Exercice 1 (4 pts)
1) Calculer le \(\mathrm{PGCD}\) et le \(\mathrm{PPCM}\) de \(56\) et \(84\) par décomposition en facteurs premiers.
2) En déduire la forme irréductible de la fraction \(\dfrac{56}{84}\).
2) En déduire la forme irréductible de la fraction \(\dfrac{56}{84}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
Exercice 2 (4 pts)
Soit \(x\in\mathbb{R}\). Résoudre :
1) \(|2x-5|=3\) ;
2) \(|x+1|<4\) ;
3) Représenter l'ensemble des solutions sur une droite réelle.
1) \(|2x-5|=3\) ;
2) \(|x+1|<4\) ;
3) Représenter l'ensemble des solutions sur une droite réelle.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
Exercice 3 (5 pts)
1) Montrer que pour tous réels positifs \(a\) et \(b\) : \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\).
2) En déduire que \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\) pour tous réels strictement positifs \(a\) et \(b\).
2) En déduire que \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge 2\) pour tous réels strictement positifs \(a\) et \(b\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(E\) le milieu de \([CD]\).
1) Exprimer \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
2) Soit \(F\) le point tel que \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\). Montrer que \(B\), \(F\) et \(E\) sont alignés.
1) Exprimer \(\overrightarrow{AE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
2) Soit \(F\) le point tel que \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\). Montrer que \(B\), \(F\) et \(E\) sont alignés.
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
Exercice 5 (3 pts)
Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), le nombre \(N=n^3+5n\) est divisible par \(6\).