Exercice 1 (8 pts)
1. a) Montrer que \(8-2\sqrt{7}=\left(1-\sqrt{7}\right)^2\) et en déduire une simplification de \(\sqrt{8-2\sqrt{7}}\).
b) Simplifier : \(B=\sqrt{\left(2-\sqrt{7}\right)^2}+\sqrt{8-2\sqrt{7}}+\sqrt{16-6\sqrt{7}}\).
2. Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(2{,}3\leq a\leq2{,}4\) et \(1{,}7\leq b\leq1{,}8\).
a) Déterminer un encadrement de \(a-b\).
b) En déduire une valeur approchée de \(a-b\) en indiquant la précision.
3. Soit \(a\) un réel tel que \(|a|\leq1\). Montrer que \(|1+a|+|1-a|=2\).
4. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on l’égalité \(|1-x|=|2x+3|\) ?
5. On considère les intervalles \(I=[0;4]\), \(J=]2;6[\), \(E=[-3;6]\) et \(F=[2;+\infty[\). Déterminer \(I\cap J\) et \(E\cup F\).
6. Soient \(\vec{u}(-2;3)\) et \(\vec{v}(m-1;4)\). Pour quelle valeur de \(m\) les vecteurs sont-ils colinéaires ?
b) Simplifier : \(B=\sqrt{\left(2-\sqrt{7}\right)^2}+\sqrt{8-2\sqrt{7}}+\sqrt{16-6\sqrt{7}}\).
2. Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(2{,}3\leq a\leq2{,}4\) et \(1{,}7\leq b\leq1{,}8\).
a) Déterminer un encadrement de \(a-b\).
b) En déduire une valeur approchée de \(a-b\) en indiquant la précision.
3. Soit \(a\) un réel tel que \(|a|\leq1\). Montrer que \(|1+a|+|1-a|=2\).
4. Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on l’égalité \(|1-x|=|2x+3|\) ?
5. On considère les intervalles \(I=[0;4]\), \(J=]2;6[\), \(E=[-3;6]\) et \(F=[2;+\infty[\). Déterminer \(I\cap J\) et \(E\cup F\).
6. Soient \(\vec{u}(-2;3)\) et \(\vec{v}(m-1;4)\). Pour quelle valeur de \(m\) les vecteurs sont-ils colinéaires ?
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(\left(1-\sqrt{7}\right)^2=1-2\sqrt{7}+7=8-2\sqrt{7}\), donc
[] \(\sqrt{8-2\sqrt{7}}=\left|1-\sqrt{7}\right|=\sqrt{7}-1\)
b) \(16-6\sqrt{7}=\left(3-\sqrt{7}\right)^2\) et \(3>\sqrt{7}\) : \(B=\left(\sqrt{7}-2\right)+\left(\sqrt{7}-1\right)+\left(3-\sqrt{7}\right)\) :
[] \(B=\sqrt{7}\)
2. a) \(-1{,}8\leq-b\leq-1{,}7\) :
[] \(0{,}5\leq a-b\leq0{,}7\)
b) Centre \(0{,}6\), rayon \(0{,}1\) :
[] \(0{,}6\) est une valeur approchée de \(a-b\) à \(0{,}1\) près
3. \(-1\leq a\leq1\) donc \(1+a\geq0\) et \(1-a\geq0\) : \(|1+a|+|1-a|=1+a+1-a=2\) ✔.
4. \(1-x=2x+3\iff x=-\dfrac{2}{3}\) ou \(1-x=-2x-3\iff x=-4\) :
[] \(x\in\left\{-4;-\dfrac{2}{3}\right\}\)
5.
[] \(I\cap J=]2;4]\) et \(E\cup F=[-3;+\infty[\)
6. Colinéaires \(\iff\det(\vec{u};\vec{v})=0\) :
\((-2)\times4-3(m-1)=-3m-5=0\)
[] \(m=-\dfrac{5}{3}\)
[] \(\sqrt{8-2\sqrt{7}}=\left|1-\sqrt{7}\right|=\sqrt{7}-1\)
b) \(16-6\sqrt{7}=\left(3-\sqrt{7}\right)^2\) et \(3>\sqrt{7}\) : \(B=\left(\sqrt{7}-2\right)+\left(\sqrt{7}-1\right)+\left(3-\sqrt{7}\right)\) :
[] \(B=\sqrt{7}\)
2. a) \(-1{,}8\leq-b\leq-1{,}7\) :
[] \(0{,}5\leq a-b\leq0{,}7\)
b) Centre \(0{,}6\), rayon \(0{,}1\) :
[] \(0{,}6\) est une valeur approchée de \(a-b\) à \(0{,}1\) près
3. \(-1\leq a\leq1\) donc \(1+a\geq0\) et \(1-a\geq0\) : \(|1+a|+|1-a|=1+a+1-a=2\) ✔.
4. \(1-x=2x+3\iff x=-\dfrac{2}{3}\) ou \(1-x=-2x-3\iff x=-4\) :
[] \(x\in\left\{-4;-\dfrac{2}{3}\right\}\)
5.
