2-5x+3=2(x-1)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)=(x-1)(2x-3)\) :
[] \(P(x)=(x+2)(x-1)(2x-3)\)
5. \(2\left(x^3+3\right)<x^2+7x\iff P(x)<0\) (tableau de signes des trois facteurs) :
[] \(S=]-\infty;-2[\cup\left]1;\dfrac{3}{2}\right[\)
La seconde s’écrit \(P(x-1)<0\) : \(x-1<-2\) ou \(1<x-1<\dfrac{3}{2}\) :
[] \(S’=]-\infty;-1[\cup\left]2;\dfrac{5}{2}\right[\)
2. Division euclidienne de \(P(x)\) par \(x+2\) :
| Quotient | On soustrait | Reste |
| \(2x^2\) | \(2x^3+4x^2\) | \(-5x^2-7x+6\) |
| \(-5x\) | \(-5x^2-10x\) | \(3x+6\) |
| \(3\) | \(3x+6\) | \(0\) |
[] \(Q(x)=2x^2-5x+3\)
3. \(\Delta=25-24=1\) : \(x=\dfrac{5\pm1}{4}\) :
[] \(S=\left\{1;\dfrac{3}{2}\right\}\)
4. \(2x^2-5x+3=2(x-1)\left(x-\dfrac{3}{2}\right)=(x-1)(2x-3)\) :
[] \(P(x)=(x+2)(x-1)(2x-3)\)
5. \(2\left(x^3+3\right)<x^2+7x\iff P(x)<0\) (tableau de signes des trois facteurs) :
[] \(S=]-\infty;-2[\cup\left]1;\dfrac{3}{2}\right[\)
La seconde s’écrit \(P(x-1)<0\) : \(x-1<-2\) ou \(1<x-1<\dfrac{3}{2}\) :
[] \(S’=]-\infty;-1[\cup\left]2;\dfrac{5}{2}\right[\)
Exercice 2 (4.5 pts)
1. Résoudre le système \(\begin{cases}2x-1>-x+2\\-5x+6\geq4x+2\end{cases}\) et représenter l’ensemble des solutions sur une droite.
2. Résoudre le système \(\begin{cases}2x+4y=2\\-5x+2y=7\end{cases}\) par la méthode des déterminants, puis en déduire les solutions du système \(\begin{cases}\dfrac{2}{x}+4y^2=2\\-\dfrac{5}{x}+2y^2=7\end{cases}\)
2. Résoudre le système \(\begin{cases}2x+4y=2\\-5x+2y=7\end{cases}\) par la méthode des déterminants, puis en déduire les solutions du système \(\begin{cases}\dfrac{2}{x}+4y^2=2\\-\dfrac{5}{x}+2y^2=7\end{cases}\)
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(3x>3\iff x>1\) et \(-9x\geq-4\iff x\leq\dfrac{4}{9}\) : aucun réel ne vérifie les deux :
[] \(S=\emptyset\)
2.
\(\Delta=2\times2-(-5)\times4=24\ ;\ \Delta_x=2\times2-7\times4=-24\ ;\ \Delta_y=2\times7-(-5)\times2=24\)
[] \(S=\{(-1;1)\}\)
Avec \(X=\dfrac{1}{x}\) et \(Y=y^2\) : \(\dfrac{1}{x}=-1\) et \(y^2=1\) :
[] \(S’=\{(-1;-1);(-1;1)\}\)
[] \(S=\emptyset\)
2.
\(\Delta=2\times2-(-5)\times4=24\ ;\ \Delta_x=2\times2-7\times4=-24\ ;\ \Delta_y=2\times7-(-5)\times2=24\)
[] \(S=\{(-1;1)\}\)
Avec \(X=\dfrac{1}{x}\) et \(Y=y^2\) : \(\dfrac{1}{x}=-1\) et \(y^2=1\) :
[] \(S’=\{(-1;-1);(-1;1)\}\)
Exercice 3 (7.5 pts)
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\).
1. Placer les points \(E\) et \(F\) tels que \(\overrightarrow{AE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CF}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\).
3. Montrer que \(3\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{CE}\), puis en déduire que les points \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
4. Montrer que \(\overrightarrow{EO}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EB}\right)\).
1. Placer les points \(E\) et \(F\) tels que \(\overrightarrow{AE}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CF}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\).
3. Montrer que \(3\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{CE}\), puis en déduire que les points \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
4. Montrer que \(\overrightarrow{EO}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EB}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) dans le parallélogramme.
2.
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AD}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)
3. \(3\overrightarrow{CF}=-2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{CE}\) :
[] \(\overrightarrow{CF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CE}\), \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés
4. \(O\) est le milieu de \([BD]\) : \(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}\) :
\(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{EO}\)
2.
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AD}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)
3. \(3\overrightarrow{CF}=-2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{CE}\) :
[] \(\overrightarrow{CF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CE}\), \(C\), \(E\) et \(F\) sont alignés
4. \(O\) est le milieu de \([BD]\) : \(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}\) :
\(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{EO}\)