Exercice 1 (4 pts)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que : \(-2<a<-1\) et \(-1<b<2\). On pose \(E=4a^2+4a-b^2+2b-3\).
1. Donner un encadrement de \(E\).
2. a) Vérifier que \(E=(2a+1)^2-(b-1)^2-3\).
b) Donner un deuxième encadrement de \(E\).
c) Comparer les deux encadrements.
1. Donner un encadrement de \(E\).
2. a) Vérifier que \(E=(2a+1)^2-(b-1)^2-3\).
b) Donner un deuxième encadrement de \(E\).
c) Comparer les deux encadrements.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(1<a^2<4\) donc \(4<4a^2<16\) ; \(-8<4a<-4\) ; \(0\leq b^2<4\) donc \(-4<-b^2\leq0\) ; \(-2<2b<4\).
[] \(-13<E<13\)
2. a)
\((2a+1)^2-(b-1)^2-3=4a^2+4a+1-b^2+2b-1-3=E\)
b) \(-3<2a+1<-1\) donc \(1<(2a+1)^2<9\) ; \(-2<b-1<1\) donc \(0\leq(b-1)^2<4\) :
[] \(-6<E<6\)
c) \(]-6;6[\subset]-13;13[\) : le deuxième encadrement est plus précis (amplitude \(12\) au lieu de \(26\)).
[] \(-13<E<13\)
2. a)
\((2a+1)^2-(b-1)^2-3=4a^2+4a+1-b^2+2b-1-3=E\)
b) \(-3<2a+1<-1\) donc \(1<(2a+1)^2<9\) ; \(-2<b-1<1\) donc \(0\leq(b-1)^2<4\) :
[] \(-6<E<6\)
c) \(]-6;6[\subset]-13;13[\) : le deuxième encadrement est plus précis (amplitude \(12\) au lieu de \(26\)).
Exercice 2 (4 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(0{,}20\) est une valeur approchée de \(x\) par défaut à \(0{,}05\) près et \(y\in\left[-1;\dfrac{1}{2}\right]\).
1. a) Vérifier que \(0{,}20\leq x\leq0{,}25\).
b) Montrer que : \(\dfrac{1}{25}\leq\dfrac{x}{3-2y}\leq\dfrac{1}{8}\).
2. Montrer que \(\dfrac{9}{2}\) est une valeur approchée de \(\dfrac{1}{x}\) à \(0{,}5\) près.
1. a) Vérifier que \(0{,}20\leq x\leq0{,}25\).
b) Montrer que : \(\dfrac{1}{25}\leq\dfrac{x}{3-2y}\leq\dfrac{1}{8}\).
2. Montrer que \(\dfrac{9}{2}\) est une valeur approchée de \(\dfrac{1}{x}\) à \(0{,}5\) près.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 \(a\) valeur approchée par défaut de \(x\) à \(r\) près signifie : \(a\leq x\leq a+r\).
1. a) \(0{,}20\leq x\leq0{,}20+0{,}05\) :
[] \(0{,}20\leq x\leq0{,}25\)
b) \(-1\leq-2y\leq2\) donc \(2\leq3-2y\leq5\) et \(\dfrac{1}{5}\leq\dfrac{1}{3-2y}\leq\dfrac{1}{2}\) ; avec \(\dfrac{1}{5}\leq x\leq\dfrac{1}{4}\) :
[] \(\dfrac{1}{25}\leq\dfrac{x}{3-2y}\leq\dfrac{1}{8}\)
2.
\(4\leq\dfrac{1}{x}\leq5\iff-\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{x}-\dfrac{9}{2}\leq\dfrac{1}{2}\iff\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{9}{2}\right|\leq0{,}5\)
1. a) \(0{,}20\leq x\leq0{,}20+0{,}05\) :
[] \(0{,}20\leq x\leq0{,}25\)
b) \(-1\leq-2y\leq2\) donc \(2\leq3-2y\leq5\) et \(\dfrac{1}{5}\leq\dfrac{1}{3-2y}\leq\dfrac{1}{2}\) ; avec \(\dfrac{1}{5}\leq x\leq\dfrac{1}{4}\) :
[] \(\dfrac{1}{25}\leq\dfrac{x}{3-2y}\leq\dfrac{1}{8}\)
2.
