الفرض 2 — الدورة الأولى — الجذع المشترك العلمي (خيار فرنسية) (Devoir Surveillé n°2 — النموذج 2)

💡 \(|X|<r\iff-r<X<r\) (\(r>0\)).
1. \(|-2x+3|<6\iff-6<-2x+3<6\)
\(\iff-9<-2x<3\iff-\dfrac{3}{2}<x<\dfrac{9}{2}\)
[] \(x\in\{-1;0;1;2;3;4\}\)
2. \(\sqrt{6}\times\sqrt{2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) :
\(\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)2\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)=2\left(2\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=4\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)\)
[] \(=4\times(3-1)=8\in\mathbb{N}\)
3. a) On développe :
\(\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=\sqrt{10}-\sqrt{5}-\sqrt{2}+1=a-b\)
b) \(\sqrt{5}>1\) et \(\sqrt{2}>1\), donc \(a-b>0\) :
[] \(a>b\)
💡 \(|X|=X\) si \(X\geq0\) et \(|X|=-X\) si \(X\leq0\) : on étudie le signe de chaque expression.
4. \(1-\sqrt{3}<0\) ; \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), donc \(\sqrt{18}-4\sqrt{2}=-\sqrt{2}<0\).
\(B=\sqrt{3}-1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
[] \(B=-1\)

1. On place \(D\) au tiers de \([BC]\) à partir de \(B\), puis on trace la parallèle à \((AB)\) par \(D\) (\(E\) sur \((AC)\)), puis la parallèle à \((AD)\) par \(E\) (\(F\) sur \((BC)\)).

💡 La projection conserve le coefficient de colinéarité : si \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{PQ}\), alors les projetés vérifient \(\overrightarrow{M’N’}=k\overrightarrow{P’Q’}\).
2. Projection sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\) : \(B\mapsto A\), \(D\mapsto E\), \(C\mapsto C\). Comme \(\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) :
[] \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
Projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AD)\) : \(A\mapsto D\), \(E\mapsto F\), \(C\mapsto C\). Comme \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) :
[] \(\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}\)
3. Dans le triangle \(CAB\), \((ED)\parallel(AB)\) : d’après Thalès \(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{ED}{AB}\).
Dans le triangle \(CAD\), \((EF)\parallel(AD)\) : \(\dfrac{CF}{CD}=\dfrac{EF}{AD}\), donc
[] \(\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{AD}{EF}\)
4. Relation de Chasles :
\(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}\)
[] \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\right)\)

1. \(|a-1|<\dfrac{1}{2}\iff-\dfrac{1}{2}<a-1<\dfrac{1}{2}\iff\dfrac{1}{2}<a<\dfrac{3}{2}\) ;
\(\left|b-\dfrac{1}{2}\right|<\dfrac{1}{6}\iff\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}<b<\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\iff\dfrac{1}{3}<b<\dfrac{2}{3}\)
💡 Pour une différence on ajoute l’opposé ; pour un quotient on multiplie par l’inverse (nombres positifs).
2. \(-\dfrac{2}{3}<-b<-\dfrac{1}{3}\), donc
[] \(-\dfrac{1}{6}<a-b<\dfrac{7}{6}\)
\(\dfrac{3}{2}<\dfrac{1}{b}<3\) et \(a>0\), donc
[] \(\dfrac{3}{4}<\dfrac{a}{b}<\dfrac{9}{2}\)
\(\dfrac{1}{6}<ab<1\), donc
[] \(-3<-3ab<-\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt{6}}{6}<\sqrt{ab}<1\)
3. Avec \((x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\) :
\((a+2)^3=a^3+6a^2+12a+8\)
4.
\(A=a^3+6a^2+12a+8-6a^2-a^3=12a+8\)
\(6<12a<18\), donc
[] \(14<A<26\)

💡 \(u^2+v^2+2uv=(u+v)^2\) et \(\sqrt{X^2}=|X|\).
1. Avec \(u=x\), \(v=x-1\) puis \(u=2y\), \(v=2y-3\) :
\(A=\sqrt{\left(x+x-1\right)^2}=\sqrt{(2x-1)^2}\)
\(B=\sqrt{\left(2y+2y-3\right)^2}=\sqrt{(4y-3)^2}\)
2. \(x\leq\dfrac{1}{2}\Rightarrow2x-1\leq0\) et \(y\geq\dfrac{3}{4}\Rightarrow4y-3\geq0\) :
[] \(A=|2x-1|=1-2x\) et \(B=|4y-3|=4y-3\)
3.
\(A+B=1-2x+4y-3=-2(x-2y)-2=-2\times(-5)-2\)
[] \(A+B=8\)

💡 \((u-v)^2=(u+v)^2-4uv\), puis \(\sqrt{X^2}=|X|\).
Avec \(u=\sqrt{x}\) et \(v=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) (\(uv=1\)) :
\(\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2-4=5-4=1\)
[] \(\left|\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right|=\sqrt{1}=1\)