Exercice 1 (8 pts)
On considère le polynôme \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
1. Vérifier que \(1\) est une racine de \(P(x)\).
2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\), puis factoriser \(Q(x)\).
3. En déduire une factorisation de \(P(x)\) en produit de polynômes du premier degré.
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(P(x)\geq0\).
5. Résoudre dans \([0;+\infty[\) l’équation \(P\left(\sqrt{x}\right)=0\).
1. Vérifier que \(1\) est une racine de \(P(x)\).
2. Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que \(P(x)=(x-1)Q(x)\), puis factoriser \(Q(x)\).
3. En déduire une factorisation de \(P(x)\) en produit de polynômes du premier degré.
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(P(x)\geq0\).
5. Résoudre dans \([0;+\infty[\) l’équation \(P\left(\sqrt{x}\right)=0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(P(1)=1-2-5+6=0\) ✔.
2. Par identification :
\((x-1)\left(x^2+bx+c\right)=x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c\)
\(b-1=-2\) et \(-c=6\) : \(b=-1\), \(c=-6\) ;
[] \(Q(x)=x^2-x-6=(x-3)(x+2)\)
[] 3. \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\)
[] 4. \(S=[-2;1]\cup[3;+\infty[\)
5. \(\sqrt{x}\geq0\) donc \(\sqrt{x}=1\) ou \(\sqrt{x}=3\) :
[] \(S=\{1;9\}\)
2. Par identification :
\((x-1)\left(x^2+bx+c\right)=x^3+(b-1)x^2+(c-b)x-c\)
\(b-1=-2\) et \(-c=6\) : \(b=-1\), \(c=-6\) ;
[] \(Q(x)=x^2-x-6=(x-3)(x+2)\)
[] 3. \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\)
[] 4. \(S=[-2;1]\cup[3;+\infty[\)
5. \(\sqrt{x}\geq0\) donc \(\sqrt{x}=1\) ou \(\sqrt{x}=3\) :
[] \(S=\{1;9\}\)
Exercice 2 (6 pts)
1. Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) par la méthode des déterminants le système : \(\begin{cases}3x+2y=7\\2x-5y=-8\end{cases}\)
2. En déduire les solutions du système : \(\begin{cases}3\sqrt{x}+2|y|=7\\2\sqrt{x}-5|y|=-8\end{cases}\)
2. En déduire les solutions du système : \(\begin{cases}3\sqrt{x}+2|y|=7\\2\sqrt{x}-5|y|=-8\end{cases}\)
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1.
\(\Delta=3\times(-5)-2\times2=-19\ ;\ \Delta_x=7\times(-5)-(-8)\times2=-19\ ;\ \Delta_y=3\times(-8)-2\times7=-38\)
[] \(S=\{(1;2)\}\)
2. \(\sqrt{x}=1\) et \(|y|=2\) :
[] \(S’=\{(1;-2);(1;2)\}\)
\(\Delta=3\times(-5)-2\times2=-19\ ;\ \Delta_x=7\times(-5)-(-8)\times2=-19\ ;\ \Delta_y=3\times(-8)-2\times7=-38\)
[] \(S=\{(1;2)\}\)
2. \(\sqrt{x}=1\) et \(|y|=2\) :
[] \(S’=\{(1;-2);(1;2)\}\)
Exercice 3 (6 pts)
Le plan est rapporté à un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\). On considère les points \(A(-1;2)\), \(B(3;4)\) et \(C(2;-1)\).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de \((\Delta)\) et de la droite \((D)\) : \(x+3y-6=0\).
4. Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de \((\Delta)\) et de la droite \((D)\) : \(x+3y-6=0\).
4. Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(4;2)\) :
\(\begin{vmatrix}x+1&4\\y-2&2\end{vmatrix}=2(x+1)-4(y-2)=0\)
[] \((AB)\) : \(x-2y+5=0\)
2. \(\vec{u}(2;1)\) dirige \((AB)\) :
[] \((\Delta)\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1+t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
3.
\((2+2t)+3(-1+t)-6=0\iff5t=7\iff t=\dfrac{7}{5}\)
[] Le point \(\left(\dfrac{24}{5};\dfrac{2}{5}\right)\)
4. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) : \(D=(2-4;-1-2)\) :
[] \(D(-2;-3)\)
\(\begin{vmatrix}x+1&4\\y-2&2\end{vmatrix}=2(x+1)-4(y-2)=0\)
[] \((AB)\) : \(x-2y+5=0\)
2. \(\vec{u}(2;1)\) dirige \((AB)\) :
[] \((\Delta)\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1+t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
3.
\((2+2t)+3(-1+t)-6=0\iff5t=7\iff t=\dfrac{7}{5}\)
[] Le point \(\left(\dfrac{24}{5};\dfrac{2}{5}\right)\)
4. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) : \(D=(2-4;-1-2)\) :
[] \(D(-2;-3)\)