\(4\leq\dfrac{1}{x}\leq5\iff-\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{x}-\dfrac{9}{2}\leq\dfrac{1}{2}\iff\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{9}{2}\right|\leq0{,}5\)
Exercice 3 (2 pts)
Dans chacun des deux cas suivants, à quel ensemble appartient \(x\) ?
a) \(|1-x|\leq2\) ; b) \(\sqrt{(3-2x)^2}\geq1\).
a) \(|1-x|\leq2\) ; b) \(\sqrt{(3-2x)^2}\geq1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
a) \(|1-x|=|x-1|\leq2\iff-1\leq x\leq3\) :
[] \(x\in[-1;3]\)
b) \(\sqrt{(3-2x)^2}=|3-2x|\geq1\iff3-2x\geq1\) ou \(3-2x\leq-1\) :
[] \(x\in]-\infty;1]\cup[2;+\infty[\)
[] \(x\in[-1;3]\)
b) \(\sqrt{(3-2x)^2}=|3-2x|\geq1\iff3-2x\geq1\) ou \(3-2x\leq-1\) :
[] \(x\in]-\infty;1]\cup[2;+\infty[\)
Exercice 4 (3 pts)
1. Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. Comparer \(a=\dfrac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\) et \(b=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\).
2. Montrer que si \(a\in[1;+\infty[\) alors \(\sqrt{a}-1\leq\dfrac{1}{2}(a-1)\).
2. Montrer que si \(a\in[1;+\infty[\) alors \(\sqrt{a}-1\leq\dfrac{1}{2}(a-1)\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(b=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\) :
\(b-a=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}>0\)
[] \(a<b\)
2.
\(\dfrac{1}{2}(a-1)-\left(\sqrt{a}-1\right)=\dfrac{a-2\sqrt{a}+1}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{2}\geq0\)
[] \(\sqrt{a}-1\leq\dfrac{1}{2}(a-1)\)
\(b-a=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}>0\)
[] \(a<b\)
2.
\(\dfrac{1}{2}(a-1)-\left(\sqrt{a}-1\right)=\dfrac{a-2\sqrt{a}+1}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{2}\geq0\)
[] \(\sqrt{a}-1\leq\dfrac{1}{2}(a-1)\)
Exercice 5 (5 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On considère les deux points \(I\) et \(J\) tels que : \(\overrightarrow{DJ}=2\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\).
1. Construire une figure.
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}\).
b) En déduire que les points \(I\), \(J\) et \(C\) sont alignés.
3. Soit \(E\) le milieu du segment \([DJ]\) et \(F\) le point tel que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}\).
a) Montrer que \((BD)\parallel(EF)\).
b) Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
1. Construire une figure.
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}\).
b) En déduire que les points \(I\), \(J\) et \(C\) sont alignés.
3. Soit \(E\) le milieu du segment \([DJ]\) et \(F\) le point tel que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}\).
a) Montrer que \((BD)\parallel(EF)\).
b) Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
💡 Dans le parallélogramme : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
2. a)
\(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DJ}=-\overrightarrow{DC}+2\overrightarrow{AD}\)
b) \(\overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=-2\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)=-2\overrightarrow{CI}\) :
[] \(I\), \(J\) et \(C\) sont alignés
3. a) \(\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{AD}\), donc \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AD}\) ; et \(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}\) :
\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}\)
[] \((EF)\parallel(BD)\)
b)
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\)
[] \(\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{CE}\) : \(C\) est le milieu de \([EF]\)
2. a)
\(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DJ}=-\overrightarrow{DC}+2\overrightarrow{AD}\)
b) \(\overrightarrow{CJ}=2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=-2\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right)=-2\overrightarrow{CI}\) :
[] \(I\), \(J\) et \(C\) sont alignés
3. a) \(\overrightarrow{DE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{AD}\), donc \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AD}\) ; et \(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}\) :
\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}\)
[] \((EF)\parallel(BD)\)
b)
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\)
[] \(\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{CE}\) : \(C\) est le milieu de \([EF]\)
Exercice 6 (2 pts)
Soit \(x\in\mathbb{R}\) tel que \(x>10\). Montrer que : \(\dfrac{5}{2}<3-\dfrac{4}{x}-\dfrac{10}{x^2}\).
✅ Correction de l’exercice 6 — التصحيح
\(x>10\Rightarrow0<\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{10}\), donc \(\dfrac{4}{x}<\dfrac{4}{10}\) et \(\dfrac{10}{x^2}<\dfrac{10}{100}\).
\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{10}{x^2}<0{,}4+0{,}1=\dfrac{1}{2}\)
[] \(3-\dfrac{4}{x}-\dfrac{10}{x^2}>3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\)
\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{10}{x^2}<0{,}4+0{,}1=\dfrac{1}{2}\)
[] \(3-\dfrac{4}{x}-\dfrac{10}{x^2}>3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\)