[] \(I\cap J=]2;4]\) et \(E\cup F=[-3;+\infty[\)
6. Colinéaires \(\iff\det(\vec{u};\vec{v})=0\) :
\((-2)\times4-3(m-1)=-3m-5=0\)
[] \(m=-\dfrac{5}{3}\)
Exercice 2 (3.5 pts)
On considère l’expression \(E=|2x-3|+|x+2|\).
a) Montrer que si \(x\leq-2\), alors \(E=-3x+1\).
b) Montrer que si \(-2\leq x\leq\dfrac{3}{2}\), alors \(E=-x+5\).
c) Montrer que si \(x\geq\dfrac{3}{2}\), alors \(E=3x-1\).
a) Montrer que si \(x\leq-2\), alors \(E=-3x+1\).
b) Montrer que si \(-2\leq x\leq\dfrac{3}{2}\), alors \(E=-x+5\).
c) Montrer que si \(x\geq\dfrac{3}{2}\), alors \(E=3x-1\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 On étudie le signe de \(2x-3\) (nul en \(\dfrac{3}{2}\)) et de \(x+2\) (nul en \(-2\)) sur chaque intervalle.
a) \(2x-3<0\) et \(x+2\leq0\) : \(E=-2x+3-x-2\) :
[] \(E=-3x+1\)
b) \(2x-3\leq0\) et \(x+2\geq0\) : \(E=-2x+3+x+2\) :
[] \(E=-x+5\)
c) \(2x-3\geq0\) et \(x+2>0\) : \(E=2x-3+x+2\) :
[] \(E=3x-1\)
a) \(2x-3<0\) et \(x+2\leq0\) : \(E=-2x+3-x-2\) :
[] \(E=-3x+1\)
b) \(2x-3\leq0\) et \(x+2\geq0\) : \(E=-2x+3+x+2\) :
[] \(E=-x+5\)
c) \(2x-3\geq0\) et \(x+2>0\) : \(E=2x-3+x+2\) :
[] \(E=3x-1\)
Exercice 3 (6.5 pts)
Dans le plan muni d’un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\), on considère les points \(A(-2;-1)\), \(B(1;1)\) et \(C(0;5)\).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
b) Montrer que le point \(D(-3;3)\) appartient à \((\Delta)\).
3. Construire une figure.
4. a) Déterminer les coordonnées du point \(I\) milieu du segment \([AC]\).
b) Montrer que les points \(B\), \(I\) et \(D\) sont alignés.
c) Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier.
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2. a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
b) Montrer que le point \(D(-3;3)\) appartient à \((\Delta)\).
3. Construire une figure.
4. a) Déterminer les coordonnées du point \(I\) milieu du segment \([AC]\).
b) Montrer que les points \(B\), \(I\) et \(D\) sont alignés.
c) Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(3;2)\) :
\(\begin{vmatrix}x+2&3\\y+1&2\end{vmatrix}=2(x+2)-3(y+1)=0\)
[] \((AB)\) : \(2x-3y+1=0\)
2. a)
[] \((\Delta)\) : \(\begin{cases}x=3t\\y=5+2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)) ; b) \(t=-1\) donne \((-3;3)\) : \(D\in(\Delta)\) ✔.
4. a)
[] \(I(-1;2)\) ; b) \(\overrightarrow{BI}(-2;1)\) et \(\overrightarrow{BD}(-4;2)=2\overrightarrow{BI}\) : \(B\), \(I\) et \(D\) sont alignés.
[] c) \(I\) est aussi le milieu de \([BD]\) : les diagonales ont le même milieu, \(ABCD\) est un parallélogramme
\(\begin{vmatrix}x+2&3\\y+1&2\end{vmatrix}=2(x+2)-3(y+1)=0\)
[] \((AB)\) : \(2x-3y+1=0\)
2. a)
[] \((\Delta)\) : \(\begin{cases}x=3t\\y=5+2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)) ; b) \(t=-1\) donne \((-3;3)\) : \(D\in(\Delta)\) ✔.
4. a)
[] \(I(-1;2)\) ; b) \(\overrightarrow{BI}(-2;1)\) et \(\overrightarrow{BD}(-4;2)=2\overrightarrow{BI}\) : \(B\), \(I\) et \(D\) sont alignés.
[] c) \(I\) est aussi le milieu de \([BD]\) : les diagonales ont le même milieu, \(ABCD\) est un parallélogramme
Exercice 4 (2 pts)
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels positifs.
a) Montrer que \(a^2+b^2\geq2ab\).
b) Montrer que \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\).
a) Montrer que \(a^2+b^2\geq2ab\).
b) Montrer que \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
a) \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\geq0\) ✔.
b) On additionne \(a^2+b^2\geq2ab\), \(b^2+c^2\geq2bc\) et \(a^2+c^2\geq2ac\) : \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\geq2(ab+bc+ac)\) ✔.
b) On additionne \(a^2+b^2\geq2ab\), \(b^2+c^2\geq2bc\) et \(a^2+c^2\geq2ac\) : \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\geq2(ab+bc+ac)\) ✔.